== Комплексные числа ==
~~TOC~~
Алгебра --- это ((:algebra2:course наука о решении уравнений)). Но в каких числах? Если принимать в рассмотрение только множество натуральных чисел $ \mathbb N_{} $, то уравнение $ 5+x=3 $ решений не имеет. Дополнив множество $ \mathbb N_{} $ нулем и отрицательными числами, мы добиваемся того, что во множестве $ \mathbb Z_{} $
целых чисел любое уравнение $ a+x=b $ получает решение, причем единственное. Но вот уравнение $ 2\cdot x=3 $ решений снова не имеет... Снова дополняем множество $ \mathbb Z_{} $ дробными числами до множества $ \mathbb Q_{} $ рациональных чисел. В этом множестве будет существовать единственное решение уравнения
$ a\cdot x=b $ если только $ a_{}\ne 0 $. Но вот уравнение $ x^2-2=0 $ решений в $ \mathbb Q_{} $ не
имеет. Пополнив множество рациональных чисел числами иррациональными, мы получаем решение --- в вещественных числах $ \mathbb R_{} $ --- и этого уравнения, но, однако же, не __любого__ квадратного! Так, не существует вещественного числа, удовлетворяющего уравнению $ x^2+1=0 $.
**Задача.** Расширить множество вещественных чисел так, чтобы в этом расширении уравнение $ x^2+1=0 $ имело решение.
Такое расширение должно "наследовать" все свойства вещественных чисел, т.е. в этом множестве операции должны подчиняться аксиомам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности:
1.
$ {\mathfrak a}_1+{\mathfrak a}_2={\mathfrak a}_2+{\mathfrak a}_1 $;
2.
$ ({\mathfrak a}_1+{\mathfrak a}_2)+{\mathfrak a}_3={\mathfrak a}_1+({\mathfrak a}_2
+{\mathfrak a}_3) $;
3.
$ {\mathfrak a}_1\cdot {\mathfrak a}_2={\mathfrak a}_2\cdot {\mathfrak a}_1 $;
4.
$ ({\mathfrak a}_1\cdot {\mathfrak a}_2)\cdot {\mathfrak a}_3={\mathfrak a}_1\cdot ({\mathfrak a}_2\cdot
{\mathfrak a}_3) $;
5.
$ ({\mathfrak a}_1+{\mathfrak a}_2)\cdot {\mathfrak a}_3={\mathfrak a}_1\cdot {\mathfrak a}_3+
{\mathfrak a}_2\cdot {\mathfrak a}_3 $;
6.
существует нейтральный элемент $ {\mathfrak o} $ относительно сложения:
$ {\mathfrak a}+{\mathfrak o}={\mathfrak a} $;
7.
существует нейтральный элемент $ {\mathfrak e} $ относительно умножения:
$ {\mathfrak a}\cdot {\mathfrak e}={\mathfrak a} $.
Все указанные равенства должны выполняться для произвольных чисел $ {\mathfrak a},
{\mathfrak a}_1,{\mathfrak a}_2,{\mathfrak a}_3 $.
=== Определение ==
**Комплéксным**[[complexus (//лат.//) --- связь, сочетание; любовь, благожелательное отношение.]] **числом**
называется упорядоченная пара вещественных чисел $ z=(a,b) $. Аксиоматически вводятся понятие равенства
комплексных чисел, а также правила действий над ними.
Два комплексных числа $ z_1=(a,b) $ и $ z_2=(c,d) $ называются **равными**: $ z_1=z_2 $ тогда и только тогда, когда $ a=c $ и $ b=d $. В противном случае они называюся **неравными**.
!!?!! Доказать, что
$$\left(2,\, \sqrt{12} \right)=\left(\frac{1}{2} \sqrt{7+4\sqrt{3}}+
\frac{1}{2} \sqrt{7-4\sqrt{3}},\, 2\sqrt{3} \right) \ .$$
**Суммой** комплексных чисел $ z_1=(a,b) $ и $ z_2=(c,d) $ называется комплексное число
$$ z_3=z_1+z_2 = (a+c,b+d) \ . $$
!!П!! **Пример.**
$$ (1,-1)+(2,1)=(3,0) ,\ (0,1)+(1,0)=\qquad \qquad , (3,2)+(-3,-2)=\qquad . $$
**Произведением** комплексных чисел $ z_1=(a,b) $ и $ z_2=(c,d) $ называется комплексное число
$$ z_4=z_1\cdot z_2 = (ac-bd,\ ad+bc) \ . $$
!!§!! Так же как и в случае вещественных чисел, для знака умножения используют $ \times_{} $; часто его вовсе опускают: $ z_1\cdot z_2 = z_1\times z_2 = z_1z_2 $.
!!П!! **Пример.** $ (2,3)\cdot (1,2)=(-4,7) $, $ (1,-1)\cdot(1,1)= \qquad $ ,
$ (0,1)\cdot(0,1)=\qquad $ .
В отличие от суммы комплексных чисел, определение произведения кажется довольно
искусственным. Ответ на вопрос
Что послужило основанием для такого правила умножения?
будет дан
☟
((#а_зачем_они_всё_же_нужны НИЖЕ)). А пока убедимся, что даже введенное таким "неестественным" способом, оно,
тем не менее, сохранит те свойства операций над числами вещественными, которые
упомянуты выше. Имеем, например:
$$z_1\cdot z_2=(ac-bd,\ ad+bc),\ z_2\cdot z_1=(ca-db,\, da+cb) \ \Rightarrow \
z_1\cdot z_2=z_2\cdot z_1 \ . $$
Остальные свойства проверяются аналогично.
Теперь осталось определить операции, противоположные сложению и умножению, т.е. вычитание и деление.
**Разностью** комплексных чисел $ z_1 $ и $ z_2 $ называется число $ z_5 $ такое, что $ z_2+z_5=z_1 $. Этот факт записывают:
$ z_5 = z_1-z_2 $.
Вопрос о существовании и единственности такого числа решается конструктивно:
его построением. Пусть $ z_1=(a,b) $, $ z_2=(c,d) $, $ z_5=(x,y) $, тогда
$$(c,d)+(x,y)=(a,b) \ \iff \ c+x=a,\ d+y=b \ \iff \ x=a-c,\ y=b-d \ ,
$$
т.е. $ (a,b)-(c,d)=(a-c,\, b-d) $. В частности,
$$(a,b)-(a,b)=(0,0) \quad \mbox{ или }\quad (a,b)+(0,0)=(a,b)$$
для любого комплексного числа. Таким образом, комплексное
число $ (0,0) $ играет для сложения ту же роль, что для вещественных чисел играл нуль $ 0 $.
**Частным** комплексных чисел $ z_1 $ и $ z_2 $ называется число $ z_6 $ такое, что $ z_2\cdot z_6=z_1 $. Этот факт записывают:
$$ z_6= z_1\colon z_2 \quad \mbox{ или }\ z_6 = z_1\big/ z_2 \ . $$
Вопрос о существовании и единственности такого числа решается конструктивно:
его построением. Пусть $ z_1=(a,b) $, $ z_2=(c,d) $, $ z_6=(x,y) $, тогда
$$(c,d)\cdot (x,y)=(a,b) \ \iff \
\left\{\begin{array}{c}
cx-dy=a, \\
dx+cy=b
\end{array} \right.
