==Эквидистанта и не только... == ~~TOC~~ ===Эквидистанта== Рассмотрим гладкую кривую $ \mathbf K_{} $ на плоскости, в каждой ее точке $ A_{} $ проведем перпендикуляр и возьмем на этом перпендикуляре точки, находящиеся на некотором фиксированном расстоянии $ h_{} $ от точки $ A_{} $. Полученные точки формируют две кривые, каждую из которых назовем **эквидистантой**[[æquidistans (//лат.//) - равноудалённый]] кривой $ \mathbf K_{} $ и будем обозначать $ \mathbf K_{+h}^{} $ и $ \mathbf K_{-h}^{} $. В литературе используется также название **кривая, параллельная кривой**[[(//англ.//) parallel curve или offset curve]] $ \mathbf K_{} $. !!?!! Доказать, что касательные к кривой $ \mathbf K_{} $ и ее эквидистанте в соответствующих точках параллельны. Эквидистанты используются в машиностроении при проектировании профилей кулачковых механизмов ((#источники [1])). !!Т!! **Теорема 1.**((#источники [2])) //Если кривая// $ \mathbf K_{} $ //задана параметрически уравнениями// $$ x= \zeta (t),\ y= \eta (t) \ npu \ t \in [a,b] , $$ //то уравнения эквидистант//: $$ x=\zeta \pm \frac{h \eta' }{\sqrt{(\zeta')^2+(\eta')^2}},\ y=\eta \mp \frac{h \zeta' }{\sqrt{(\zeta')^2+(\eta')^2}} \ npu \ t \in [a,b] . $$ //Знаки должны быть согласоваными//. Очевидно, эквидистантами окружности также являются окружности. Но для других кривых второго порядка (параболы или эллипса) аналогичное утверждение уже неверно. !!П!! **Пример.** Найти эквидистанты эллипса $ x^2/4+y^{2}=1 $. **Решение.** Имеем $$ x= 2\, \cos \, t,\ y= \sin \, t \ npu \ t \in [0,2\pi] , $$ следовательно уравнения эквидистант: $$ x=\left(2\pm \frac{h}{\sqrt{1+3\sin^2 t}} \right)\cos \, t,\quad y=\left(1\pm \frac{2\,h}{\sqrt{1+3\sin^2 t}} \right)\sin \, t \quad npu \ t \in [0,2\pi] . $$ На рисунке показана "внутренняя" эквидистанта эллипса для $ h_{}=3/4 $. {{ dets:discrim:equidist_ell0.jpg }} Этим рисунком хорошо иллюстрируется еще одно применение эквидистанты. Посмотрим на картинку как будто бы она является изображением не плоского, но пространственного объекта. {{ dets:discrim:tor.jpg|}} Этот объект --- **тор**, или, в просторечии, бублик (баранка). Если поворачивать плоскость бублика перед глазами, так, чтобы она из вертикальной становилась горизонтальной, то в одном из промежуточных положений мы увидим бублик именно так, как изображено на картинке --- за исключением двух участков эквидистанты, именно, крайнего левого и правого "треугольничков" похожих на хвосты ласточки. В реальности они невидимы, так что в начертательной геометрии их иногда отображают пунктиром. В статье ((#источники [4])) очень наглядно описано это применение эквидистанты эллипса, а также приведен способ ее "механического" построения. Параметрический способ представления эквидистанты эллипса не является единственно возможным, ее можно задать и алгебраическим уравнением. Но сначала приведем аналогичное представление для более простой кривой --- параболы. !!Т!! **Теорема 2.** //Эквидистанты кривой// $ y=f_{}(x) $, //где// $ f_{}(x) $ -- //((:polynomial полином)) с вещественными коэффициентами, задаются уравнением// $$ \Phi_h(x,y)=0 \ npu \ \Phi_h(x,y)= {\mathcal D}_{X}\left(\left[X-x \right]^2 + \left[f(X)-y \right]^2-h^2 \right) \ . $$ //Здесь// $ {\mathcal D} $ //означает ((:dets:discrim дискриминант)) полинома, рассматриваемого относительно переменной// $ X_{} $, //в то время как остальные переменные считаются параметрами.// !!П!! **Пример.