!!§!! Вспомогательная страница к разделу
☞
((algebra2:dets ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ))
----
==Геометрические приложения определителя==
~~TOC~~
===Уравнения кривых и поверхностей==
**Уравнение прямой**, проходящей через точки плоскости с координатами $ (x_{1},y_1) $ и $ (x_{2},y_2) $:
$$
\left|
\begin{array}{lll}
x & y & 1 \\
x_1 & y_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & 1
\end{array}
\right|=0 \qquad \iff \qquad
\left|
\begin{array}{ll}
x-x_1 & y-y_1 \\
x_2-x_1 & y_2-y_1
\end{array}
\right|=0 .
$$
**Уравнение окружности**, проходящей через точки плоскости с координатами $ (x_{1},y_1) , (x_2,y_2) $ и $ (x_{3},y_3) $ (окружности, описанной вокруг треугольника):
$$
\left|
\begin{array}{llll}
x^2+y^2 & x & y & 1 \\
x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\
x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2& 1 \\
x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3& 1
\end{array}
\right|=0 .
$$
При условии, что все три точки коллинеарны (лежат на одной прямой; см.
☞
((algebra2:linearsystems#теорема_кронекера-капелли ЗДЕСЬ)) ):
$$
\left|
\begin{array}{lll}
x_1 & y_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & 1 \\
x_3 & y_3 & 1
\end{array}
\right|=0
$$
окружность вырождается в прямую
$$
\left|
\begin{array}{clll}
0 & x & y & 1 \\
x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\
x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2& 1 \\
x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3& 1
\end{array}
\right|=0 .
$$
**Координаты центра окружности**, проходящей через точки $ (x_{1},y_1) , (x_2,y_2) $ и $ (x_{3},y_3) $:
$$
x_C=\frac{\left|
\begin{array}{lll}
x_1^2+y_1^2 & y_1 & 1 \\
x_2^2+y_2^2 & y_2& 1 \\
x_3^2+y_3^2 & y_3& 1
\end{array}
\right|}
{2\left|
\begin{array}{lll}
x_1 & y_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & 1 \\
x_3 & y_3 & 1
\end{array}
\right|},\quad
y_C=-\frac{\left|
\begin{array}{lll}
x_1^2+y_1^2 & x_1 & 1 \\
x_2^2+y_2^2 & x_2& 1 \\
x_3^2+y_3^2 & x_3& 1
\end{array}
\right|}
{2\left|
\begin{array}{lll}
x_1 & y_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & 1 \\
x_3 & y_3 & 1
\end{array}
\right|} \ .
$$
!!Т!! **Теорема [Птолемей]**.// Точки//
$$ P_1=(x_{1},y_1) , P_2=(x_2,y_2), P_3 =(x_{3},y_3), P_4=(x_{4},y_4) $$
//лежат на одной окружности или на одной прямой тогда и только тогда, когда выполнено равенство//
$$
\left|
\begin{array}{cccc}
0 & |P_1P_2|^2 & |P_1P_3|^2 & |P_1P_4|^2 \\
|P_1P_2|^2 & 0 & |P_2P_3|^2 & |P_2P_4|^2 \\
|P_1P_3|^2 & |P_2P_3|^2 & 0 & |P_3P_4|^2 \\
|P_1P_4|^2 & |P_2P_4|^2 & |P_3P_4|^2 & 0
\end{array}
\right|=0 .
$$
//Здесь// $ |P_jP_k|^2=(x_j-x_k)^2+(y_j-y_k)^2 $.
**Доказательство**, альтернативная геометрическая формулировка, а также пространственный аналог теоремы
☞
((dets:geometry:ptolemy ЗДЕСЬ)).