\ \iff \
\left\{\begin{array}{c}
(c^2+d^2)x=(ac+bd), \\
(c^2+d^2)y=(bc-ad).
\end{array} \right.
$$
Таким образом, необходимым условием существования частного является
$ c^2+d^2\ne 0 $ т.е. $ z_2\ne (0,0) $. При выполнении этого условия, частное
будет единственно и определяется формулой:
$$(a,b) \colon (c,d) =\left( \frac{ac+bd}{c^2+d^2} \, ,\
\frac{bc-ad}{c^2+d^2} \right) \ . $$
Запомнить и применять эту формулу довольно сложно, но, как мы вскоре увидим,
в этом и нет необходимости.
А пока что заметим, что введенные на множестве комплексных чисел операции
полностью подчиняются указанной в ((#комплексные_числа начале раздела))
системе аксиом
1
-
7
чисел вещественных.
Нейтральный элемент относительно сложения совпадает с числом $ (0,0) $, а относительно умножения --- с числом $ (1,0) $:
$$
(a,b)\cdot (x,y)=(a,b)\ \iff \
\left\{
\begin{array}{l}
a\,x-b\,y=a, \\
b\,x+a\,y=b,
\end{array}
\right.
\ \iff \
\left\{
\begin{array}{l}
\left(a^2+b^2 \right)x=\left(a^2+b^2 \right), \\
\left(a^2+b^2 \right)y=0
\end{array}
\right.
$$
$$
\Rightarrow y=0,\, x=1 \ .
$$
Каждое комплексное число может быть представлено в виде
$$z=(a,b)=(a,0)+(0,b)=(a,0)+(b,0)(0,1) \ , $$
т.е. в виде комбинации комплексных чисел вида $ (a,0) $ --- с нулевой второй
компонентой, и одного специального числа $ (0,1) $. За последним закрепляется
обозначение[[$ \mathbf i $maginarius (//лат.//) --- кажущийся, призрачный,
воображаемый, мнимый. В теории автоматического управления и в электротехнике принято обозначение $ \mathbf j $ --- чтобы ибежать коллизии с обозначением силы тока.]]
$$ \mathbf i = (0,1) \ . $$
Следует заметить, что множество комплексных чисел, имеющих нулевую вторую компоненту
$$ \left\{ (a,0) \mid a\in \mathbb R \right\} $$
обладает
свойством **замкнутости** относительно операций сложения и умножения.
Замкнутость понимается в том смысле, что сумма и произведение чисел с нулевой второй компонентой
снова будет числом с нулевой второй компонентой; то же справедливо и
для разности и произведения:
$$(a,0)+(b,0)=(a+b,0),\ (a,0)-(b,0)=(a-b,0), $$
$$ \ (a,0)\cdot(b,0)=(ab,0) \ , (a,0)\colon (b,0)= \left( \frac{a}{b} ,0 \right) \ (\mbox{ при} \ b\ne 0) . $$
Как легко видеть, первые компоненты под действием таких операций ведут себя
в точности как обычные вещественные числа (с сохранением
системы аксиом
1
-
7
). Исходя из этого обстоятельства,
производится **отождествление** комплексного числа $ (a,0) $ с вещественным
числом $ a_{} $. Результатом этого является следующая **нормальная форма**
записи комплексного числа
$$ (a,b)=a+ b \mathbf i = a+ \mathbf i b \ npu \quad \{a,b \} \subset \mathbb R \ .$$
Для числа $ \mathbf i $ получаем одно определяющее равенство:
$$
\mathbf i^2=(0,1)\cdot (0,1)=(-1,0)=-1 \ .
$$
Из соображений упрощения записи, договорились число $ 0+\mathbf i b $
записывать просто в виде $ \mathbf i b $, а числа $ a+\mathbf i 1 $ и $ a-\mathbf i 1 $
записывать в виде $ a+\mathbf i $ и $ a-\mathbf i $.
Польза от нормальной формы записи состоит в том, что она упрощает действия с комплексными числами. В самом деле, перемножение двух комплексных чисел, представленных в нормальной форме,
можно начать производить по обычным правилам перемножения вещественных
чисел:
$$(a+\mathbf i \, b)(c+ \mathbf i \, d)=ac + \mathbf i\, ad+ \mathbf i\, bc+ \mathbf i^2 bd \ , $$
а затем воспользоваться равенством $ \mathbf i^2 = -1 $:
$$= (ac-bd)+\mathbf i \, (ad+bc) \ . $$
Мы получили тот же результат, что формально определен аксиомой.
Если $ n_{} $ --- целое число, то число
$$
z^n =
\left\{
\begin{array}{cl}
\overbrace{z\times \dots \times z}^{n} \ & npu \ n>0, \\
1 \ & npu \ n=0, z\ne 0, \\
1/z^{-n} \ & npu \ n<0, z\ne 0
\end{array} \right.
$$
называется $ \mathbf n $**-й степенью** числа $ z_{} $.
Для вычисления $ z^n $ при $ n>1 $ и $ z=a+ \mathbf i\, b $ можно применить формулу ((:binomial бинома Ньютона)):
$$
\left(a+ \mathbf i\, b \right)^n =
$$
$$
=a^n+C_n^1 a^{n-1}b\mathbf i+C_n^2 a^{n-2}b^2\mathbf i^2
+C_n^3 a^{n-3}b^3\mathbf i^3+C_n^4 a^{n-4}b^4\mathbf i^4+\dots+b^n \mathbf i^n
$$
(здесь $ C_n^k $ означает ((:binomial биномиальный коэффициент)) );
и для приведения этого числа к нормальной форме, нам потребуется вычислить
степени $ \mathbf i $. Получаем последовательно:
$$\mathbf i^2=-1,\ \mathbf i^3=\mathbf i^2\mathbf i=-\mathbf i,\ \mathbf i^4=1,\ \mathbf i^5=\mathbf i, \dots $$
и понятно, что последовательность оказывается циклической с периодом $ 4_{} $.
Окончательно:
$$\left(a+ \mathbf i\, b \right)^n
=\left(a^n- C_n^2 a^{n-2}b^2 +C_n^4 a^{n-4}b^4 - \dots \right)
+ \mathbf i \left(C_n^1 a^{n-1}b-C_n^3 a^{n-3}b^3+ \dots \right) \ .
$$
!!П!! **Пример.** Найти нормальную форму числа $ (1+\mathbf i )^3 $.
**Решение.** Разложение по ((:binomial формуле бинома)) дает
$ (1+\mathbf i)^3= (1-3) +\mathbf i (3-1) =-2+2\mathbf i $.
