☞ ((:detse:discrime English version)) Для понимания материалов настоящего раздела крайне желательно ознакомиться с разделами ((/polynomial ПОЛИНОМ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ)) и ((:algebra2:dets ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ)). == Дискриминант == Будем обозначать через $ \mathbb A_{} $ какое-либо из множеств $ \mathbb Z_{}, \mathbb Q, \mathbb R $ или $ \mathbb C_{} $. **Дискриминант**[[Discriminant (//лат.//) --- различающий, разделяющий; слово //дискриминация// происходит от discriminatio --- различение.]] полинома $ f(x)=a_{0}x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n, (n>1, a_0\ne 0) $ фактически совпадает с ((dets:resultant результантом)) этого полинома и его ((:polynomial#производные_от_полинома производной)): $$ {\mathcal D}(f)=\frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a_0}{\mathcal R}(f(x),f^{\prime}(x)) \ . $$ !!Т!! **Теорема.** //Если// $ \{ \lambda_{1},\dots,\lambda_n \} $ --- // набор корней полинома // $ f_{}(x) $ //с учетом их ((:polynomial#основная_теорема_высшей_алгебры кратностей)) , то// $$ {\mathcal D}(f) =(-1)^{n(n-1)/2} a_0^{n-2}\prod_{j=1}^n f^{\prime}(\lambda_j)= a_0^{2n-2} \prod_{1\le j < k \le n} (\lambda_k - \lambda_j)^2 \ . $$ !!=>!! $ {\mathcal D}(f_{}) = 0 $ тогда и только тогда, когда $ f_{}(x) $ имеет ((:polynomial#основная_теорема_высшей_алгебры кратный корень)). !!П!! **Пример.** Для квадратного трехчлена $$ {\mathcal D}(a_0x^2+a_1x+a_2)=\frac{1}{a_0}\left|\begin{array}{ccc} a_0&a_1&a_2\\ 0&2a_0&a_1\\ 2a_0&a_1&0 \end{array}\right|=a_1^2-4\,a_0a_2 \ . $$ !!?!! Показать, что **a)** $ \displaystyle {\mathcal D}(x^{3}+p\,x+q)=-108\left(\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}\right) $; **б)** $ {\mathcal D}(a_{0}x^3+a_1x^2+a_2x+a_3)= a_1^2a_2^2-4a_1^3a_3-4\,a_0a_2^3+18\,a_0a_1a_2a_3-27\,a_0^2a_3^2 $; **в)** $ \displaystyle {\mathcal D}(x^{4}+px+q)=6912\left(\frac{q^3}{27}-\frac{p^4}{256}\right) $. !!П!! **Пример.** $${\mathcal D} (a_0x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4)=4I_2^3-27I_3^2 \ . $$ Здесь $$ I_2=4a_0a_4-a_1a_3 +\frac{1}{3}a_2^2 \ , $$ $$ I_3=-a_0a_3^2-a_1^2a_4+\frac{8}{3}a_0a_2a_4+ \frac{1}{3}a_1a_2a_3-\frac{2}{27}a_2^3 \ . $$ !!§!! ''Смысл выражений'' $ I_{2} $ ''и'' $ I_{3} $ ☞ ((algebra2:optimiz:invariant ЗДЕСЬ)). ===Свойства== 1. $$ {\mathcal D}(A\cdot f(x)) = A^{2n-2} {\mathcal D}(f) ; $$ здесь $ A_{} $ --- константа и $ \deg f = n_{}>1 $. 2. $$ {\mathcal D}(f(x)\cdot g(x))={\mathcal D}(f){\mathcal D}(g)\left[{\mathcal R}(f, g) \right]^2 \ ; $$ здесь $ {\mathcal R}(f, g_{}) $ --- результант полиномов $ f(x)_{} $ и $ g_{}(x) $; степени которых предполагаются большими $ 1_{} $. 3. $$ {\mathcal D}(f(x)(x-a))={\mathcal D}(f)\left[f(a) \right]^2 \ . $$ 4. При условии $ a_{0}\ne 0, a_n \ne 0 $: $$ {\mathcal D}(a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n)={\mathcal D}(a_0+a_1x+\dots+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n) $$ 5. $$ {\mathcal D}(f(g(x))=\left[{\mathcal D}(f) \right]^m \prod_{j=1}^n {\mathcal D}(g(x)-\lambda_j) \ ; $$ здесь $ n=\deg f, m=\deg g , \{ \lambda_{1},\dots,\lambda_n \} $ --- набор корней полинома $ f_{}(x) $, и старшие коэффициенты $ f_{}(x) $ и $ g_{}(x) $ считаются равными $ 1_{} $. !!?!! Выразить **a)** $ {\mathcal D}(f_{}(A\,x+B)) $; **б)** $ {\mathcal D}(f(x^{m})) $; **в)** $ {\mathcal D}( {\tilde f}_{}(x)) $ через $ {\mathcal D}(f)_{} $. Здесь $$ {\tilde f}(x)\equiv (C\,x+D)^n f\left(\frac{A\,x+B}{C\,x+D} \right) \ . $$ ===Детерминантные представления== В соответствии с определением, дискриминант можно представить в виде определителя порядка $ 2n-1_{} $: $$ {\mathcal D}(f)=\frac{1}{a_0} \left|\begin{array}{cccccccccc} a_0&a_1&a_2&\ldots&\ldots&a_n&0&\dots &0 &0\\ 0&a_0&a_1&\ldots&\ldots&a_{n-1}&a_n&\dots&0 &0\\ \vdots&&\ddots&&&&&&\ddots\\ 0&0&\ldots&a_0&a_1&\ldots & & \ldots &a_{n-1} &a_n\\ 0&0&\ldots&&na_0&(n-1)a_1&\ldots& \ldots &2a_{n-2}&a_{n-1}\\ 0&0&\ldots&na_0&(n-1)a_1&\ldots &&\ldots &a_{n-1}&0\\ \vdots&&&\ldots&&&& &&\vdots\\ 0&na_0&\ldots&\ldots&&a_{n-1}&\ldots&&\ldots&0\\ na_0&\ldots&\ldots&&a_{n-1}&0&\ldots&&&0 \end{array}\right| \begin{array}{l} \left.