** Найти уравнение эквидистант параболы $ y=x^{2} $. **Решение.** После вычисления дискриминанта, отбросим общий множитель его коэффициентов и сгруппируем полученный полином по степеням $ h_{} $: $$ \begin{array}{rcl} \Phi_h(x,y)&=&{\mathcal D}_{X}\left(X^4+(1-2y)X^2-2\ xX+x^2+y^2-h^2\right)= \\ &=&(16 y^2+16 x^2-8 y+1)(y-x^2)^2 + \\ &+&\left[8(-4y^2-8yx^2-y+1-8 x^4)(y-x^2)- (4 x^2+1)^3 \right]h^2+ \\ &+&8(2y^2+4 y+6 x^2-1)h^4-16 h^6 \ . \end{array} $$ Уравнение $ \Phi_h(x,y)_{}=0 $ и дает искомые эквидистанты $ \mathbf K_{+h}^{} $ и $ \mathbf K_{-h}^{} $ для параболы $ y=x^{2} $. На рисунке показаны эквидистанты параболы для значения $ h_{}=1 $ {{ dets:discrim:equidist_par.jpg?400 |}} Здесь так же, как и в предыдущем примере, у "внутренней" эквидистанты возникает "ласточкин хвост". К каждой точке этого хвоста можно найти точку параболы, расположенную на расстоянии, __меньшем__ требуемого $ h_{}=1 $. Поэтому говорить об эквидистанте как о кривой, "//расстояние от каждой точки которой до кривой// $ \mathbf K_{} $ //одно и то же//" можно только имея в виду указанное обстоятельство: для получения "истинной эквидистанты" некоторые участки построенной кривой следует стирать. ♦ Результат теоремы $ 2 $ можно интерпретировать, воспользовавшись определением эквидистанты, как ((dets:discrim:envelope огибающей)) семейства окружностей радиуса $ h_{} $ с центрами на кривой $ \mathbf K_{} $. Если считать точки кривой источниками излучения равной мощности, распространяющегося в изотропной среде, заполняющей плоскость, то эквидистанта образует фронт волны (см. ☞ ((https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BF_%D0%93%D1%8E%D0%B9%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81%D0%B0_%E2%80%94_%D0%A4%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%BB%D1%8F принцип Гюйгенса-Френеля))). {{dets:discrim:equid_ogib.gif|}} {{dets:discrim:equid_ogibe.gif|}} !!A!! Анимация процесса распространения волны от параболы ☞ ((dets:discrim:equidist:animation2 ЗДЕСЬ)) (750 K, gif). !!Т!! **Теорема 3.** //Эквидистанты эллипса// $$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $$ //задаются уравнением// $ \Phi_h(x,y)=0 $ при $$ \Phi_h(x,y)= {\mathcal D}_{\mu}\Bigg( \mu^3-\left\{a^2+b^2-x^2-y^2+h^2 \right\}\mu^2 + $$ $$ +\left\{-a^2b^2\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} -1 \right)+h^2(a^2+b^2) \right\}\mu - h^2a^2b^2 \Bigg) \ . $$ //Здесь// $ {\mathcal D}_{\mu} $ //означает ((:dets:discrim дискриминант)) полинома, рассматриваемого относительно переменной// $ \mu_{} $, //в то время как остальные переменные считаются параметрами.// Эта теорема является следствием общего результата, касающегося ((:algebra2:optimiz:distance#расстояние_от_точки_до_квадрики вычисления расстояния от точки до квадрики)) в $ {\mathbb R}^{n} $. Покажем ее применение для примера, приведенного выше. !!П!! **Пример.** Найти эквидистанты эллипса $ x^{2}/4+y^2=1 $. **Решение.** Имеем $$ \Phi_h(x,y)= {\mathcal D}_{\mu}(\mu^3-(5-x^2-y^2+h^2)\mu^2+(-x^2-4\,y^2+4+5\,h^2)\mu-4\,h^2)= $$ $$ =9\,h^8-6(2\,x^2+7\,y^2+15)\,h^6+(-2\,x^4+73\,y^4+62\,x^2y^2-90\,x^2+270\,y^2+297)\,h^4+ $$ $$ + (-56\,y^6-360\,y^2-62\,x^4-248\,y^4+4\,x^6+270\,x^2-90\,x^2y^4-30\,x^4y^2+140\,x^2y^2-360)\,h^2+ $$ $$ +4(x^4+2\,x^2y^2+y^4-6\,x^2+6\,y^2+9)(x^2/4+y^2-1)^2 \ . $$ **Проверка.