♦
!!П!! **Пример.** Найти нормальную форму числа
$$ \frac{(3+2\mathbf i )^2(1-3\mathbf i )}{(3+\mathbf i )^2(1+2\mathbf i )}+\frac{1+\mathbf i }{1-\mathbf i } \ .
$$
**Решение.**
$$(3+2\mathbf i)^2=5+12 \mathbf i \ ,
(5+12 \mathbf i)(1-3\mathbf i)=5-15\mathbf i+12\mathbf i-36\mathbf i^2=41-3\mathbf i \ ,$$
$$(3+\mathbf i)^2=8+6\mathbf i \ ,\
(8+6\mathbf i)(1+2\mathbf i)=8+16\mathbf i +6\mathbf i +12\mathbf i^2=-4+22 \mathbf i \ .$$
Для вычисления частного $ (41-3\mathbf i)/(-4+22\mathbf i) $
воспользуемся следующим приемом: домножим и числитель и знаменатель дроби
на число $ (-4-22 \mathbf i) $. Получим
$$
\frac{(41-3\mathbf i)(-4-22 \mathbf i)}{(-4+22 \mathbf i)(-4-22 \mathbf i)}=
\frac{-164-902 \mathbf i +12 \mathbf i +66 \mathbf i^2}{16+88\mathbf i - 88 \mathbf i - 484 \mathbf i^2}=
\frac{-230-890 \mathbf i}{500}
=-\frac{23}{50}
-\frac{89}{50} \mathbf i \ .
$$
Аналогично:
$$
\frac{1+\mathbf i}{1-\mathbf i}=\frac{(1+\mathbf i)^2}{(1-\mathbf i)(1+\mathbf i)}=\frac{2\mathbf i}{2}=\mathbf i \ .
$$
**Ответ.** $ -\frac{23}{50} -\frac{39}{50} \mathbf i $.
Прием, использованный нами при решении последнего примера, можно сделать универсальным.
Число $ a-\mathbf i b $ называется числом, **комплексно-сопряженным** (или просто **сопряженным**) числу $ z=a+\mathbf i b $.
Оно обозначается $ \overline{z} $. Сама операция нахождения $ \overline{z} $ называется **комплексным сопряжением**.
!!П!! **Пример.** $ \overline{-2-2\mathbf i}=-2+2\mathbf i,\ \overline{3\mathbf i}=-3\mathbf i,\ \overline{4}=4 $.
!!?!! Доказать, что
**а)** $ \overline{\overline{z}}=z $;
**б)** $ \overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2} $;
**в)** $ \overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1} \cdot \overline{z_2} $.
Легко установить, что сумма и произведение двух комплексно-сопряженных
чисел будет числом вещественным:
$$ {.}_{} \mbox{ при } z= a+ \mathbf i b \ \mbox{ имеем: } z+\overline{z}=2a,\ z \cdot \overline{z}=a^2+b^2 \ . $$
На последнем свойстве и основан прием вычисления частного двух чисел $ z_1/z_2 $.
Именно, эта дробь домножается на число, сопряженное к знаменателю:
$$
\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1 \overline{z_2}}{z_2 \overline{z_2}} \ ;
$$
при перемножении в знаменателе образуется вещественное число:
$$
=\frac{(a+\mathbf i b)(c-\mathbf i d)}{c^2+d^2} \ ,
$$
и, таким образом, операцию деления сводим к операции умножения:
$$
=\frac{(ac+bd)+ \mathbf i (bc-ad)}{c^2+d^2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2} +
\mathbf i \frac{bc-ad}{c^2+d^2} \ .
$$
Для комплексного числа, представленного в нормальной форме $ z=a+\mathbf i b $, число $ a $ называется **вещественной частью** и
обозначается $ \mathfrak{Re}(z) $, число $ b_{} $ называется **мнимой частью** и
обозначается $ \mathfrak{Im} (z) $. Таким образом, $ z=\mathfrak{Re}(z) +\mathbf i \mathfrak{Im}(z) $.
Число $ \mathbf i $ называется **мнимой единицей**. Число $ z\ne 0 $, имеющее ненулевую мнимую часть:
$ \mathfrak{Im}(z) \ne 0 $, называется **мнимым** числом, а число $ z $, имеющее нулевую вещественную часть: $ \mathfrak{Re}(z)=0 $, называется **чисто мнимым**.
В некоторых учебниках (см., к примеру, ((#источники [5]))) мнимая часть числа $ a+\mathbf i b $ определяется как число $ \mathbf i b $; но всё же чаще я встречал это определение именно в приводимом здесь (и в дальнейшем используемом) варианте.
Аксиому равенства комплексных чисел можно записать теперь в виде:
$$z_1=z_2 \quad \iff \quad \mathfrak{Re}(z_1)=\mathfrak{Re} (z_2),\ \mathfrak{Im} (z_1)=\mathfrak{Im} (z_2) \ .$$
!!?!! Найти вещественное число $ x_{} $, удовлетворяющее уравнению
$$ (1+ \mathbf i)x^3+(1+2\, \mathbf i)x^2- (1+4\,\mathbf i)x - 1+ \mathbf i = 0 \ . $$
!!?!! Верно ли равенство $ \mathfrak{Re}(z_1z_2)= \mathfrak{Re}(z_1) \mathfrak{Re}(z_2) $?
Множество всех комплексных чисел с определенными выше операциями обозначается $ \mathbb C_{} $ . Отождествление комплексного числа
$ z_{} $, у которого
$ \mathfrak{Im} (z)=0 $, с вещественным числом $ \mathfrak{Re}(z) $ позволяет говорить, что множество
$ \mathbb C_{} $ включает в себя множество вещественных чисел $ \mathbb R_{} $: $ \mathbb R_{} \subset \mathbb C_{} $.
Комплексные числа "наследуют" все привычные нам свойства чисел вещественных, кроме одного: их нельзя сравнивать в смысле отношений $ >_{} $ или $ < $:
неравенство $ 1+7\mathbf i>3-2\mathbf i $ так же бессмысленно, как и $ 1+7\mathbf i<3-2\mathbf i $.
=== Геометрическая интерпретация ==
Определение комплексного числа как упорядоченной пары вещественных чисел
напоминает определение вектора на плоскости. Если на плоскости $ (x,y) $
задана декартова прямоугольная система координат, то задание точки $ {\mathbf A} $
ее координатами $ x=a,y=b $ однозначно определяет вектор, имеющий начало в начале координат $ {\mathbf O} $ ($ x=0,y=0 $), а конец --- в точке $ {\mathbf A} $. Такое соответствие
{{ complex1.png |}}
$$
\vec{\mathbf OA} \ \longleftrightarrow \ (a,b) \ \longleftrightarrow \
z=a+\mathbf i \, b $$
позволяет дать интерпретацию комплексного числа как вектора на плоскости.
Сама эта плоскость называется **комплексной плоскостью**, ось абсцисс на ней --- **вещественной осью** (на ней располагаются вещественные числа), ось ординат --- **мнимой осью**
(на ней располагаются чисто мнимые числа).
!!?!! Изобразить на комплексной плоскости **а)** число $ (-z) $; **б)** число $ \overline{z} $.
Определения равенства и суммы (разности) векторов и комплексных чисел
{{ sum.gif |}}
оказываются идентичными: сумма комплексных чисел определяет вектор на
плоскости, равный сумме векторов, соответствующих слагаемым (по какому бы
способу --- параллелограмма или треугольника --- она ни вычислялась).
Подмеченная аналогия между алгебраическим объектом и геометрическим
прекращается как только мы попытаемся установить соответствие между
операциями умножения. В самом деле, согласно
введенному в предыдущем пункте определению, произведение комплексных чисел есть снова
комплексное число, т.е. --- в нашей геометрической интерпретации
--- **вектор**. Вспомним, что скалярное произведение векторов определяется
как число вещественное, т.е. является скаляром[[В курсе
аналитической геометрии определяется еще одно произведения двух векторов --- так
называемое, **векторное произведение**; его результатом является вектор.
Тем не менее, и этот результат не будет соответствовать произведению комплексных
чисел.]].