**Уравнение плоскости**, проходящей через точки пространства с координатами $ (x_{1},y_1,z_1) $, $ (x_{2},y_2,z_2) $ и $ (x_{3},y_3,z_3) $:
$$
\left|
\begin{array}{llll}
x & y & z & 1 \\
x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\
x_3 & y_3 & z_3 & 1
\end{array}
\right|=0 .
$$
**Уравнение сферы**, проходящей через точки $ (x_{1},y_1,z_1) $, $ (x_{2},y_2,z_2) $, $ (x_{3},y_3,z_3) $ и $ (x_{4},y_4,z_4) $:
$$
\left|
\begin{array}{cllll}
x^2+y^2+z^2 & x & y & z & 1 \\
x_1^2+y_1^2+z_1^2 & x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\
x_2^2+y_2^2+z_2^2 & x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\
x_3^2+y_3^2+z_3^2 & x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\
x_4^2+y_4^2+z_4^2 & x_4 & y_4 & z_4 & 1
\end{array}
\right|=0 .
$$
При условии, что все четыре точки компланарны (лежат в одной плоскости; см.
☞
((algebra2:linearsystems#теорема_кронекера-капелли ЗДЕСЬ)) ):
$$
\left|
\begin{array}{llll}
x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\
x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\
x_4 & y_4 & z_4 & 1
\end{array}
\right|=0
$$
сфера вырождается в плоскость. **Координаты центра сферы**:
$$
x_C=\frac{\left|
\begin{array}{clll}
x_1^2+y_1^2+z_1^2 & y_1 & z_1 & 1 \\
x_2^2+y_2^2+z_2^2 & y_2 & z_2 & 1 \\
x_3^2+y_3^2+z_3^2 & y_3 & z_3 & 1 \\
x_4^2+y_4^2+z_4^2 & y_4 & z_4 & 1
\end{array}
\right|}{2\,\left|
\begin{array}{llll}
x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\
x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\
x_4 & y_4 & z_4 & 1
\end{array}
\right|},\
y_C=-\frac{\left|
\begin{array}{clll}
x_1^2+y_1^2+z_1^2 & x_1 & z_1 & 1 \\
x_2^2+y_2^2+z_2^2 & x_2 & z_2 & 1 \\
x_3^2+y_3^2+z_3^2 & x_3 & z_3 & 1 \\
x_4^2+y_4^2+z_4^2 & x_4 & z_4 & 1
\end{array}
\right|}{2\,\left|
\begin{array}{llll}
x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\
x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\
x_4 & y_4 & z_4 & 1
\end{array}
\right|},\
z_C=\frac{\left|
\begin{array}{clll}
x_1^2+y_1^2+z_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\
x_2^2+y_2^2+z_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\
x_3^2+y_3^2+z_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \\
x_4^2+y_4^2+z_4^2 & x_4 & y_4 & 1
\end{array}
\right|}{2\,\left|
\begin{array}{llll}
x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\
x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\
x_4 & y_4 & z_4 & 1
\end{array}
\right|}
$$
!!§!! Сформулированные выше геометрические задачи являются частными случаями общей задачи об
☞
((interpolation: ИНТЕРПОЛЯЦИИ)).
===Площади==
**Площадь** треугольника с вершинами $ P_1=(x_{1},y_1) , P_2=(x_{2},y_2) $ и $ P_3=(x_{3},y_3) $ равна абсолютной величине (модулю) выражения
$$
\frac{1}{2}
\left|
\begin{array}{lll}
1 & x_1 & y_1 \\
1 & x_2 & y_2 \\
1 & x_3 & y_3
\end{array}
\right| .
$$
**Доказательство**
☞
((:algebra2:dets#геометрические_приложения_определителя ЗДЕСЬ)).
Квадрат площади треугольника $ P_{1}P_2P_3 $ выражается через квадраты длин его сторон по формуле
$$
S^2=-\frac{1}{16}
\left|
\begin{array}{cccc}
0 & |P_1P_2|^2 & |P_1P_3|^2 & 1 \\
|P_1P_2|^2 & 0 & |P_2P_3|^2 & 1 \\
|P_1P_3|^2 & |P_2P_3|^2 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 0
\end{array}
\right| \ ,
$$
которая в развернутом виде
$$
=\frac{1}{16}\left(|P_1P_2|+|P_1P_3|+|P_2P_3| \right)\left(|P_1P_2|+|P_1P_3|-|P_2P_3| \right)\left(|P_1P_2|-|P_1P_3|+|P_2P_3| \right)
\left(-|P_1P_2|+|P_1P_3|+|P_2P_3| \right)
$$
представляет собой **формулу Герона**.