\begin{array}{l} \\ \\ \\ \\ \end{array}\right\} n-1 \\ \left. \begin{array}{l} \\ \\ \\ \\ \\ \end{array}\right\} n \end{array} $$ В результате ((algebra2:dets#элементарные_свойства_определителя элементарных преобразований)) строк этого определителя, дискриминант можно представить в виде определителя порядка $ 2n-2_{} $: $$ {\mathcal D}(f)=\frac{1}{n^{n-2}} \left|\begin{array}{cccccccc} a_1&2a_2&3a_3&\ldots&na_n&0&\ldots&0\\ 0& a_1&2a_2&3a_3&\ldots&na_n&\ldots&0\\ & & &\ldots&\ldots& & & \\ 0&\ldots&0&a_1&2a_2&3a_3&\ldots&na_n\\ 0&\ldots&0&na_0&(n-1)a_1&(n-2)a_2&\ldots&a_{n-1}\\ 0&\ldots&na_0&(n-1)a_1&(n-2)a_2&\ldots&a_{n-1}&0\\ & & &\ldots&\ldots& & & \\ na_0&(n-1)a_1&(n-2)a_2&\ldots&a_{n-1}&0 &\ldots&0 \end{array}\right| $$ Последний определитель может быть получен и из альтернативного определения дискриминанта. Рассмотрим ((:polynomial#однородный_полином однородный полином)) (форму) от двух переменных $ x_{} $ и $ y_{} $: $$ F(x,y)= a_0x^n + a_1x^{n-1}y +a_2x^{n-2}y^2+\dots+a_{n-1}xy^{n-1}+a_ny^n . $$ Вычислим его частные производные $$ \phi(x,y)=\partial F / \partial x ,\ \psi(x,y)=\partial F / \partial y \ . $$ Тогда дискриминантом формы $ F(x,y)_{} $ называется результант полиномов $ \psi(x,1)_{} $ и $ \phi(x,1)_{} $. ===Дискриминант как полиномиальная функция коэффициентов== По построению, дискриминант является ((:polynomialm#однородный_полином однородным полиномом)) относительно коэффициентов $ a_{0},\dots,a_n $, причем полиномом с целыми коэффициентами: $$ {\mathcal D}(a_0x^n+\dots+a_n)\equiv D(a_0,\dots,a_n) \in {\mathbb Z}[a_0,\dots,a_n] \ ;$$ степень этого полинома равна $ 2n-2_{} $, и в своем разложении по степеням $ a_{0},\dots,a_n $ он будет содержать одночлен $ (-1)^{n(n-1)/2}n^n a_{0}^{n-1}a_n^{n-1} $. !!Т!! **Теорема.** //Если полином// $ f(x)_{} $ //имеет единственный ((:polynomial#основная_теорема_высшей_алгебры кратный корень))// $ \lambda_{} $ //второй кратности,то// $$ 1 : \lambda : \lambda^2 : \dots : \lambda^n = \frac{\partial D}{\partial a_n} : \frac{\partial D}{\partial a_{n-1}} : \frac{\partial D}{\partial a_{n-2}} : \dots : \frac{\partial D}{\partial a_{0}} \, . $$ !!П!! **Пример.** Вывести общую формулу вычисления кратного корня полинома $$ f(x)=a_{0}x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4 $$ при условии единственности этого корня. **Решение.** C использованием формулы для дискриминанта полинома четвертой степени ( см. ☝ ((#дискриминант ВЫШЕ)) ), имеем: $$\lambda = -\frac{2\,a_1I_2^2+9\,(-2\,a_0a_3+1/3\, a_1a_2)I_3}{8\,a_0I_2^2-9\,I_3(-a_1^2+8/3\,a_0a_2)} \ . $$ Для полинома $ f(x)= x^{4}-5x^3+4x^2+3x+9 $ будет $ I_{2}=169/3, I_3=-4394/27 $, $ {\mathcal D}(f)=0_{} $ и, по формуле имеем $ \lambda_{} = 3 $. ♦ Дискриминант является ((:algebra2/optimiz/invariant инвариантом)) полинома $ f(x)_{} $ (строго говоря, инвариантом ((:polynomial#однородный_полином однородного полинома)) (формы) $ y^{n}f(x/y) $). ===Субдискриминанты== Определитель, получающийся из определителя $$ \left|\begin{array}{cccccccc} a_1&2a_2&3a_3&\ldots&na_n&0&\ldots&0\\ 0& a_1&2a_2&3a_3&\ldots&na_n&\ldots&0\\ & & &\ldots&\ldots& & & \\ 0&\ldots&0&a_1&2a_2&3a_3&\ldots&na_n\\ 0&\ldots&0&na_0&(n-1)a_1&(n-2)a_2&\ldots&a_{n-1}\\ 0&\ldots&na_0&(n-1)a_1&(n-2)a_2&\ldots&a_{n-1}&0\\ & & &\ldots&\ldots& & & \\ na_0&(n-1)a_1&(n-2)a_2&\ldots&a_{n-1}&0 &\ldots&0 \end{array}\right| $$ вычеркиванием первых $ k_{} $ и последних $ k_{} $ строк, и первых $ k_{} $ и последних $ k_{} $ столбцов будем называть $ k_{} $-ым **субдискриминантом** дискриминанта $ \mathcal D (f_{}) $ и обозначать $ {\mathcal D}_{k} $. Для удобства формулировки некоторых последующих результатов дополнительно положим, что нулевой субдискриминант равен величине самого определителя, т.е. $$ {\mathcal D}_0=n^{n-2}{\mathcal D} (f) \quad u \quad {\mathcal D}_{n-1} = 1 \ . $$ В классической и современной литературе я не встречал устоявшегося названия объекта из последнего определения. В книге ((#источники [2])) сходный определитель назван //апериодическим// или //биградиентным//. !!Т!! **Теорема.** //Полином// $ f_{}(x) $ //имеет ровно// $ d_{} $ //общих корней со своей производной// (//более строго//: $ \deg( \operatorname{HOD} (f,f^{\prime}))=d$) //тогда и только тогда, когда// $$ \underbrace{{\mathcal D}_0=0, {\mathcal D}_1=0,\dots, {\mathcal D}_{d-1}=0}_d,{\mathcal D}_d\ne 0 \ . $$ !!=>!! Если полином $ f_{}(x) $ имеет __единственный__ кратный корень второй кратности, то этот корень рационально выражается через коэффициенты полинома: $$ \lambda=-\frac{\tilde {\mathcal D}_1}{{\mathcal D}_1} \ , $$ где $ \tilde {\mathcal D}_{1} $ -- определитель, получающийся из $ {\mathcal D}_{0} $ вычеркиванием из него первой и последней строк, а также первого и __предпоследнего__ столбцов (таким образом $ \tilde {\mathcal D}_{1} $ отличается от $ {\mathcal D}_{1} $ только последним столбцом). !!П!! **Пример.** Определить все значения параметра $ {\color{Red} \alpha } $, при которых полином $$ f(x)=2\,x^5+3\,x^4+4\,x^3+x^{2}-{\color{Red} \alpha } $$ обладает единственным кратным корнем и вычислить этот корень. **Решение.