Однако, несмотря на то, что не всегда удается установить параллель между
свойствами двух объектов, хотя бы некоторые результаты, а также приемы
исследования, могут допускать распространение. Один из таких приемов
лежит на виду. Вспомним, что вектор на плоскости может быть задан не
только в декартовых координатах, но и в полярных, т.е. своей длиной
и углом, образованным с полярной осью.
===Тригонометрическая форма комплексного числа==
Для числа $ z=a+\mathbf i \, b $ его **модулем** (или **абсолютной величиной**) называется неотрицательное вещественное число обозначаемое $ |z| $, определяемое как
$$|z|=\sqrt{a^2+b^2}= \sqrt{z\, \overline{z}} \ ; $$
при этом корень квадратный в правой части понимается как корень //арифметический//, т.е. как единственное неотрицательное вещественное число, квадрат которого равен $ a^2+b^2 $.
Геометрическая интерпретация модуля комплексного числа очевидна: это длина
вектора, этим числом порождаемого. В случае когда $ \mathfrak{Im} (z) =0 $ введенное определение модуля соответствует определению модуля вещественного числа: $ |z|=|a| $.
**Аргументом** комплексного числа $ z=a+\mathbf i \, b\ne 0 $
{{ complex2.png |}}
называется величина угла[[В дальнейшем будем говорить просто "угол".]],
образованного на комплексной плоскости вектором $ \vec{\mathbf OA} $
с вещественной осью. При этом, для однозначности определения, договоримся,
что угол будет отсчитываться от вещественной оси в положительном направлении,
т.е. против часовой стрелки, и что он будет находиться в интервале $ [0,2\, \pi[ $
если вычисляется в радианах. Аргумент комплексного числа $ 0_{} $ не определяется.
Будем обозначать аргумент числа $ z_{} $ через $ \operatorname{arg}\, (z) $.
Для определения $ \operatorname{arg}\, (z) $ мы имеем две формулы:
$$
\cos \left( \operatorname{arg}\, (z) \right) = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \ , \
\sin \left( \operatorname{arg}\, (z) \right) = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \ ,
$$
которые позволяют однозначно восстановить[[Как правило, приближенно.]]
угол в интервале $ [0, 2\, \pi[ $.
Итак, ненулевое комплексное число $ z\ne 0 $, наряду со своей нормальной формой
$ z=a+\mathbf i \, b $, может быть представлено еще и в форме
$$
z= \rho \left(\cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi \right) \quad npu \
\rho\ge 0,\ 0 \le \varphi < 2\, \pi \ .
$$
Последняя называется **тригонометрической формой** комплексного числа. Формулы, связывающие две формы:
$$ \rho=|z|=\sqrt{a^2+b^2}, \ \cos \varphi = a / \rho, \ \sin \varphi = b / \rho \, . $$
!!П!! **Пример.** Найти тригонометрическую форму комплексных чисел
**а)** $ -4 $ ; **б**) $ \mathbf i $ ; **в)** $ -6\,\mathbf i $ ; **г)** $ -1+\mathbf i $;
**д)** $ \frac{1}{2}-\mathbf i \frac{\sqrt{3}}{2} $;
**е)** $ -2+\mathbf i $ .
**Решение.**
$$
\begin{array}{c|c|c|c|c}
z & |z| & \cos &\operatorname{sign} (\sin ) & \operatorname{arg}(z) \\
\hline
-4=-4+0\mathbf i\ & 4 & -1 & & \pi \\
\mathbf i=0+1\mathbf i\ & \sqrt{0+1}=1 & 0 & >0 & \pi/2 \\
-6\,\mathbf i=0-6\,\mathbf i \ & \sqrt{0+36}=6 &
0 &<0 & 3\pi/2\\
-1+\mathbf i=-1+1\mathbf i \ & \sqrt{1+1}=\sqrt{2}&
-\frac{\scriptstyle 1}{\scriptstyle{\sqrt{2}}}=-\frac{\scriptstyle{\sqrt{2}}}{\scriptstyle 2} &
>0 & 3\pi/4 \\
\frac{1}{2}-\mathbf i \frac{\scriptstyle{\sqrt{3}}}{\scriptstyle 2} \ &
\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=1\ & \frac{1}{2} & <0 & 5\pi/3 \\
-2+\mathbf i & \sqrt{4+1}=\sqrt{5} & \scriptstyle{-2}/{\scriptstyle \sqrt{5}}&
>0 & \arccos \left(-\scriptstyle{2}/\scriptstyle{\sqrt{5}} \right) \approx \\
& & & & \approx 2.67794
\end{array}
$$
**Ответ.** **а)** $ 4\left(\cos \pi + \mathbf i \, \sin \pi \right) $;
**б)** $ \cos \pi/2 + \mathbf i \, \sin \pi/2 $;
**в)** $ 6\left(\cos 3\pi/2 + \mathbf i \, \sin 3\pi/2 \right) $;
**г)** $ \sqrt{2} \left(\cos 3\pi/4 + \mathbf i \, \sin 3\pi/4 \right) $;
**д)** $ \cos 5\pi/3 + \mathbf i \, \sin 5\pi/3 $;
**е)**
$ \sqrt{5} \left\{\cos \left( \arccos \left(
-\scriptstyle{2}/\scriptstyle{\sqrt{5}} \right) \right) +\mathbf i
\sin \left( \arccos \left(-\scriptstyle{2}/\scriptstyle{\sqrt{5}} \right) \right) \right\}
\approx 2.23606 \left( \cos 2.67794 + \mathbf i \sin 2.67794 \right) $.
!!?!! Пусть $ z=a+\mathbf i \, b $.
Выразить **а)** $ \operatorname{arg} (-z) $ ; **б)** $ \operatorname{arg} (\overline{z}) $
**в)** $ \operatorname{arg} (1/z) $; **г)** $ \operatorname{arg} (b+\mathbf i\, a) $ через
$ \operatorname{arg} (z) $.
В дальнейшем я иногда буду пренебрегать требованием, чтобы в тригонометрической форме аргумент
соответствовал интервалу $ [0, 2\, \pi[ $, т.е. буду допускать
неоднозначность в определении $ \operatorname{arg} (z) $.
С учетом этого допущения, сформулируем следующий критерий равенства чисел $ z_{1} $ и $ z_{2} $, представленных в тригонометрической форме.
!!Т!! **Теорема.** //Комплексные числа равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а их аргументы различаются на целое кратное числа// $ 2\, \pi $ //или, если использовать терминологию из теории чисел, ((:modular#сравнения сравнимы по модулю)) //$ 2\, \pi $:
$$
\rho_1 \left(\cos \varphi_1 + \mathbf i \, \sin \varphi_1 \right)=
\rho_2 \left(\cos \varphi_2 + \mathbf i \, \sin \varphi_2 \right) \ \iff
$$
$$
\iff \ \rho_1=\rho_2 , \ \varphi_1 \equiv \varphi_2 \pmod{2\, \pi} \ .
$$
**Доказательство** следует из аксиомы равенства комплексных чисел.
♦
В каждом разделе математики имеется исторически сложившаяся система названий
и обозначений, при этом иногда одни и те же слова или символы в разных разделах
обозначают совершенно не связанные по смыслу объекты. В частности, это
относится к слову "модуль": если в разделе ((:modular#сравнения МОДУЛЯРНАЯ АРИФМЕТИКА)) оно означает натуральное число $ M_{} $, по отношению к которому сравниваются два других целых числа (одинаковы ли у них остатки при делении на $ M_{} $), то в теории комплексных чисел оно закреплено за другим понятием. К сожалению,:-| в настоящем разделе приходится использовать оба этих определения; хорошо хоть обозначения у них разные...