Площадь треугольника с вершинами $ P_1=(x_{1},y_1,z_1) , P_2=(x_{2},y_2,z_2) $ и $ P_3=(x_{3},y_3,z_3) $ в $ \mathbb R^{3} $ равна
$$
\frac{1}{2} \sqrt{ \left|
\begin{array}{lll}
1 & x_1 & y_1 \\
1 & x_2 & y_2 \\
1 & x_3 & y_3
\end{array}
\right|^2
+
\left|
\begin{array}{lll}
1 & x_1 & z_1 \\
1 & x_2 & z_2 \\
1 & x_3 & z_3
\end{array}
\right|^2+
\left|
\begin{array}{lll}
1 & y_1 & z_1 \\
1 & y_2 & z_2 \\
1 & y_3 & z_3
\end{array}
\right|^2
} \ .
$$
Выражение под радикалом можно преобразовать к виду
$$
\det\left[\left(
\begin{array}{lll}
x_2-x_1 & y_2-y_1 &z_2- z_1 \\
x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3- z_1
\end{array}
\right)\cdot \left(
\begin{array}{ll}
x_2-x_1 & x_3-x_1 \\
y_2-y_1 & y_3-y_1 \\
z_2-z_1 & z_3-z_1
\end{array}
\right)\right]
$$
с помощью ((:algebra2:dets#теорема_бине_-_коши теоремы Бине-Коши)). Таким образом, площадь треугольника также равна
$$
\frac{1}{2} \sqrt{ \left|
\begin{array}{cc}
\langle P_2P_1,P_2P_1 \rangle & \langle P_2P_1,P_3P_1 \rangle \\
\langle P_2P_1,P_3P_1 \rangle & \langle P_3P_1,P_3P_1 \rangle
\end{array}
\right|} \ ,
$$
где скобками $ \langle \ , \ \rangle $ обозначено скалярное произведение.
**Площадь** четырехугольника с вершинами $ P_1=(x_{1},y_1) , P_2=(x_{2},y_2), P_3=(x_{3},y_3), P_4=(x_4,y_4) $ равна абсолютной величине (модулю) выражения
$$
\frac{1}{2}
\left| \begin{array}{cc}
x_1-x_3 & y_1-y_3 \\
x_2-x_4 & y_2-y_4
\end{array}
\right| =\frac{1}{2} \left[(x_1-x_3)(y_2-y_4)-(x_2-x_4)(y_1-y_3)\right]
$$
при условии, что стороны не пересекаются.
**Площадь** $ n_{} $-угольника $ P_{0}P_1\dots P_{n-1} P_0 $ с вершинами $ P_0 = (x_{0},y_0) ,\dots,
P_{n-1} = (x_{n-1},y_{n-1}) $ равна
абсолютной величине (модулю) выражения
$$
\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n-2}
\left|
\begin{array}{lll}
1 & x_0 & y_0 \\
1 & x_k & y_k \\
1 & x_{k+1} & y_{k+1}
\end{array}
\right|
$$
при условии, что стороны не пересекаются.
!!П!! **Пример.** Найти площадь пятиугольника, изображенного на рисунке.
