===Многозначные комплексные функции==
Материал настоящего раздела очень сложен и может быть пропущен при первом чтении.
На примере решения задачи об извлечении корня из комплексного числа $ z $ мы столкнулись с проблемой неоднозначности ответа: формальное определение числа $ w $ из соотношения $ w^n = z $
приводит к $ n $ значениям. Эта проблема проявляется и в вещественном случае: корень квадратный из числа $ 4 $ имеет два вещественных значения. Если мы договоримся в качестве $ \sqrt{x} $
понимать единственное неотрицательное значение корня из неотрицательного аргумента, то таким образом определенная функция становится функцией в классическом понимании: каждому значению аргумента $ x\ge 0 $ соответствует единственное значение арифметического квадратного корня. Эта функция оказывается непрерывной при $ x \in [0,+\infty [ $. Из этого свойства, в частности,
следует, что при произвольном непрерывном изменении аргумента $ x $ со стартовой точкой в $ x=4 $, при возвращении в эту точку значение функции остается равным $ 2 $.
Попробуем избавиться от многозначности функции $ \sqrt{z} $ в комплексной плоскости. Будем считать корень квадратный с использованием тригонометрической формы комплексного числа
$ z= \rho ( \cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi ) $ по формуле
$$ \sqrt{z} = \sqrt{\rho} \left(\cos \frac{\varphi}{n} + \mathbf i
\sin \frac{\varphi}{n}\right) \, .
$$
Таким образом $ \sqrt{1}=1 $. По аналогии с вещественным случаем, можно ожидать, что при непрерывном изменении $ z $ значения функции будут меняться непрерывно, т.е. в окрестности $ z = 1 $ значения $ \sqrt{z} $ должны оставаться близкими к $ 1 $.
В этом месте следовало бы ввести строгое определение непрерывности функции комплексной переменной, но я просто ссылаюсь на непрерывность функций $ \sqrt{ \cdot }, \cos, \sin $ как функций вещественных аргументов.
Продолжаю. Можно ожидать, что если изменять $ z $ в комплексной плоскости $ \mathbb C $ по любой непрерывной и __замкнутой__ кривой, проходящей через $ z=1 $, то при возвращении в точку $ z=1 $ мы получим исходное значение функции $ \sqrt{z}=1 $. И это ожидание подтверждается примерами, иллюстрируемыми рисунками
{{ users:riman2.png |}}
Но не подтверждается примером окружности $ |z|=1 $:
{{ complex_num:riman3.png |}}
при однократном обходе которой значение $ \sqrt{z} $ меняется с $ +1 $ на $ -1 $. И этот обстоятельство справедливо для
любой точки окружности: если $ z_0 $ лежит в первой четверти комплексной плоскости:
$$ z_0= \cos \varphi_0 + \mathbf i \sin \varphi_0 \quad { при} \ \varphi_0 \in [0, \pi/2] $$
и мы договорились значение корня квадратного считать равным
$$
\sqrt{z_0}:= \cos \frac{\varphi_0}2 + \mathbf i \sin \frac{\varphi_0}2,
$$
то должно быть справедливо
$$ \sqrt{z_0}= \sqrt{ \cos (\varphi_0+2\pi) + \mathbf i \sin (\varphi_0+ 2\pi) } \, ,
$$
т.е. значение $ \sqrt{z_0} $ снова находится в первой четверти.
Но правое выражение
$$
= \cos (\frac{\varphi_0}{2} + \pi) + \mathbf i \sin (\frac{\varphi_0}{2} + \pi) = - \sqrt{z_0} \, ,
$$
т.е. попадает в третью четверть!
Вопросы, порождаемые этим примером:
1.
Почему это произошло? В чем заключается принципиальное отличие последнего рисунка от предыдущих?
2.
Что с этим делать? Как обеспечить непрерывность функции $ \sqrt{z} $?
Немецкий математик Бернхардт Риман предложил для представления неоднозначных функций использовать геометрический объект, который в его честь стал называться **римановой поверхностью**.