В противоположность предыдущему замечанию --- удобное обозначение почему бы не тиражировать?;-) В разделе ((:modular#сравнения МОДУЛЯРНАЯ АРИФМЕТИКА)) сравнимость понималась по отношению к натуральному числу и формально вводилось через операцию деления на модуль; мы же использовали в только что приведенной теореме обобщение этого понятия: $ \varphi_1 \equiv \varphi_2 \pmod{2\, \pi} $, основанное на свойстве разности двух чисел $ \varphi_1 - \varphi_2 $ быть целым кратным (иррационального!) числа $ 2\, \pi $. В дальнейшем мы заимствуем и другое полезное обозначение из теории чисел: $ \varphi_1 = \varphi \pmod{2\, \pi} $ означает, что угол $ \varphi_1 $ --- это "загнанный в интервал" $ [0,\ 2\, \pi[ $ угол $ \varphi $, т.е. $ \varphi_1 $ отличается от $ \varphi_{} $ на целое кратное числа $ 2\, \pi $ и, при этом, $ \varphi_1 \in [0,\ 2\, \pi[ $.
Тригонометрическая форма комплексных чисел позволяет дать геометрическую интерпретацию
правилам их умножения и деления.
!!Т!! **Теорема.** //Имеет место равенство://
$$\rho_1 \left(\cos \varphi_1 + \mathbf i \, \sin \varphi_1 \right) \cdot
\rho_2 \left(\cos \varphi_2 + \mathbf i \, \sin \varphi_2 \right)=
$$
$$
= \rho_1 \rho_2 \left(\cos (\varphi_1+\varphi_2) + \mathbf i \,
\sin (\varphi_1+\varphi_2) \right)\ ;
$$
//иными словами: при перемножении комплексных чисел перемножаются их модули и
складываются аргументы// (//по модулю// $ 2\, \pi $):
$$
\left| z_1\cdot z_2 \right| = \left| z_1 \right| \cdot \left| z_2 \right| \ ,\
\operatorname{arg} (z_1 \cdot z_2)= \operatorname{arg} (z_1) + \operatorname{arg} (z_2) \pmod{2\, \pi} \ .
$$
**Доказательство**.
$$ z_1z_2=\rho_1 \rho_2\big(\left[\cos \varphi_1\cos \varphi_2 -
\sin \varphi_1\sin \varphi_2 \right] + \mathbf i \,
\left[\cos \varphi_1\sin \varphi_2 +
\sin \varphi_1\cos \varphi_2 \right] \big) =
$$
$$
=\rho_1 \rho_2\left(\cos (\varphi_1+\varphi_2) + \mathbf i \,
\sin (\varphi_1+\varphi_2) \right) \ .
$$
♦
Настоящее замечание может быть пропущено без ущерба для понимания оставшейся части раздела.
Переписав равенство для модуля произведения из последней теоремы для ((#определение нормальной формы)) записи комплексных чисел, получаем совершенно вещественное равенство (фактически, если рассматривать входящие в это равенство параметры как переменные величины --- тождество для полиномов от ((:polynomialm нескольких переменных)) ):
$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2 \ , $$
иными словами: произведение суммы квадратов на сумму квадратов есть снова сумма двух квадратов. Существуют ли подобные тождества с большим, чем $ 2_{} $ числом квадратов? Ответ оказывается положительным: подобные тождества для $ 4_{} $-х квадратов были получены Эйлером (см.
☞
((:numtheory:divispascal:vspom2 ЗДЕСЬ)) ), а для $ 8_{} $-ми квадратов --- Кэли. Доказано, что других случаев быть не может. Эта задача тесно связана с понятием //гиперкомплексных// чисел, т.е. многомерных аналогов комплексных чисел (см.
☞
((:gruppe#алгебра ЗДЕСЬ)) ).
!!=>!! Справедлива формула
$$
\frac{z_1}{z_2}=\frac{\rho_1}{\rho_2 }\left(\cos (\varphi_1-\varphi_2) + \mathbf i \,
\sin (\varphi_1-\varphi_2) \right) \quad npu \ z_2 \ne 0
\ .
$$
!!=>!! Индукцией по числу сомножителей показывается справедливость общей формулы:
$$
\prod_{j=1}^n z_j= \prod_{j=1}^n \rho_j
\left(\cos \sum_{j=1}^n \varphi_j + \mathbf i \,
\sin \sum_{j=1}^n \varphi_j \right) \ .
$$
В частном случае, когда все сомножители одинаковы, приходим к
одной замечательной формуле ---
=== Формула Муавра ==
!!Т!! **Теорема.** //Для любого целого// $ n $ //справедлива// **формула Муавра**:
$$
\left(\cos \varphi + \mathbf i \, \sin \varphi \right)^n = \cos n\varphi + \mathbf i \, \sin n\varphi
\ .
$$
**Доказательство** для положительных $ n $ следует из результата предыдущего пункта. При $ n=0 $ формула
фактически является формальным определением нулевой степени комплексного числа.
Для отрицательного показателя $ n=-m, m\in \mathbb N $ справедливость формулы доказывается
сведением к уже рассмотренному случаю положительного показателя:
$$
\left(\cos \varphi + \mathbf i \, \sin \varphi \right)^{n}=
\left(\cos \varphi + \mathbf i \, \sin \varphi \right)^{-m}=
$$
$$
=\frac{1}{\left(\cos \varphi + \mathbf i \, \sin \varphi \right)^{m}}
=
\frac{1}{\cos m\varphi + \mathbf i \, \sin m\varphi}= \frac{\cos m\varphi - \mathbf i \, \sin m\varphi }{\cos^2 m\varphi + \sin^2 m\varphi }
=
$$
$$
=\cos m\varphi - \mathbf i \, \sin m\varphi=
\cos (- m\varphi) + \mathbf i \, \sin (- m\varphi)=\cos n\varphi + \mathbf i \, \sin n\varphi \ .
$$
♦
!!=>!! Справедлива формула возведения в степень комплексного числа, представленного в тригонометрической форме:
$$
\left[ \rho \left(\cos \varphi + \mathbf i \, \sin \varphi \right) \right]^n
= \rho^n \left( \cos n\varphi + \mathbf i \, \sin n \varphi \right)
\ npu \ \forall \ \rho \ne 0 \ u \ n\in \mathbb Z
\ .
$$
!!П!!** Пример.** Вычислить
$$
\left[\frac{1}{2 \sqrt{2}}\left(\sqrt{3} - \mathbf i \, \sqrt{5} \right) \right]^{117}
\ .
$$
**Решение.** С одной стороны, можно воспользоваться формулой ((:binomial бинома Ньютона)) ---
мы получим точный ответ, хотя и дорогой ценой... Если же нас интересует
приближенное значение, то его можно получить по формуле Муавра, предварительно представив число
в тригонометрической форме:
$$
\left| z \right| = 1, \
\cos (\operatorname{arg} (z)) = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} \approx 0.61237, \
\sin (\operatorname{arg} (z)) <0 \qquad \Rightarrow
$$
$$
\Rightarrow \qquad \operatorname{arg} (z) = 2\pi - \arccos \left( \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} \right) \approx
5.37144 \ .