{{ dets:polygon.gif|}}
**Решение.** Имеем: $ P_{0} =(1,2),P_1= (3,4),P_2=(4,1), P_3=(6,5) , P_4=(2,6) $.
$$
S=\frac{1}{2}\Bigg(
\left| \begin{array}{ccc}
1& 1 & 2 \\
1& 3 & 4 \\
1& 4 & 1
\end{array}
\right| +
\left| \begin{array}{ccc}
1& 1 & 2 \\
1& 4 & 1 \\
1& 6 & 5
\end{array}
\right|
+
\left| \begin{array}{ccc}
1& 1 & 2 \\
1& 6 & 5 \\
1 & 2 & 6
\end{array}
\right|
\Bigg) =
$$
$$
=\frac{1}{2}(-8+14+17)=\frac{23}{2} \ .
$$
Геометрический смысл суммирования будет более понятен, если перенумеровать точки, сделав стартовой $ P_{1} $: слагаемые в сумме
$$
\frac{1}{2}\Bigg(
\left| \begin{array}{ccc}
1& 3 & 4 \\
1& 4 & 1 \\
1& 6 & 5
\end{array}
\right| + \left| \begin{array}{ccc}
1& 3 & 4 \\
1& 6 & 5 \\
1& 2 & 6
\end{array}
\right| +
\left| \begin{array}{ccc}
1& 3 & 4 \\
1& 2 & 6 \\
1 & 1 & 2
\end{array}
\right| \Bigg) = \frac{1}{2}(10+7+6)
$$
теперь отвечают за площади треугольников, на которые разбит пятиугольник точечными линиями.
♦
**Площадь** параллелограмма в $ {\mathbb R}^{2} $ с вершинами $ (0,0), (x_{1},y_1) , (x_2,y_2), (x_1+x_2,y_1+y_2) $ равна абсолютной величине (модулю) определителя
$$
\left|
\begin{array}{ll}
x_1 & y_1 \\
x_2 & y_2 \\
\end{array}
\right| .
$$
!!П!! **Пример.** Для $ x_{1} =3,y_1=1,x_2=1,y_2=2 $
{{ dets:priam_s.gif |}}
имеем: $ S_{}=3\cdot 2 - 1 \cdot 1 = 5 $.
**Площадь** параллелограмма в $ {\mathbb R}^{3} $ с вершинами $ (0,0,0), (x_{1},y_1,z_1) , (x_2,y_2,z_2), (x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2) $ равна
$$
\sqrt{\det\left[\left(
\begin{array}{lll}
x_1 & y_1 & z_1 \\
x_2 & y_2 & z_2 \\
\end{array}
\right)\cdot \left(
\begin{array}{ll}
x_1 & x_2 \\
y_1 & y_2 \\
z_1 & z_2
\end{array}
\right)\right]
}=\sqrt{\left|
\begin{array}{cc}
x_1^2+y_1^2 + z_1^2 & x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2 \\
x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2 & x_2^2+y_2^2 + z_2^2 \\
\end{array}
\right|
} .
$$
Если применить к определителю произведения матриц ((:algebra2:dets#теорема_бине_-_коши теорему Бине-Коши)), то получим следующее равенство
$$
\det\left[\left(
\begin{array}{lll}
x_1 & y_1 & z_1 \\
x_2 & y_2 & z_2 \\
\end{array}
\right)\cdot \left(
\begin{array}{ll}
x_1 & x_2 \\
y_1 & y_2 \\
z_1 & z_2
\end{array}
\right)\right]=
\left|
\begin{array}{ll}
x_1 & y_1 \\
x_2 & y_2 \\
\end{array}
\right|^2+\left|
\begin{array}{ll}
x_1 & z_1 \\
x_2 & z_2 \\
\end{array}
\right|^2
+
\left|
\begin{array}{ll}
y_1 & z_1 \\
y_2 & z_2 \\
\end{array}
\right|^2 \ ,
$$
которое интерпретируется следующим образом: квадрат площади параллелограмма в $ \mathbb R^{3} $ равен сумме квадратов площадей его проекций на координатные плоскости. Можно считать этот результат обобщением теоремы Пифагора.