** Составляем определитель для $ {\mathcal D}_{0} $: $$ {\mathcal D}_0=\left|\begin{array}{rrrrrrrr} 3 & 8 & 3 & 0 & -5 {\color{Red} \alpha } & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 8 & 3 & 0 & -5 {\color{Red} \alpha } & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 8 & 3 & 0 & -5 {\color{Red} \alpha } & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 8 & 3 & 0 & -5 {\color{Red} \alpha } \\ 0 & 0 & 0 & 10 & 12 & 12 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 10 & 12 & 12 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 10 & 12 & 12 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 10 & 12 & 12 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right| = $$ $$ =50000\,{\color{Red} \alpha }^4-100608\,{\color{Red} \alpha }^3+51216\,{\color{Red} \alpha }^2-608\,{\color{Red} \alpha } \ . $$ Этот полином по $ {\color{Red} \alpha } $ обращается в нуль только при $ {\color{Red} \alpha } \in \{0,1, 38/3125 \} $. Вычеркивая из $ {\mathcal D}_{0} $ крайние столбцы и строки, составляем $$ {\mathcal D}_1=\left|\begin{array}{rrrrrr} 3 & 8 & 3 & 0 & -5 {\color{Red} \alpha } & 0 \\ 0 & 3 & 8 & 3 & 0 & -5 {\color{Red} \alpha } \\ 0 & 0 & 3 & 8 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 10 & 12 & 12 & 2 \\ 0 & 10 & 12 & 12 & 2 & 0 \\ 10 & 12 & 12 & 2 & 0 & 0 \end{array} \right| = 110000\,{\color{Red} \alpha }^2-102400\,{\color{Red} \alpha }-7600 \ . $$ При подстановке сюда найденных значений параметра $ {\color{Red} \alpha } $, получим: $$ {\mathcal D}_1 \ne 0 \ npu \ {\color{Red} \alpha } \in \{0, 38/3125 \}; \ {\mathcal D}_1 = 0 \ npu \ {\color{Red} \alpha } =1 \ . $$ Таким образом, полином $ f_{}(x) $ обладает единственным кратным корнем второй кратности при $ {\color{Red} \alpha } \in \{0, 38/3125 \} $, а при $ {\color{Red} \alpha } =1 $ имеет либо несколько кратных корней, либо один кратности выше второй. Для установления величины кратного корня, составим определитель $ \tilde {\mathcal D}_{1} $: $$ \tilde {\mathcal D}_1=\left|\begin{array}{rrrrrr} 3 & 8 & 3 & 0 & -5 {\color{Red} \alpha } & 0 \\ 0 & 3 & 8 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 8 & 3 & -5 {\color{Red} \alpha } \\ 0 & 0 & 10 & 12 & 12 & 0 \\ 0 & 10 & 12 & 12 & 2 & 0 \\ 10 & 12 & 12 & 2 & 0 & 0 \end{array} \right| = 147000{\color{Red} \alpha }^2-147000{\color{Red} \alpha } \ , $$ и подставим в формулу $$ \lambda=- \tilde {\mathcal D}_1 / {\mathcal D}_1 $$ найденные значения $ {\color{Red} \alpha } $: $$ \lambda = \left\{ \begin{array}{cl} 0 & npu \ {\color{Red} \alpha } =0 , \\ -1/5 & \ npu \ {\color{Red} \alpha } = 38/3125 \ . \end{array} \right. $$ При $ {\color{Red} \alpha }=1 $ имеются два кратных корня $$ (-1+\mathbf i \sqrt{3})/2,\ (-1-\mathbf i \sqrt{3})/2 \ , $$ каждый --- второй кратности. Но это факт устанавливается рассмотрением субдискриминанта $ \mathcal D_2 $. ♦ ===Представление дискриминанта посредством ганкелевой матрицы== Для полинома $ f_{}(x) $ его $ k_{} $-й **суммой Ньютона** называется сумма $ k_{} $-х степеней его корней $$ s_k=\sum_{j=1}^n\lambda_j^k \ . $$ Суммы Ньютона выражаются рационально через коэффициенты полинома $ f_{}(x) $ посредством следующих рекуррентных **формул Ньютона**: $$s_0=n,\ s_1=-a_1/a_0,\ $$ $$ s_k=\left\{\begin{array}{lr} -(a_1s_{k-1}+a_2s_{k-2}+\dots+a_{k-1}s_1+a_kk)/a_0, &npu \ k\le n ;\\ -(a_1s_{k-1}+a_2s_{k-2}+\dots+a_ns_{k-n})/a_0, &npu \ k > n \end{array} \right. $$ Явное выражение сумм Ньютона через $ a_{0}, \dots, a_n $ дается ((dets:discrim:waring#формула_варинга формулой Варинга)). Вычислим суммы Ньютона $ s_{0},s_1,\dots,s_{2n-2} $ полинома $ f_{}(x) $ и составим из них ((:algebra2:dets#ганкеля ганкелеву)) матрицу $$ S=\left[s_{j+k} \right]_{j,k=0}^{n-1} = \left[\begin{array}{llllll} s_0 &s_1&s_2&\dots&s_{n-2}& s_{n-1}\\ s_1 &s_2&s_3&\dots&s_{n-1}& s_{n}\\ s_2 &s_3&s_4&\dots&s_{n}& s_{n+1}\\ \dots& & &&& \dots\\ s_{n-1} &s_n&s_{n+1}&\dots &s_{2n-3}&s_{2n-2} \end{array}\right]_{n\times n} \ . $$ Обозначим $ S_{1},\dots, S_n $ ее ((:algebra2:dets#теорема_лапласа главные миноры)). !!Т!! **Теорема.** //Имеет место формула связи миноров матрицы// $ S_{} $ //с// ((#субдискриминанты субдискриминантами)): $$ {\mathcal D}_{k}=n^{n-k-2}a_0^{2(n-k-1)}S_{n-k} \ , $$ //В частности,// $$ {\mathcal D}(f)=a_0^{2n-2}\det S \ . $$ **Доказательство** следует из представления результанта $ \mathcal R(f,f^{\prime}) $ ((dets:resultant#результант_в_форме_кронекера в форме Кронекера)). !!=>!! Если $ S_n=0, S_{n-1}\ne 0 $, то полином $ f(x) $ имеет единственный кратный корень, и кратность этого корня --- вторая. Этот корень вычисляется по формуле $$ \lambda = s_1-\frac{1}{S_{n-1}} \left| \begin{array}{lllll} s_0 & s_1 & \dots & s_{n-3} & s_{n-1} \\ s_1 & s_2 & \dots & s_{n-2} & s_{n} \\ \vdots & & & & \vdots \\ s_{n-2} & s_{n-1} & \dots & s_{2n-1} & s_{2n-3} \end{array} \right| \, . $$ В правой части формулы стоит определитель, получающейся вычеркиванием из матрицы $ \det S $ последней строки и предпоследнего столбца. ===Влияние на корни полинома== ====Оценка близости корней== Дискриминант фактически отвечает за близость корней полинома $ f_{}(x) $: чем ближе корни, тем он меньше и наоборот. Величина дискриминанта может быть использована и для оценки расстояния между корнями. !!