$$
Применяем формулу Муавра:
$$z^{117}\approx \cos \left( 117 \times \operatorname{arg} (z) \right) +
\mathbf i \, \sin \left( 117 \times \operatorname{arg} (z) \right)
$$
и отбрасываем целое кратное $ 2 \pi_{ } $:
$$ 117 \times \operatorname{arg} (z) \approx 0.14077
+ 200 \pi \quad \Rightarrow \quad
z^{117}\approx \cos 0.14077 + \mathbf i \, \sin 0.14077 \ .$$
**Ответ.**
$$\frac{\sqrt{2}}{2^{60}} \left[466022392183308159\, \sqrt{3}+
\mathbf i \, 51153470739918917\, \sqrt{5} \right] \ \approx \
0.99010 + \mathbf i \, 0.14030 \ .
$$
!!?!! Вычислить
**а)** $ \left(\sqrt{3}+ \mathbf i \, \right)^n $ ; **б)**
$ \left[ \sin \varphi_1 - \sin \varphi_2 + \mathbf i \, \left( \cos \varphi_1 -
\cos \varphi_2 \right) \right]^n $.
!!И!! Биографические заметки о Муавре
☞
((:biogr#муавр ЗДЕСЬ))
===Неравенства для модуля==
!!Т!! **Теорема.** //Справедливо// **неравенство треугольника**:
$$
\left| z_1 + z_2 \right| \le \left| z_1\right| + \left| z_2\right| \ .
$$
**Доказательство.** Имеем:
$$\left| z_1 + z_2 \right|^2=\left( z_1 + z_2 \right)\overline{\left( z_1 + z_2 \right)}=
\left( z_1 + z_2 \right)\left( \overline{z_1} + \overline{z_2} \right)=
z_1\overline{z_1} + z_1\overline{z_2}+ \overline{z_1}z_2+ z_2 \overline{z_2}=
$$
$$
=\rho_1^2 + \rho_2^2 +\rho_1 \rho_2 \left( \cos \varphi_1 + \mathbf i \sin \varphi_1
\right)\left( \cos \varphi_2 - \mathbf i \sin \varphi_2
\right) +
$$
$$
+ \rho_1 \rho_2 \left( \cos \varphi_1 - \mathbf i \sin \varphi_1
\right)\left( \cos \varphi_2 + \mathbf i \sin \varphi_2 \right)=
$$
$$
=\rho_1^2 + \rho_2^2 +2\,\rho_1 \rho_2 \left(\cos \varphi_1 \cos \varphi_2+
\sin \varphi_1 \sin \varphi_2 \right)=
$$
$$
=\rho_1^2 + \rho_2^2 +2\,\rho_1 \rho_2 \cos \left( \varphi_1 - \varphi_2 \right) \le
\rho_1^2 + \rho_2^2 +2\,\rho_1 \rho_2 = \left( \rho_1 +\rho_2 \right)^2
$$
поскольку $ \left| \cos \left( \varphi_1 - \varphi_2 \right) \right|\le 1 $.
Извлекая корень (арифметический), получаем доказываемое неравенство.
♦
!!?!! При каких условиях на $ z_{1} $ и $ z_{2} $ неравенство треугольника
превращается в равенство?
!!=>!! $ \displaystyle \left| \sum_{j=1}^n z_j \right| \le \sum_{j=1}^n |z_j | $.
!!=>!! $ \displaystyle \left| z_1 + z_2 \right| \ge \big| | z_1 | - | z_2 | \big| \ , \
\left| z_1 - z_2 \right| \ge \big| | z_1 | - | z_2 | \big| $.
!!?!! Доказать "равенство параллелограмма":
$$ |z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2=2|z_1|^2 + 2|z_2|^2 \quad \mbox{ при } \
\{z_1, z_2 \} \subset \mathbb C . $$
===Выведение тригонометрических формул==
==== Сумма синусов (косинусов)==
**Задача.** Найти компактное выражение для
$$
B= \sin \varphi + \sin 2\, \varphi + \dots + \sin n\, \varphi \ .
$$
Для пояснения такой постановки сошлемся на известные выпускнику школы формулы, выражающие
суммы арифметической и геометрической прогрессий:
$$
a+(a+d)+\dots+(a+(n-1)d)=\frac{(2a+(n-1)d)n}{2} \ ,
$$
$$
a+aq+\dots+aq^{n-1}
=a\frac{q^n-1}{q-1} \quad npu \ q\ne 1 \ .
$$
О подобных формулах говорят, что соответствующие суммы "свернулись".
Поставленную задачу будем решать путем ее усложнения. Попробуем одновременно
с указанной суммой свернуть и сумму
$$
A= \cos \varphi + \cos 2\, \varphi + \dots + \cos n\, \varphi \ .
$$
Для этого составим выражение
$$
A+ \mathbf i B= \left( \cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi \right) +
\left( \cos 2\, \varphi + \mathbf i \sin 2\,\varphi \right) + \dots +
\left( \cos n\, \varphi + \mathbf i \sin n\, \varphi \right)=
$$
на основании ((#формула_муавра формулы Муавра)):
$$
=\left( \cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi \right) +
\left( \cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi \right)^2 + \dots +
\left( \cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi \right)^n \ .
$$
Введем новую переменную: $ z= \cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi $. Тогда
последняя сумма оказывается суммой геометрической прогрессии:
$$ A+ \mathbf i B =z+z^2+\dots +z^n =\frac{z^{n+1} - z}{z-1} \quad npu \ z\ne 1
\ . $$
Возвращаемся к исходной переменной $ \varphi $:
$$
A+ \mathbf i\, B =\frac{\left(\cos \varphi + \mathbf i\, \sin \varphi \right)^{n+1} -
\left(\cos \varphi + \mathbf i\, \sin \varphi \right)}
{\cos \varphi + \mathbf i\, \sin \varphi-1}
\ \ npu\ \varphi \ne 2\, \pi k \ , \ k\in \mathbb Z \ .
$$
(последнее условие можно записать в виде $ \varphi \not\equiv 0 \pmod{2\, \pi} $)
и снова применяем ((#формула_муавра формулу Муавра)), только теперь уже "в обратном направлении":
$$
A+ \mathbf i\, B =
\frac{\left(\cos (n+1)\, \varphi + \mathbf i\, \sin (n+1)\, \varphi \right) -
\left(\cos \varphi + \mathbf i\, \sin \varphi \right)}
{\cos \varphi + \mathbf i\, \sin \varphi-1}
$$
при $ \varphi \not\equiv 0 \pmod{2\, \pi} $.
Искомое выражение для $ B $ получится если мы вычислим мнимую часть дроби, стоящей в правой части.