===Объемы==
====тетраэдра==
{{ dets:tetrahs1.gif|}}
**Объем тетраэдра** в $ \mathbb R^{3} $ с вершинами $ P_1= (x_{1},y_1,z_1) ,P_2=(x_2,y_2,z_2) , P_3=(x_3,y_3,z_3) , P_4=(x_4,y_4,z_4) $ равен абсолютной величине (модулю) выражения
$$
\frac{1}{6}
\left|
\begin{array}{llll}
1 & x_1 & y_1 & z_1 \\
1 & x_2 & y_2 & z_2 \\
1 & x_3 & y_3 & z_3 \\
1 & x_4 & y_4 & z_4
\end{array}
\right| .
$$
**Формула Тартальи** (**Кэли-Менгера**) для квадрата объема тетраэдра через длины его ребер:
$$
V^2=\frac{1}{288}
\left|
\begin{array}{ccccc}
0 & |P_1P_2|^2 & |P_1P_3|^2 & |P_1P_4|^2 & 1 \\
|P_1P_2|^2 & 0 & |P_2P_3|^2 & |P_2P_4|^2 & 1 \\
|P_1P_3|^2 & |P_2P_3|^2 & 0 & |P_3P_4|^2 & 1 \\
|P_1P_4|^2 & |P_2P_4|^2 & |P_3P_4|^2 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 0
\end{array}
\right| \ .
$$
**Доказательство**
☞
((:dets:geometry:cayley ЗДЕСЬ)).
Интересно было бы посмотреть, как эта формула выглядела в оригинале у ((:biogr#К_истории_открытия_решения_алгебраического_уравнения_третьей_степени Тартальи)), если аппарат определителей был придуман лет на 250 позже...
!!=>!! Если точки $ P_1,P_2,P_3,P_4 $ компланарны, т.е. тетраэдр вырождается в плоский четырехугольник, то формула Тартальи дает связь между сторонами четырехугольника и его диагоналями:
$$
\left|
\begin{array}{ccccc}
0 & |P_1P_2|^2 & |P_1P_3|^2 & |P_1P_4|^2 & 1 \\
|P_1P_2|^2 & 0 & |P_2P_3|^2 & |P_2P_4|^2 & 1 \\
|P_1P_3|^2 & |P_2P_3|^2 & 0 & |P_3P_4|^2 & 1 \\
|P_1P_4|^2 & |P_2P_4|^2 & |P_3P_4|^2 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 0
\end{array}
\right|=0 \, .
$$
Применение ((:dets:sylvester тождества Сильвестра)) дает (в обозначениях рисунка):
{{ dets:diagonals.png |}}
$$
\left|
\begin{array}{cccc}
0 & |P_2P_3|^2 & d_2^2 & 1 \\
|P_2P_3|^2 & 0 & |P_3P_4|^2 & 1 \\
d_2^2 & |P_3P_4|^2 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 0
\end{array}
\right| \cdot
\left|
\begin{array}{cccc}
0 & |P_1P_2|^2 & |P_1P_4|^2 & 1 \\
|P_1P_2|^2 & 0 & d_2^2 & 1 \\
|P_1P_4|^2 & d_2^2 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 0
\end{array}
\right|
=
$$
$$
=
\left|
\begin{array}{cccc}
|P_1P_2|^2 & 0 & d_2^2 & 1 \\
d_1^2 & |P_2P_3|^2 & |P_3P_4|^2 & 1 \\
|P_1P_4|^2 & d_2^2 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 0
\end{array}
\right|^2 \, .
$$
Откуда получаем формулу
$$
2\, d_1^2 d_2^2=(|P_1P_2|^2+|P_2P_3|^2+|P_3P_4|^2+|P_1P_4|^2-d_2^2) d_2^2+
$$
$$
+(|P_3P_4|^2-|P_2P_3|^2)(|P_1P_2|^2-|P_1P_4|^2)+
$$
$$
+\left\{
\left|
\begin{array}{cccc}
0 & |P_2P_3|^2 & d_2^2 & 1 \\
|P_2P_3|^2 & 0 & |P_3P_4|^2 & 1 \\
d_2^2 & |P_3P_4|^2 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 0
\end{array}
\right| \cdot
\left|
\begin{array}{cccc}
0 & |P_1P_2|^2 & |P_1P_4|^2 & 1 \\
|P_1P_2|^2 & 0 & d_2^2 & 1 \\
|P_1P_4|^2 & d_2^2 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 0
\end{array}
\right|\right\}^{1/2} \, ,
$$
позволяющую определить длину диагонали $ d_1 $ четырехугольника $ P_1P_2P_3P_4 $ через длину его второй диагонали и длины сторон.