Т!! **Теорема.** //Имеет место оценка// $$ \frac{\sqrt{\left|{\mathcal D}(f) \right|}}{(2\rho)^{n(n-1)/2-1}|a_0|^{n-1}} \le \min_{j,k\in \{1,\dots,n \} \atop j\ne k} \left|\lambda_j - \lambda_k \right| \le \frac{\left|{\mathcal D}(f)\right|^{1/[n(n-1)]}}{|a_0|^{2/n}} \quad npu \quad \rho = \max_{j \in \{1,\dots,n \}} |a_j| \ . $$ ====Решение уравнений в радикалах== Из школьного курса алгебры известна формула, выражающая корни **квадратного** уравнения $ f(x)=a_{0}x^2+a_1x+a_2=0 $ в виде функций коэффициентов: $$ \lambda_{1,2}=\frac{-a_1\pm\sqrt{{\mathcal D}(f)}}{2a_0} \ . $$ Здесь $ {\mathcal D}(f)=a_{1}^2-4a_0a_2 $ -- дискриминант квадратного трехчлена. В этой формуле предполагалось, что $ {\mathcal D}(f) \ge 0_{} $, a все коэффициенты, разумеется, считались вещественными. Тем не менее, формула остается справедливой и в том случае, когда коэффициенты полинома являются мнимыми (см. ☞ ((:complex_num#квадратный_корень ЗДЕСЬ)) ). Для **кубического** уравнения $ f(x)=a_{0}x^3+a_1x^2+a_2x+a_3=0 $ также существует явная формула, выражающая корни через коэффициенты --- ((:polynomial#уравнение_третьей_степени формула Кардано)). В частном случае полинома $ f(x)=x^{3}+px+q $ она имеет вид $$ \lambda = \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+ \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}} $$ По определенному правилу (см. ☞ ((:polynomial#уравнение_третьей_степени ЗДЕСЬ)) ) комбинируются значения корней кубических из (вообще говоря) ((:complex_num#определение мнимых)) чисел (даже для случая вещественных $ p_{} $ и $ q_{} $). Под знаком квадратного корня снова стоит диcкриминант: $$ \frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27} = -108 {\mathcal D}(x^3+px+q) \ . $$ ====Вещественность корней== Полином $ f(x)=a_0x^{n}+a_1x^{n-1}+\dots+a_{n} $ с вещественными коэффициентами $ a_{0}\ne 0, a_1,\dots a_n $ может иметь как вещественные, так и мнимые корни $ \lambda_{1},\dots,\lambda_n $ (см. ☞ ((:polynomial#полиномы_с_вещественными_коэффициентами ЗДЕСЬ)) ). Хотя сами эти корни, как правило, не выражаются в "хороших" функциях от коэффициентов (см. ☞ ((:polynomial#уравнения_высших_степеней РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В РАДИКАЛАХ)) ), но условия наличия среди них заданного количества вещественных могут быть выражены в виде полиномиальных неравенств, наложенных на $ a_{0}, a_1,\dots a_n $. Самым существенным из этих условий является условие на знак дискриминанта $ {\mathcal D}(f_{}) $. !!П!! **Пример.** Необходимым и достаточным условием вещественности корней полинома **a)** $ f(x)=a_{0}x^2+a_1x+a_{2} $ является $ {\mathcal D}(f)=a_1^2-4a_0a_{2} \ge 0 $; **б)** $ f(x)=x^{3}+p\,x+q_{} $ является $ {\mathcal D}(f) = -4\,p^3-27\,q^{2} \ge 0 \ \iff \ \frac{q^2}{4}+\frac{p^3} {27} \le 0 $. При степени полинома $ n \ge 4_{} $ условие положительности дискриминанта уже не будет необходимым и достаточным для вещественности всех его корней. !!Т!! **Теорема.** //Для того, чтобы все корни полинома// $ f(x)_{} $ //были вещественными необходимо, чтобы// $ {\mathcal D}(f) \ge 0_{} $. **Доказательство** очевидно следует из ((#дискриминант представления)) $ \mathcal D (f)_{} $ через корни $ f(x)_{} $. Более общий результат связывает количество различных вещественных корней $ f(x)_{} $ со знаками ((#субдискриминанты субдискриминантов)). !!Т!! **Теорема.** //Пусть// $ {\mathcal D}(f) \ne 0_{} $. //Если в последовательности субдискриминантов// $$ {\mathcal D}_0,{\mathcal D}_{1},\dots,{\mathcal D}_{n-1}=1 $$ //нет двух последовательных нулей, то все корни полинома// $ f(x)_{} $ //различны и число вещественных равно// $$ {\mathcal P}(1,{\mathcal D}_{n-1},\dots,{\mathcal D}_0) - {\mathcal V}(1,{\mathcal D}_{n-1},\dots,{\mathcal D}_0) \ , $$ //где// $ {\mathcal P} $ //и// $ {\mathcal V} $ --- //числа ((algebra2:notations#число_знакопостоянств_знакоперемен знакопостоянств и знакоперемен)) в последовательности.// Предыдущая теорема является переформулировкой следующей, основанной на ((dets:discrim#представление_дискриминанта_посредством_ганкелевой_матрицы представлении дискриминанта посредством ганкелевой матрицы)) $ S_{} $. !!Т!! **Теорема [Якоби].** //Число различных корней полинома// $ f(x)_{} $ //равно ((algebra2:rank рангу)), а число различных вещественных корней// $ f(x)_{} $ //--- сигнатуре матрицы// $ S_{} $. Конструктивное вычисление ранга и сигнатуры симметричной матрицы $ S_{} $ возможно посредством определения знаков ее главных миноров $ S_{1},\dots,S_n $. !!=>!! Пусть $$ S_n=0,\dots,S_{{\mathfrak r}+1}=0,S_{\mathfrak r}\ne 0, \dots, S_1 \ne 0 \ .$$ Тогда $ \operatorname{rank} (S)={\mathfrak r}_{} $ и число различных вещественных корней $ f(x)_{} $ равно $${\mathcal P}(1,S_1,\dots,S_{\mathfrak r}) -{\mathcal V}(1,S_1,\dots,S_{\mathfrak r}) \ . $$ !!