Мы сейчас сделаем это, только предварительно слегка преобразуем числитель и знаменатель
с использованием известных тригонометрических формул:
$$
\cos \alpha - \cos \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta }{2} \,
\sin \frac{\beta - \alpha}{2} \quad , \quad
\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta }{2} \,
\sin \frac{ \alpha - \beta}{2} \ .
$$
Итак, числитель правой части формулы равен
$$
\left(\cos (n+1)\, \varphi - \cos \, \varphi \right) +
\mathbf i \, \left(\sin (n+1)\, \varphi - \sin \, \varphi \right)=
$$
$$
=-2\, \sin \frac{(n+2)\, \varphi}{2} \, \sin \frac{n\, \varphi}{2} +
2\, \mathbf i\, \cos \frac{(n+2)\, \varphi}{2} \, \sin \frac{n\, \varphi}{2}=
$$
$$
=2\, \mathbf i\, \sin \frac{n\, \varphi}{2}
\left(\cos \frac{(n+2)\, \varphi}{2} + \mathbf i\, \sin \frac{(n+2)\, \varphi}{2} \right)
\ ;
$$
а знаменатель:
$$
(\cos \varphi -1) + \mathbf i\, \sin \varphi =-2\, \sin^2 \frac{\varphi}{2} +
2\, \mathbf i\, \sin \frac{\varphi}{2} \, \cos \frac{\varphi}{2}
=2\, \mathbf i\, \sin \frac{\varphi}{2}
\left(\cos \frac{\varphi}{2} + \mathbf i\, \sin \frac{\varphi}{2} \right) \ .
$$
Следовательно,
$$
A+ \mathbf i\, B =
\frac{\sin \displaystyle \frac{n\, \varphi}{2} }{\sin \displaystyle \frac{\varphi}{2} }
\cdot
\frac{\displaystyle \cos \frac{(n+2)\, \varphi}{2} + \mathbf i\, \sin \frac{(n+2)\, \varphi}{2}}
{\displaystyle \cos \frac{\varphi}{2} + \mathbf i\, \sin \frac{\varphi}{2}}=
$$
ко второй дроби применяем формулу ((#тригонометрическая_форма_комплексного_числа деления чисел, представленных в тригонометрической форме)):
$$
=
\frac{\sin \displaystyle \frac{n\, \varphi}{2} }{\sin \displaystyle \frac{\varphi}{2} }
\left(\cos \frac{(n+1)\, \varphi}{2} + \mathbf i\, \sin \frac{(n+1)\, \varphi}{2} \right)
\ ,
$$
и вычислить мнимую часть этого выражения не составляет труда.
Окончательно имеем:
$$
\sin \varphi + \sin 2\, \varphi + \dots + \sin n\, \varphi =
\frac{\sin \displaystyle \frac{n}{2} \, \varphi \, \sin \displaystyle \frac{n+1}{2} \, \varphi }
{\sin \displaystyle \frac{1}{2} \, \varphi}
\ npu \ \varphi \not\equiv 0 \pmod{2\, \pi} \ .
$$
В качестве "бонуса" мы получили и аналогичную формулу для косинусов:
$$
\cos \varphi + \cos 2\, \varphi + \dots + \cos n\, \varphi =
\frac{\sin \displaystyle \frac{2\,n+1}{2} \, \varphi}{2 \sin \displaystyle \frac{1}{2} \,
\varphi} - \frac{1}{2} \ .
$$
После того, как искомая формула выведена,
не составляет труда доказать ее другим способом ---
без применения аппарата комплексных чисел. В самом
деле, домножим левую ее часть на $ \sin \varphi/2 $:
$$
\sin \varphi \cdot \sin \frac{1}{2} \, \varphi +
\sin 2\, \varphi \cdot \sin \frac{1}{2} \, \varphi + \dots +
\sin n\, \varphi \cdot \sin \frac{1}{2} \, \varphi =
$$
и преобразуем каждое произведение в разность косинусов:
$$
=\frac{1}{2} \bigg(\cos \frac{3}{2} \, \varphi - \cos \frac{1}{2} \, \varphi
+ \cos \frac{5}{2} \, \varphi - \cos \frac{3}{2} \, \varphi + \dots +
$$
$$
+ \cos \left( n + \frac{1}{2} \right) \, \varphi -
\cos \left( n - \frac{1}{2} \right) \, \varphi
\bigg) =
$$
все слагаемые, кроме двух, сокращаются:
$$
=\frac{1}{2} \left(\cos \left( n + \frac{1}{2} \right) \, \varphi -
\cos \frac{1}{2} \, \varphi \right) =
\sin \displaystyle \frac{n}{2} \, \varphi \,
\sin \displaystyle \frac{n+1}{2} \, \varphi \ ,
$$
и мы получили числитель дроби, стоящей в правой части выведенной формулы.
В чем же заключалась польза от комплексных чисел, если доказать
формулу можно и без их использования? --- Да в том, что эти числа позволили
нам __вывести__ эту формулу, т.е. дали возможность угадать неизвестный путь к истине.
!!?!! Свернуть сумму
$$\cos \varphi + \cos 3\, \varphi + \dots + \cos (2n-1)\varphi \ . $$
**Ответ**
☞
((:complex_num:vspom1 ЗДЕСЬ))
!!§!! Применение формулы суммы косинусов см. в разделе
☞
((:interpolation:dft:vspom3 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ))
==== Синус и косинус кратного угла ==
**Задача.** Найти общую формулу, выражающую $ \cos n \varphi $ через
$ \cos \varphi $ и $ \sin \varphi $.
Из школьного курса алгебры известна такая формула для $ n_{}=2 $: $ \cos 2 \varphi =
\cos^2 \varphi - \sin^2 \varphi $.
Для выведения же общей формулы воспользуемся двумя формулами разложения
$ \left(\cos \varphi + \mathbf i \, \sin \varphi \right)^n $: формулой ((:binomial бинома Ньютона))
$$
\left(\cos \varphi + \mathbf i \, \sin \varphi \right)^n =
$$
$$
=\cos^{n} \varphi+C_n^1 \cos^{n-1} \varphi \sin \varphi \mathbf i+C_n^2 \cos^{n-2} \varphi \sin^2 \varphi \mathbf i^2
+C_n^3 \cos^{n-3} \varphi \sin^3 \varphi \mathbf i^3+
$$
$$
+C_n^4 \cos^{n-4} \varphi \sin^4 \varphi \mathbf i^4+\dots+\sin^n \varphi \mathbf i^n
$$
и ((#формула_муавра формулой Муавра)). Получаем:
$$ \cos n\varphi + \mathbf i \, \sin n\varphi =\left(\cos \varphi + \mathbf i \, \sin \varphi \right)^n= $$
$$
=\left(\cos^n \varphi - C_n^2 \cos^{n-2}\varphi \sin^2 \varphi +
C_n^4 \cos^{n-4}\varphi \sin^4 \varphi - \dots \right) +
$$
$$
+ \mathbf i \, \left(C_n^1 \cos^{n-1}\varphi \sin \varphi -
C_n^3 \cos^{n-3}\varphi \sin^3 \varphi- \dots \right) \ .
$$
На основании ((#определение аксиомы равенства)) комплексных чисел:
$$
\begin{array}{cl}
\cos n\varphi = & \cos^n \varphi - \displaystyle \frac{n(n-1)}{2} \cos^{n-2}\varphi \sin^2 \varphi +
C_n^4 \cos^{n-4}\varphi \sin^4 \varphi - \dots \\
= & \displaystyle \sum_{j=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^j
C_n^{2\, j} \sin^{2\, j} \varphi \cos^{n-2\,j} \varphi \ ; \\
\sin n\varphi = & \sin \varphi \left(n \cos^{n-1}\varphi
-C_n^3 \cos^{n-3}\varphi \sin^2 \varphi +C_n^5 \cos^{n-5}\varphi \sin^4 \varphi-\dots \right) = \\
= &\displaystyle
\sum_{j=0}^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor} (-1)^j
C_n^{2\, j+1} \sin^{2\, j+1} \varphi \cos^{n-2\,j-1} \varphi
\ .