Из ((#площади формулы Герона)) далее следует:
$$
2\,d_1^2 d_2^2=(|P_1P_2|^2+|P_2P_3|^2+|P_3P_4|^2+|P_1P_4|^2-d_2^2) d_2^2+
$$
$$
+ (|P_2P_3|^2-|P_3P_4|^2)(|P_1P_2|^2-|P_1P_4|^2)+
$$
$$
+16\, S_{\triangle P_1P_2P_3} S_{\triangle P_1P_3P_4} \, .
$$
**Объем симплекса** в $ \mathbb R_{}^{n} $ с вершинами в
$$ P_1=(x_{11},x_{12},\dots,x_{1n}) ,P_2=(x_{21},x_{22},\dots,x_{2n}) , \dots ,P_n=(x_{n1},x_{n2},\dots,x_{nn}),P_{n+1}=(x_{n+1,1},x_{n+1,2},\dots,x_{n+1,n}) \ , $$
т.е. тела, заданного уравнениями
$$
\left\{ X=\sum_{j=1}^{n+1} \alpha_j P_j \ \big| \ , \alpha_1\ge 0,\dots \alpha_{n+1} \ge 0, \sum_{j=1}^{n+1} \alpha_j =1 \right\}
$$
равен абсолютной величине (модулю) выражения
$$
\frac{1}{n!}\left| \begin{array}{cllll}
1 & x_{11}& x_{12} &\dots & x_{1n} \\
1 & x_{21}& x_{22} & \dots & x_{2n} \\
\vdots & & & & \vdots \\
1 & x_{n1}& x_{n2}& \dots & x_{nn} \\
1 & x_{n+1,1} & x_{n+1,2} & \dots & x_{n+1,n}
\end{array}
\right| \ .
$$
**Формула Кэли-Менгера** для квадрата объема симплекса через длины его ребер:
$$
V^2=\frac{(-1)^{n-1}}{2^n(n!)^2}
\left|
\begin{array}{cccccc}
0 & |P_1P_2|^2 & |P_1P_3|^2 & \dots & |P_1P_{n+1}|^2 & 1 \\
|P_1P_2|^2 & 0 & |P_2P_3|^2 & \dots & |P_2P_{n+1}|^2 & 1 \\
|P_1P_3|^2 & |P_2P_3|^2 & 0 & \dots & |P_3P_{n+1}|^2 & 1 \\
\dots & & & & & \dots \\
|P_1P_{n+1}|^2 & |P_2P_{n+1}|^2 & |P_3P_{n+1}|^2 & \dots & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 0
\end{array}
\right| \ .
$$
В частном случае: объем пирамиды
$$
\left\{ X=(x_1,\dots,x_n) \in \mathbb R^n \ \Big| \
\sum_{j=1}^n\frac{x_j}{a_j} \le 1, x_1 \ge 0,\dots, x_n \ge 0 \right\} \quad npu \quad a_1>0,\dots,a_n>0
$$
равен
$$
\frac{1}{n!}\prod_{j=1}^n a_j \ .
$$
====параллелепипеда==
**Объем** $ n_{} $-**мерного параллелепипеда** в $ {\mathbb R}^{n} $, построенного на вершинах
$$ (0,0,\dots,0), (x_{11},x_{12},\dots,x_{1n}) ,(x_{21},x_{22},\dots,x_{2n}) , \dots ,(x_{n1},x_{n2},\dots,x_{nn}), $$
равен абсолютной величине (модулю) определителя
$$
\left| \begin{array}{cccc}
x_{11}& x_{12} &\dots & x_{1n} \\
x_{21}& x_{22} & \dots & x_{2n} \\
\dots & & & \dots \\
x_{n1}& x_{n2}& \dots & x_{nn}
\end{array}
\right| \ .
$$
**Доказательство**
☞
((dets:gram#объемы_параллелепипедов ЗДЕСЬ)).