=>!! Для того, чтобы все корни полинома $ f(x) \in \mathbb R[x]_{} $ были вещественны и различны необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы $ S_{} $ были положительны: $$ S_1>0,\dots,S_n > 0 \ . $$ !!П!! **Пример.** Определить число вещественных корней полинома $$ x^{5}-3\,x^3-x-1 \, . $$ **Решение.** Суммы Ньютона: $$ \{s_j \}_{j=0}^8=\{5,\, 0,\, 6,\, 0,\, 22,\, 5,\, 72,\, 21,\,238 \} \ . $$ Составляем из них ганкелеву матрицу $$ S= \left[ \begin{array}{rrrrr} 5 & 0 & 6 & 0 & 22 \\ 0 & 6 & 0 & 22 & 5 \\ 6 & 0 & 22 & 5 & 72 \\ 0 & 22 & 5 & 72 & 21 \\ 22 & 5 & 72 & 21 & 238 \end{array} \right] $$ и вычисляем ее главные миноры: $$ S_1=5,\, S_2=30,\, S_3=444,\, S_4=-4598,\, S_5=-56\,123 \ . $$ Поскольку $ S_{5}\ne 0 $, все корни $ f(x)_{} $ различны. $$ {\mathcal P}(1,\,5,\,30,\,444,\,-4598,\,-56\,123)=4,\ {\mathcal V}(1,\,5,\,30,\,444,\,-4598,\,-56\,123)=1 \ . $$ **Ответ.** Три вещественных корня. !!П!! **Пример.** Установить количество вещественных корней полинома $$ 2\,x^{5}+3\,x^4+4\,x^3+x^{2}- {\color{Red} \alpha } $$ в зависимости от значений параметра $ {\color{Red} \alpha } \in \mathbb R $. **Решение.** Дискриминант полинома и его первый субдискриминант уже были вычислены выше: $$ {\mathcal D}_0= 16\alpha(3125\,{\color{Red} \alpha }-38)({\color{Red} \alpha }-1)^2,\ {\mathcal D}_1=400\,(275\,{\color{Red} \alpha }+19)(\alpha-1) \ . $$ $$ {\mathcal D}_2=\left|\begin{array}{rrrr} 3 & 8 & 3 & 0 \\ 0 & 3 & 8 & 3 \\ 0 & 10 & 12 & 12 \\ 10 & 12 & 12 & 2 \end{array} \right| = -2940 \ , {\mathcal D}_3=\left|\begin{array}{rr} 3 & 8 \\ 10 & 12 \end{array} \right|=-44 \ . $$ Анализируем знаки $ {\mathcal D}_{0} $ и $ {\mathcal D}_{1} $ в зависимости от значений параметра $ \alpha_{} $; здесь критическими оказываются те значения, что обращают хоть один из субдискриминантов в нуль: $$ \begin{array}{c|c|c|c} & {\mathcal D}_0 & {\mathcal D}_1 & \begin{array}{l} {\mathcal P}(1,1,{\mathcal D}_3,{\mathcal D}_2, {\mathcal D}_1,{\mathcal D}_0) - \\ {\mathcal V}(1,1,{\mathcal D}_3,{\mathcal D}_2, {\mathcal D}_1,{\mathcal D}_0) \end{array} \\ \hline {\color{Red} \alpha }>1 & >0 & <0 & 3-2 \\ \hline \frac{38}{3125}<{\color{Red} \alpha }<1 & >0 & <0 & 3-2 \\ \hline 0<{\color{Red} \alpha }<\frac{38}{3125} & <0 & <0 & 4-1 \\ \hline -\frac{19}{275} < {\color{Red} \alpha } < 0 & >0 & <0 & 3-2 \\ \hline {\color{Red} \alpha } < -\frac{19}{275} & >0 & >0 & 3-2 \end{array} $$ **Ответ.** Полином имеет один вещественный корень при $ {\color{Red} \alpha }<0_{} $ и при $ {\color{Red} \alpha } > 38/3125 $; полином имеет три вещественных корня при $ {\color{Red} \alpha } \in [0,38/3125] $. Обратим внимание, что установленные в предыдущем примере условия имеют следующую структуру: границами интервалов значений параметра $ {\color{Red} \alpha } $, обеспечивающих заданное количество вещественных корней у полинома $ f(x,{\color{Red} \alpha }) $, оказались корни его дискриминанта $ \mathcal D_{x} (f(x,{\color{Red} \alpha })) $. Это обстоятельство оказывается проявлением общего принципа: из всех неравенств на знаки субдискриминантов самым критичным оказывается условие на знак самого дискриминанта. !!Т!! **Теорема.** //В// $ n_{} $//-мерном пространстве коэффициентов// $ (a_{1},\dots, a_n) $ //области, соответствующие полиномам// $$ f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_{n} $$ //с одинаковым числом вещественных корней, отделяются друг от друга// **дискриминантной поверхностью**, //т.е. поверхностью// $$D(1,a_1,\dots,a_n) = \mathcal D_x(x^n+a_1x^{n-1}+\dots + a_n)=0 \ . $$ Это свойство дискриминанта оправдывает его название: discriminant (//лат.//) --- различающий, разделяющий; слово //дискриминация// происходит от discriminatio --- различение. !!П!! **Пример.** {{ dets:disrim3.gif|}} Для полинома $ x^{3}+px+q $ дискриминантная поверхность становится плоской кривой: $ 4\,p^3+27\,q^2 =0 $; она отделяет (см. анализ ☞ ((:polynomial:radical#анализ_формулы_кардано_для_полиномов_с_вещественными_коэффициентами ЗДЕСЬ)) ) область значений параметров $ (p,q_{}) $, соответствующих полиномам с тремя вещественными корнями (обозначена желтым цветом) от области полиномов, имеющих лишь один вещественный корень (обозначена голубым). Авторство приведенной выше теоремы до конца не выяснил. В ((#источники [3])) на с. 252 идут ссылки на работу Brill от 1877 г., а также на работы Кронекера по теории характеристик. В отечественной литературе выражение "дискриминантная поверхность" --- в указанном смысле --- не встречал; только в классической немецкой под названием Diskriminantenfläche. В теории ((#огибающая огибающих)) это выражение используется в ином смысле. ===Приложения== ====Экстремальные значения полинома== **Задача.