** Я проверял эквивалентность этого представления параметрическому, полученному выше. Вычисления довольно громоздки: из параметрических уравнений возведением их в квадрат добился возможности подстановки $ u=\sin^{2} t $; получились два уравнения, полиномиальные по $ x,y_{} $ но с ((:polynomial#поиск_корней_алгебраических_уравненийрешение_в_радикалах радикалами)) (квадратными корнями) относительно $ u_{} $; еще пара возведений в степень --- и получились рациональные уравнения относительно $ x,y,u_{} $; вычислил ((:dets:resultant результант)) числителей этих дробей, рассматривая их как полиномы относительно $ u_{} $, --- результатом действительно оказался полином $ \Phi_h(x,y)_{} $ с некоторым посторонним (полиномиальным же) множителем. Представление эквидистанты посредством алгебраического уравнения позволяет произвести анализ качественного поведения этой кривой в зависимости от изменения параметров, например, величины расстояния $ h_{} $. Например: при каких значениях $ h_{} $ возникают "ласточкины хвосты" у эквидистанты? Для ответа достаточно проанализировать точки пересечения эквидистанты с осью абсцисс. Подставив $ y=0_{} $ в уравнение $ \Phi_{h}(x,y)= 0 $ получим: $$ ((x-2)^2-h^2)((x+2)^2-h^2)(x^2+3\,h^2-3)^2=0 \ . $$ При возрастании $ h_{} $ от $ 0_{} $ корни этого полинома $$ \lambda_1=\pm(2-h) \quad u \quad \lambda_2=\pm \sqrt{3-3h^2} $$ будут сближаться до тех пор, пока не совпадут при значении $ h_{} = 1/2 $. Геометрически: при малой величине $ h_{} $ эквидистанта будет гладкой кривой похожей на эллипс, ее породивший: {{ dets:discrim:equidist011.jpg?400 |}} При $ h_{}=1/2 $ произойдет возникновение угловых точек $ x_{}=\pm 3/2, y=0 $: {{ dets:discrim:equidist051.jpg?400 |}} и при дальнейшем возрастании $ h_{} $ у эквидистанты появляются "хвосты": {{ dets:discrim:equidist061.jpg?400 |}} которые, все увеличиваясь в размерах: {{ dets:discrim:equidist091.jpg?400 |}} фактически "съедают" истинную внутреннюю эквидистанту эллипса при значении $ h_{}=1 $: {{ dets:discrim:equidist101.jpg?400 |}} Дальнейшее возрастание $ h_{} $ приводит к кривой {{ dets:discrim:equidist111.jpg?400 |}} ♦ !!A!! Анимация процесса ☞ ((dets:discrim:equidist:animation1 ЗДЕСЬ)) (1300 Kb, gif). !!Т!! **Теорема 4.**((#источники [2])). //Пусть кривая// $ \mathbf K_{} $ //задана параметрически уравнениями// $$ x= \zeta (t),\ y= \eta (t) \ npu \ t \in [a,b] , $$ //и// $ L(\mathbf K) $ - //длина этой кривой, а// $ L(\mathbf K_{\pm h})^{} $ - //длина соответствующей эквидистанты. Обозначим// $ \gamma_{} $ //угол (в радианах), образованный нормалями к кривой// $ \mathbf K_{} $ //в точках, соответствующих// $ t=a_{} $ //и// $ t=b_{} $. //Тогда имеет место соотношение:// $$ L(\mathbf K_{\pm h}) =L(\mathbf K) \pm h \gamma \ . $$ !!?!! ((#источники [5])) Доказать, что если кривые, заданные уравнениями $ \Phi_{}(x,y)=C $ при постоянных $ C \in \mathbb R_{} $, являются эквидистантными, то $$ \left(\frac{\partial \Phi}{\partial x} \right)^2 + \left(\frac{\partial \Phi}{\partial y} \right)^2 \equiv F(\Phi) \ , $$ где $ F_{} $ --- некоторая функция. {{ :dets:discrim:1674380663607.jpg?400 |}} ===Кривая зеркального отражения == Рассмотрим снова гладкую плоскую кривую $ \mathbf K_{} $, которую, в отличие от предыдущего пункта, будем считать не источником излучения, а зеркалом. Рассмотрим на этой же плоскости точку $ \mathbf A_{} $ с координатами $ (x_0,y_0) $, не лежащую на этой кривой. Если бы $ \mathbf K_{} $ была прямой линией, то зеркальным отражением точки $ \mathbf A_{} $ относительно $ \mathbf K_{} $ была бы единственная точка (см. ☞ ((:mapping:operator#матрица_оператора_отражения_оператора_хаусхолдера ОПЕРАТОР ОТРАЖЕНИЯ))). **Кривой зеркального отражения** (**изображения**) точки $ \mathbf A_{} $ относительно $ \mathbf K_{} $ назовем геометрическое место точек плоскости, являющихся зеркальными отражениями точки $ \mathbf A_{} $, относительно касательных к точкам кривой $ \mathbf K_{} $. !!