**Объем** $ m_{} $-**мерного параллелепипеда** в $ {\mathbb R}^{n} $, построенного на вершинах
$$ (0,0,\dots,0), (x_{11},x_{12},\dots,x_{1n}) ,(x_{21},x_{22},\dots,x_{2n}) , \dots , (x_{m1},x_{m2},\dots,x_{mn}), $$
равен
$$
\sqrt{\det(X\cdot X^{\top}}) \ npu \ X=
\left( \begin{array}{cccc}
x_{11}& x_{12} &\dots & x_{1n} \\
x_{21}& x_{22} & \dots & x_{2n} \\
\dots & & & \dots \\
x_{m1}& x_{m2}& \dots & x_{mn}
\end{array}
\right) \ .
$$
Здесь $ {}^{\top} $ означает ((:algebra2#транспонирование транспонирование)).
Неотрицательность определителя под знаком квадратного корня следует из ((:algebra2:dets#теорема_бине_-_коши теоремы Бине-Коши)) или же из ((dets:gram#свойства_определителя_грама свойств определителя Грама)).
**Объем** $ n_{} $-**мерного параллелепипеда**, ограниченного плоскостями
$$
a_{j1}x_1+a_{j2}x_2+\dots+a_{jn}x_n= \pm h_j \ npu \ j \in \{1,\dots, n \}
$$
равен
$$
\frac{2^n \displaystyle \prod_{j=1}^n h_j}{\det[a_{jk}]_{j,k=1}^n} \ .
$$
====эллипсоида==
**Объем** $ n_{} $-**мерного эллипсоида,** ограниченного поверхностью
$$
(x_1,x_2,\dots ,x_n)\left( \begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
a_{12} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
\dots & & & \dots \\
a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{nn}
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n
\end{array}
\right) =1
$$
(квадратичная форма, стоящая в левой части, ((algebra2:optimiz#критерий сильвестра == положительно определена))) равен
$$
\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)} \frac{1}{\sqrt{\det [a_{jk}]_{j,k=1}^n}} \ .
$$
Здесь $ \Gamma_{} $ обозначает гамма-функцию, при вычислениях значений которой в последней формуле достаточно пользоваться следующими ее свойствами:
$$\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi},\ \Gamma(1)=\Gamma(2)=1, \ \Gamma(x+1)=x\Gamma(x) \ npu \ \forall x >0,\ \Gamma(n+1)=n! \ npu \ \forall n \in {\mathbb N} \ . $$
!!П!! **Пример.** Площадь, ограниченная эллипсом
$$ a_{11}x_{1}^2+2a_{12}x_1x_2 + a_{22}x_2^2=1 \, ,$$
вычисляется по формуле
$$ \frac{\pi}{\sqrt{a_{11}a_{22}-a_{12}^2}} \ . $$
Объем фигуры, ограниченной эллипсоидом
$$
(x_1,x_2,x_3)\left( \begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{12} & a_{22} & a_{23} \\
a_{13} & a_{23} & a_{33}
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x_1 \\ x_2 \\ x_3
\end{array}
\right) =1
$$
равен
$$
\frac{4}{3} \frac{\pi}{\sqrt{\left| \begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{12} & a_{22} & a_{23} \\
a_{13} & a_{23} & a_{33}
\end{array}
\right|
}} \ .
$$
Объем фигуры, ограниченной четырехмерным эллипсоидом (в записи, аналогичной предыдущей) --
$$ \frac{\pi^2}{2\sqrt{\det(A)}} \ . $$
===Классификация алгебраических кривых и поверхностей==
==Источники==
[1]. **Uspensky J.V.** //Theory of Equations.// New York. McGraw-Hill. 1948