** Для полинома $ f(x)=a_0x^{n}+a_1x^{n-1}+\dots+a_n $ с вещественными коэффициентами $ a_0\ne 0, a_{1},\dots a_n $ найти его ((:polynomial#экстремумы экстремальные значения)). В частности, при $ n_{} $ -- четном и $ a_{0}<0 $ найти его абсолютный максимум $$ \max_{x\in {\mathbb R}}f(x) \ . $$ !!Т!! **Теорема.** //Экстремальные значения полинома// $ f_{}(x) $ //являются вещественными корнями полинома// $$ {\mathcal F}(z)={\mathcal D}_x(f(x)-z) \ . $$ //Здесь дискриминант рассматривается от полинома по переменной// $ x_{} $,// а// $ z_{} $ //считается числовым параметром.// !!=>!! При $ n_{} $ -- четном и $ a_{0}<0 $ максимальное значение полинома $ f_{}(x) $ совпадает с максимальным корнем полинома $ {\mathcal F}(z_{}) $, при условии, что этот корень не является кратным. !!П!! **Пример.** Для $$ f(x)=x^{4}+p\,x+q $$ имеем $${\mathcal F}(z)=256\ z^3-768q\ z^2+768q^2\ z+(27 p^4-256 q^3) \ .$$ !!П!!** Пример.** Найти максимум полинома $$ f(x)=-x^{6}+12\,x^2+12\,x+2 \, . $$ **Решение.** Имеем $$ \mathcal F(z)= 46656(-z^5+10\,z^4+472\,z^3+16208\,z^2-16272\,z-32800)\ , $$ и максимальный вещественный корень последнего полинома $ \approx 35.6321_{} $, что совпадает со значением полинома $ f_{}(x) $ на одном из корней его производной: $ \mu_{} \approx 1.51851 $. ♦ **Выводы.** Вместо того, чтобы искать все вещественные корни производной $ f{'}(x) $, подставлять их потом в $ f_{}(x) $ и сравнивать получившиеся значения, мы ищем только один --- максимальный корень нового полинома $ \mathcal F_{}(z) $. Последнюю задачу --- поиска какого-то одного корня алгебраического уравнения с заранее определенными свойствами --- иногда решать проще. Так, к примеру, можно наудачу попробовать искать максимальный корень полинома $ \mathcal F_{}(z) $ по ((:recurr#поиск_корня_полинома_методом_бернулли методу Бернулли)) --- и если алгоритм сойдется к __положительному__ значению, то оно[[c вероятностью $ 1_{} $]] и будет величиной глобального максимума $ f_{}(x) $. !!?!! Построить полином $ {\mathcal F}(z) $ для **а)** $ f(x)=-x^{4}-4x^3+2x^2+12x $, **б)** $ f(x)=-x^{4}+4x^3-4x^2 $, **в)** $ f(x)=-x^{6}-10x^3+12 x $ и установить, что $ \max f_{}(x) $ достигается в двух стационарных точках. Существенность условия простоты максимального корня $ {\mathcal F}(z) $ поясняет следующий !!П!! **Пример** ((#источники [4])). Для $$ f(x)=-x^{6}-135\, x^2-324\, x $$ получим: $$ {\mathcal F}(z)\equiv 46656(z^3+1080\,z^2+1603800\,z-354294000)(z-540)^2 $$ имеет максимальный корень равным $ z_{}=540 $; однако последний соответствует комплексно-сопряженным корням $ \mu_{1,2}=(-3\pm \mathbf i\sqrt {15})/2_{} $ производной $ f{'}(x)=-6(x^{5}+45\,x+54) $. Максимум $ f_{}(x) $ достигается на корне $ \mu_{3}=1-\sqrt[3]{10} $ и равен $ 90(-4+5 \sqrt[3]{10}-\sqrt[3]{100}_{}) \approx 191.7526154 $. ♦ ====Экстремальные значения неявной функции== Обобщением задачи из предыдущего пункта является следующая: **Задача.** Найти экстремумы функции $ y=f_{}(x) $, заданной алгебраическим уравнением $ \Phi_{}(x,y)=0 $. Здесь $ \Phi_{}(x,y) $ --- ((:polynomialm полином)) по $ x $ и $ y $ с вещественными коэффициентами. !!Т!! **Теорема.** //Экстремальные значения неявной функции являются вещественными корнями полинома// $$ {\mathcal F}(y)={\mathcal D}_x(\Phi(x,y)) \ . $$ //Здесь дискриминант рассматривается от полинома по переменной// $ x_{} $,// а// $ y_{} $ //считается числовым параметром.// **Доказательство.** Необходимое условие экстремума функции $ y=f_{}(x) $ в точке $ x=x_{0} $ заключается в обращении в нуль производной $ f^{\prime}(x_{}) $. Дифференцируя тождество $ \Phi(x,f(x)) \equiv 0 $ по $ x_{} $ $$ \frac{\partial \Phi}{\partial x} + \frac{\partial \Phi}{\partial y} f^{\prime}(x) \equiv 0 $$ получаем, что в точке $ x=x_0, y_0=f(x_0) $ должны быть выполнены условия $$ \Phi(x,y)=0,\ \partial \Phi / \partial x = 0 \ . $$ ♦ !!П!! **Пример.** Найти минимум неявной функции, заданной уравнением $$ -x^4-1/2 y^4+4\,x^2+3\,xy+4\,y=0 \ \mbox{при} \ y < 0, x\in ]-2,2[ \ . $$ **Решение.** Вопрос о существовании и способах представления этой функции решается ☞ ((:polynomialm#случай_двух_переменных ЗДЕСЬ)); но в настоящем решении мы просто формально применяем теорему: $$ {\mathcal F}(y)={\mathcal D}_x(-x^4+4\,x^2+3\,xy-1/2 y^4+4\,y) = $$ $$ =32\,y^{12}-768\,y^9-512\,y^8+3552\,y^6+8192\,y^5-139\,y^4+4352\,y^3-30464\,y^2-16384\,y \ . $$ Вещественные корни последнего полинома: $$ y_1 \approx -1.795011, \ y_2 \approx -0.490598, \ y_3= 0,\ y_4 \approx 2.741399 \ . $$ Минимальным корнем является первый, по его значению можно ((#субдискриминанты восстановить)) и значение $ x_{1} $: как кратного корня полинома $ \Phi (x,y_1) $. Его значение $ x_1 \approx -1.674506 $ принадлежит рассматриваемому интервалу $ ]-2,2[ $ и можно проверить, что при $ x = \pm 2 $ вещественные корни полинома $ \Phi(x_{},y) $ все больше $ y_{1} $. **Ответ.