Т!! **Теорема.** //Если кривая// $ \mathbf K_{} $ //задана параметрически уравнениями// $$ x= \zeta (t),\ y= \eta (t) \ npu \ t \in [a,b] , $$ //то уравнения кривой зеркального отражения относительно// $ \mathbf K_{} $ : $$ x=\frac{[(\zeta')^2-(\eta')^2]x_0+2\,\zeta'\eta'y_0-2\,\eta'[\eta \zeta'-\eta' \zeta] }{(\zeta')^2+(\eta')^2},\ $$ $$ y=\frac{-[(\zeta')^2-(\eta')^2]y_0+2\,\zeta'\eta'x_0+2\,\zeta'[\eta \zeta'-\eta' \zeta]}{(\zeta')^2+(\eta')^2} $$ //при// $ t_{} \in [a,b] $. !!Т!! **Теорема.** //Если кривая// $ \mathbf K_{} $ //задана// //уравнением// $ y=f_{}(x) $ //где// $ f_{}(x) $ -- //((:polynomial полином)) с вещественными коэффициентами,// $ \deg f>1 $, //то кривая зеркального отражения определяется уравнением// $ \Phi_{}(x,y)=0 $, //где// $$ \Phi(x,y)= {\mathcal D}_{X}\left(2\,X(x-x_0)+2\,f(X)(y-y_0) -(x^2-x_0^2)-(y^2-y_0^2) \right) \ . $$ //Здесь// $ {\mathcal D}_{} $ //означает ((:dets:discrim дискриминант)) полинома, рассматриваемого относительно переменной// $ X_{} $, //в то время как остальные переменные считаются параметрами.// !!П!! **Пример.** Найти кривые зеркального отражения относительно параболы $ y=x^{2} $. **Решение.** Уравнение кривой зеркального отражения точки $ (x_0,y_{0}) $ в неявном виде: $$ 8(y-y_0)(x^2+y^2-x_0^2-y_0^2)+4(x-x_0)^2= 0 $$ или в параметрическом: $$ x=\frac{(1-4\,t^2)x_0+4\,ty_0+4\,t^3}{1+4\,t^2}, \ y=\frac{-(1-4\,t^2)y_0+4\,tx_0-2\,t^2}{1+4\,t^2} \ . $$ Вид кривых для случая $ x_{0}=0,y_0=1 $ и $ x_{0}=0,y_0=-1 $: {{dets:discrim:zerkalo_1.jpg| }} {{dets:discrim:zerkalo_2.jpg| }} и для случая $ x_{0}=1,y_0=2 $ и $ x_{0}=2,y_0=1 $: {{dets:discrim:zerkalo_3.jpg| }} {{dets:discrim:zerkalo_4.jpg| }} === Кривая, равноудаленная от двух других кривых == !!П!! **Пример.** Кривая, состоящая из точек равноудаленных от эллипса $ x^{2}/4+y^2 =1 $ и точки $ x=1/2,y_{}=1/2 $: {{ dets:discrim:ravnoud0.gif |}} задается алгебраическим уравнением: $$ -3840\,x^6+512\,x^5y-2688\,x^4y^2+256\,x^3y^3-624\,x^2y^4+32\,xy^5-48\,y^6+7552\,x^5+6784\,x^4y- $$ $$ -544\,x^3y^2+416\,x^2y^3-80\,xy^4-272\,y^5+1168\,x^4-9792\,x^3y+7280\,x^2y^2+288\,xy^3-1340\,y^4- $$ $$ -7200\,x^3-4896\,x^2y-216\,xy^2-2520\,y^3-120\,x^2+5616\,xy-4164\,y^2+2016\,x+2016\,y+441=0 $$ или в параметрической форме: $$ x=(2+\tau)\cos t,\ y=(1+2\,\tau)\sin t \quad npu \quad \tau= \frac{(2\cos(t)-1/2)^2+(\sin(t)-1/2)^2}{\cos(t)+2\,\sin(t)-2} \quad u \quad t\in [0,\,2\pi] \ . $$ "Истинно равноудаленная" кривая выделена красным. ==Источники== [1]. **Артоболевский И.И.** //Теория механизмов и машин//. с.539 [2]. **Дингельдэй Фр.** //((:references#дингельдей Сборникъ задачъ по приложенiю дифференцiальнаго и интегральнаго исчисленiй))//. С.-Петербург. 1912. Типография Суворина [3]. **Дингельдей Ф.** //((:references#дингельдей Сборник упражнений и практических задач по интегральному исчислению))//. М.-Л.ГТТИ. 1933 [4]. **Семиков С.** //((http://semizdat.narod.ru/tor.html Бублик - тоже человек!))// "Инженер" N 8, 2005. [5]. **Бертранъ Ж.** //((:references#бертран Дифференцiальное исчисленiе.))// СПб. Изд-во "Наука и жизнь", 1911