** $ \min \approx -1.795011 $. Задача условного экстремума --- поиска минимума или максимума функции $ g(x,y) $ при условии $ f(x,y)=0 $ для полиномиальных $ f $ и $ g $ --- рассматривается ☞ ((algebra2/dets/jacobian#uslovnyj_ehkstremum ЗДЕСЬ)). ====Вычисление расстояния== !!Т!! **Теорема.** //Квадрат расстояния от точки// $ X_{0} \in {\mathbb R}^n $ //до квадрики в// $ {\mathbb R}^{n} $, //заданной уравнением// $$ X^{\top}AX+2B^{\top}X-1=0 \ , (A=A^{\top}) $$ //равен минимальному положительному корню полинома// $$ {\mathcal F}(z)={\mathcal D}_{\mu} \left(\det \left( \left[ \begin{array}{cc} A & B \\ B^{\top} & -1 \end{array} \right] + \mu \left[ \begin{array}{cc} -E & X_0 \\ X_0^{\top} & z-X_0^{\top}X_0 \end{array} \right] \right) \right) \ , $$ //при условиях, что// $ X_{0}^{\top}AX_0+2 B^{\top}X_0-1\ne 0 $ //и указанный корень не является ((:polynomial#основная_теорема_высшей_алгебры кратным)). Здесь дискриминант рассматривается от полинома по переменной// $ \mu_{} $, $ z_{} $ //считается числовым параметром, а// $ E_{} $ означает ((:algebra2#единичная единичную матрицу)) порядка $ n_{} $. !!=>!! Квадрат расстояния от начала координат $ {\mathbb O} \in {\mathbb R}^{n} $ до поверхности, заданной уравнением $$ X^{\top}AX+2B^{\top}X-1=0 \ , $$ равен минимальному положительному корню полинома $$ {\mathcal F}(z)={\mathcal D}_{\mu} \left( f(\mu)(\mu z-1)-B^{\top}q(A,\mu)B \right)\ , $$ при условии, что этот корень не является кратным. Здесь $ f(\mu)=\det (A-\mu E)_{} $ --- ((:algebra2:charpoly характеристический полином)) матрицы $ A_{} $, а $ q(A,\mu) $ --- матрица ((:algebra2#Обращение_матрицы взаимная)) матрице $ A-\mu E_{} $. В частном случае $ B={\mathbb O}_{} $ (поверхность центрирована к началу координат), имеем (на основании свойства 2 ☞ ((#Свойства ЗДЕСЬ)) ): $$ {\mathcal F}(z)=\left[z^nf(1/z) \right]^2{\mathcal D}_{\mu}(f(\mu)) \ , $$ и расстояние до квадратичной поверхности оказывается равным $ 1/\sqrt{\lambda_{\max}^{}} $, где $ \lambda_{\max}^{} $ --- максимальное ((:algebra2:charpoly#собственное_число собственное число)) матрицы $ A_{} $. Получаем проявление известного ((:algebra2:symmetric#ehkstremalnoe_svojstvo_sobstvennyx_chisel экстремального свойства собственных чисел симметричной матрицы)). !!§!! ''Другие приложения дискриминанта в задачах, связанных с вычислением расстояния'' ☞ ((:algebra2:optimiz:distance ЗДЕСЬ)) ====Эквидистанта== Рассмотрим гладкую кривую $ \mathbf K_{} $ на плоскости, в каждой ее точке $ A_{} $ проведем перпендикуляр и возьмем на этом перпендикуляре точки, находящиеся на некотором фиксированном расстоянии $ h_{} $ от точки $ A_{} $. Полученные точки формируют две кривые, каждую из которых назовем **эквидистантой** кривой $ \mathbf K_{} $ и будем обозначать $ {\mathbf K}_{+h}^{} $ и $ {\mathbf K}_{-h}^{} $. !!Т!! **Теорема.** //Эквидистанты кривой// $ y=f_{}(x) $, //где// $ f_{}(x) $ -- //полином с вещественными коэффициентами, задаются уравнением// $$ \Phi(x,y)=0 \ npu \ \Phi(x,y)= {\mathcal D}_{X}\left(\left[X-x \right]^2 + \left[f(X)-y \right]^2-h^2 \right) \ . $$ //Здесь дискриминант берется по переменной// $ X_{} $, //в то время как остальные переменные считаются параметрами.// !!П!! **Пример.** Найти уравнение эквидистант параболы $ y=x^{2} $. **Решение.** После вычисления дискриминанта, отбросим общий множитель его коэффициентов и сгруппируем полученный полином по степеням $ h_{} $: $$ \begin{array}{rcl} \Phi(x,y)&=&{\mathcal D}_{X}\left(X^4+(1-2y)X^2-2\ xX+x^2+y^2-h^2\right)= \\ &=&(16 y^2+16 x^2-8 y+1)(y-x^2)^2 + \\ &+&\left[8(-4y^2-8yx^2-y+1-8 x^4)(y-x^2)- (4 x^2+1)^3 \right]h^2+ \\ &+&8(2y^2+4 y+6 x^2-1)h^4-16 h^6 \ . \end{array} $$ Уравнение $ \Phi(x,y)=0 $ и дает искомые эквидистанты $ {\mathbf K}_{+h}^{} $ и $ {\mathbf K}_{-h}^{} $ для параболы $ y=x^{2} $.На рисунке показаны эквидистанты параболы для $ h=1_{} $ {{ dets:discrim:equidist_par.jpg?400 |}} !!§!! ''Подробнее об эквидистанте'' ☞ ((dets:discrim:equidist ЗДЕСЬ)). ====Огибающая== Рассмотрим теперь семейство плоских кривых $ \left\{ \mathbf K(\lambda) \right\}_{} $, зависящих от параметра $ \lambda_{} $, принимающего значения из интервала $ [a,b] \in \mathbb R_{} $. Если существует некоторая кривая $ \mathbf L_{} $, которая в каждой своей точке касается некоторой кривой рассматриваемого семейства, но при этом не совпадает ни с одной из них на протяжении какого-либо своего участка, то эта кривая $ \mathbf L_{} $ называется **огибающей семейства кривых** $ \left\{ \mathbf K(\lambda) \right\}_{} $. Пусть кривые семейства $ \left\{ \mathbf K(\lambda) \right\}_{} $ заданы уравнением $$ \Psi(x,y,\lambda)=0 \ , $$ где $ \Psi(x,y,\lambda)_{} $ --- функция, непрерывно дифференцируемая по своим аргументам. Геометрическое место точек плоскости, удовлетворяющих условиям $$ \Psi(x,y,\lambda)=0,\ \frac{\partial \Psi(x,y,\lambda)}{\partial \lambda} = 0 $$ называется **дискриминантной кривой** семейства $ \left\{ \mathbf K(\lambda) \right\}_{} $. !!Т!! **Теорема.** //Дискриминантная кривая семейства включает в себя огибающую этого семейства, а также, возможно, множество особых точек --- таких точек, для которых выполняются условия// $$ \frac{\partial \Psi(x,y,\lambda)}{\partial x} = 0,\ \frac{\partial \Psi(x,y,\lambda)}{\partial y} = 0 \ . $$ !!П!! **Пример.** Найти огибающую семейства эллипсов $$ \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{(1-a)^2}=1 \ npu \ a \in ]0,1[ \ . $$ {{dets:equid_ogibek9.gif| }} {{dets:equid_ogibek19.gif|}} **Решение.** Здесь уравнение дискриминантной кривой получается {{ dets:krivaja.gif|}} исключением параметра $ a_{} $ из системы $$ \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{(1-a)^2}=1,\ \frac{x^2}{a^3}-\frac{y^2}{(1-a)^3} = 0 \ . $$ Выражаем из второго уравнения $ a_{} $: $$ a=\frac{x^{2/3}}{x^{2/3}+y^{2/3}} \ , $$ (здесь существенно ограничение $ 0< a_{} < 1 $ из условия) подставляем в первое: $$ x^{2/3}+y^{2/3}=1 \ . $$ Получившаяся кривая называется **астроидой**. ♦ Удивительно, что ни в одном __современном__ учебнике по геометрии я не нашел связи понятия дискриминантной кривой с понятием дискриминанта --- хотя эта связь очевидна: !!Т!! **Теорема.** //Если функция// $ \Psi(x,y,\lambda) $ //является полиномом относительно// $ \lambda_{} $, //то дискриминантная кривая задается уравнением// $$ {\mathcal D}_{\lambda} (\Psi(x,y,\lambda)) = 0 \ . $$ //Здесь// $ {\mathcal D}_{} $ //--- дискриминант полинома, рассматриваемого по переменной// $ \lambda_{} $, //в то время как остальные переменные считаются параметрами.// !!П!! **Пример.** Если переписать уравнение семейства эллипсов из предыдущего примера в виде $$ (1-a)^2x^2+a^2y^2-a^2(1-a)^2=0 \quad \iff $$ $$ \iff -a^4+2\,a^3+(x^2+y^2-1)a^2-2\,x^2a+x^2 =0 \ , $$ то применение теоремы даст представление дискриминантной кривой: $$ -16\,x^2y^2((x^2+y^2-1)^3+27\,x^2y^2)=0 \ . $$ Случаи $ x_{}=0 $ или $ y_{}=0 $ соответствуют значениям параметра $ a_{} $, лежащим на границах рассматриваемого интервала. Тот факт, что оставшийся множитель определяет именно астроиду устанавливается с помощью замены переменных $ u_{}=x^{2/3}, v_{}=y^{2/3} $. ♦ !!П!! **Пример.** Легко проверить, что рассмотренные в предыдущем пункте эквидистанты кривой $ \mathbf K_{} $ являются огибающими семейства окружностей радиуса $ h_{} $ с центрами, расположенными на этой кривой. Для параболы $ Y=X^{2} $ имеем $$ \Psi(x,y,X)\equiv (x-X)^2+(y-X^2)^2 - h^2 $$ и роль параметра семейства выполняет $ X_{} $: {{ dets:discrim:equid_ogibp.gif?400 | }} !!§!! ''Подробнее об огибающей'' ☞ ((dets:discrim:envelope ЗДЕСЬ)). ==Дискриминант полинома от нескольких переменных== ===Дискриминант квадратичной формы== Для ((:2form квадратичной формы)) $$ \begin{array}{rllll} F_2(x_1,\dots,x_n)=&a_{11}x_1^2&+2a_{12}x_1x_2&+ \dots & +2a_{1n}x_1x_n+ \\ & &+a_{22}x_2^2 &+ \dots & +2a_{2n}x_2x_n+ \\ & &+\dots &+2a_{jk}x_jx_k & +\dots + \\ & & & &+a_{nn}x_n^2 \end{array} $$ $$ =(x_1,\dots,x_n) \left( \begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \dots & a_{1n} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2n}\\ a_{13} & a_{23} & a_{33} & \dots & a_{3n} \\ \dots & & & & \dots \\ a_{1n} & a_{2n} & a_{3n} & \dots & a_{nn} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right) $$ ее дискриминант получается из ((:algebra2/linearsystems#теорема_кронекера-капелли == условия существования)) нетривиального решения у системы линейных уравнений $$ \partial F_2/ \partial x_1=0,\dots,\partial F_2/ \partial x_n=0 \ . $$ Иными словами, он совпадает с определителем ее (симметричной) матрицы $$ {\mathcal D}(F_2)= \left| \begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \dots & a_{1n} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2n}\\ a_{13} & a_{23} & a_{33} & \dots & a_{3n} \\ \dots & & & & \dots \\ a_{1n} & a_{2n} & a_{3n} & \dots & a_{nn} \end{array} \right| \ . $$ ==Задачи== ☞ ((:dets:discrim:problems ЗДЕСЬ)) ==Источники== [1]. **Калинина Е.А., Утешев А.Ю.** ((http://www.apmath.spbu.ru/ru/staff/uteshev/elimination/ Теория исключения)): Учеб. пособие. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2002. 72 с. [2]. **Джури Э.** //Инноры и устойчивость динамических систем.// М.Наука, 1979 [3]. //Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen//. Bd. I. //Arithmetik und Algebra//. Редактор --- **Meyer W.F.** 1898-1904. Leipzig, Teubner [4]. **Uteshev A.Yu., Cherkasov T.M.** //The search for the maximum of a polynomial.// J. Symbolic Computation. 1998. Vol. 25, № 5. P. 587-618. Текст ☞ ((https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0747717197901905 ЗДЕСЬ)) (pdf) [5]. **Weber H.** //Lehrbuch der Algebra//. F.Vieweg & Sohn Verlag, Braunschweig, Bd.I.1898