\end{array}
$$
Здесь $ C_n^k $ означает ((:algebra2:notations#биномиальный_коэффициент биномиальный коэффициент)),
а $ \lfloor \quad \rfloor $ --- ((:algebra2:notations#целая_часть_числа целую часть числа)).
Таким образом, снова комплексные числа позволили нам вывести два совершенно
вещественных равенства.
!!П!! **Пример**.
$$
\begin{array}{ll}
\cos \, 4\varphi &= \cos^4 \varphi - 6\, \cos^2 \varphi \sin^2 \varphi + \sin^4 \varphi \ ,\\
\sin \, 5\varphi &= 5 \, \cos^4 \varphi \sin \varphi - 10 \, \cos^2 \varphi \sin^3 \varphi+ \sin^5 \varphi \ .
\end{array}
$$
!!?!! Найти выражения $ \sin \, n \varphi $ через $ \sin \varphi $ и $ \cos \, n \varphi $ через $ \cos \varphi $.
**Решение**
☞
((:complex_num:vspom4 ЗДЕСЬ)).
!!?!! Найти выражение $ \operatorname{tg}\, n \varphi $ через $ \operatorname{tg} \, \varphi $.
!!§!! Решение обратной задачи: выражение $ \cos^n \varphi $ и $ \sin^n \varphi $ через косинусы и
синусы кратных углов, т.е. через $ \cos \varphi,\sin \varphi,\cos 2\varphi ,
\sin 2\varphi ,\dots, \cos n\varphi , \sin n\varphi $
☞
((complex_num:vspom2 ЗДЕСЬ)).
=== Извлечение корня из комплексного числа ==
Пусть $ n_{} $ означает натуральное число. **Корнем** $ n_{} $**-й степени** из комплексного числа $ z_{} $
называется такое комплексное число $ w_{} $, что $ w^n=z $. Очевидно, что корень первой степени из $ z_{} $ совпадает с самим числом $ z_{} $ и корень любой степени из $ 0_{} $ равен $ 0_{} $ (в дальнейшем эти случаи рассматривать не будем). Обозначение корня при $ n\ge 2 $ такое же как и в случае вещественных чисел:
$$ w = \sqrt[n]{z}, \ \mbox{ а при } n=2 \ \mbox{ показатель обычно не указывают: } w=\sqrt{z} \ . $$
**Задача.** Вычислить $ \displaystyle \sqrt[n]{z} $.
==== Квадратный корень ==
Пусть $ z_{} $ представлено в каноническом виде: $ z=a+\mathbf i b $ при
$ \{ a,b \}\subset \mathbb R $. Будем искать число $ w $ также в каноническом виде:
$ w=x+ \mathbf i y $, где $ x_{} $ и $ y_{} $ неизвестные __вещественные__ величины. По определению квадратного корня, должно быть выполнено:
$$w^2=z \ \iff \ (x+ \mathbf i y)^2 = a+\mathbf i b
\ \iff \ (x^2-y^2) + 2\,\mathbf i xy = a+\mathbf i b \iff
$$
$$
\ \iff \ x^2-y^2 = a,\ 2\, xy = b \ .
$$
(на основании аксиомы равенства комплексных чисел). Возведем оба получившихся уравнения в квадрат и сложим:
$$\left(x^2+y^2 \right)^2 = a^2+ b^2 \ \iff \ x^2+y^2 = \sqrt{a^2+ b^2} \
\mbox{(поскольку } \{x,y \}\subset \mathbb R \mbox{ )} \ . $$
Вместе с первым уравнением получаем линейную систему
относительно $ x_{}^2 $ и $ y_{}^2 $. Решаем ее относительно $ x_{}^2 $:
$$x^2=\frac{1}{2} \left(a+\sqrt{a^2+ b^2} \right)
\Rightarrow
x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{a+\sqrt{a^2+ b^2}}
\ .
$$
Имеем: $ x=0 \iff b=0, a\le 0 $. В этом случае $ y=\pm \sqrt{-a} $.
Таким образом:
$$
\sqrt{a}= \pm \mathbf i \sqrt{-a} \quad npu \ a<0 \ .
$$
Если $ b \ne 0 $, то
$$
y=\frac{b}{2\,x}= \pm
\frac{b}{\sqrt{2}\, \sqrt{a+\sqrt{a^2+ b^2}}}=
\pm \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{- a+\sqrt{a^2+ b^2} } \, \operatorname{sign}\, (b)
\ ;
$$
здесь $ \operatorname{sign} $ означает ((:algebra2:notations#знак_числа знак числа)).
Таким образом:
$$
\sqrt{z} =\pm \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\sqrt{a+\sqrt{a^2+ b^2}}
+\mathbf i \sqrt{-a+\sqrt{a^2+ b^2}} \,
\, \operatorname{sign} \, (b) \right) \ .
$$
!!?!! Вычислить **а)** $ \sqrt{2\, \mathbf i} $; **б)** $ \sqrt{-3} $ ; **в)** $ \sqrt{2-3\, \mathbf i} $.
Формулы для вычисления квадратного корня позволят теперь решить любое
квадратное уравнение
$$z^2+p\, z+q=0, \quad npu \ \{p,q \}\subset \mathbb C \ .$$
В самом деле, преобразуем левую часть, выделив полный квадрат:
$$
z^2+p\, z+q=z^2+p\, z+\left(\frac{p}{2}\right)^2 +\left(q-\frac{p^2}{4} \right)=
\left( z + \frac{p}{2} \right)^2 - \frac{\mathcal D}{4}
$$
при
$$ \mathcal D= p^2-4\, q \ ,$$
т.е. известному нам по вещественному случаю **дискриминанте** квадратного трехчлена.
Итак, квадратное уравнение преобразовано к виду:
$$\left( z + \frac{p}{2} \right)^2 = \frac{\mathcal D}{4} \ ,$$
их которого получаем привычную форму записи его ((:polynomial#корни корней))
$$
z_{1,2}=\frac{1}{2} \left(-p\pm \sqrt{\mathcal D} \right) \ ,
$$
с той только оговоркой, что теперь под $ \sqrt{\mathcal D} $ понимается
два значения корня квадратного из __комплексного__ числа.
!!П!! **Пример.** Решить уравнение $ z^2-2\, z+3=0 $.
**Решение.** Здесь $ \mathcal D=-8 $ и $ \sqrt{\mathcal D}= \pm \mathbf i 2 \sqrt{2} $.
**Ответ.** $ 1\pm \mathbf i \sqrt{2} $.
!!П!! **Пример.** Решить уравнение $ z^2-(3+2\, \mathbf i )\, z +(5+5\, \mathbf i ) =0 $.
**Решение.** Здесь $ \mathcal D=(3+2\, \mathbf i )^2-4\, (5+5\, \mathbf i )=-15 - 8\, \mathbf i $. По
формуле извлечения корня: $ \sqrt{\mathcal D}=\pm (1-4\, \mathbf i ) $.
**Ответ.** $ 2- \mathbf i ,\ 1+3\, \mathbf i $.
!!П!! **Пример.** Решить уравнение $ (3- \mathbf i )\, z^2+(1+ \mathbf i )\, z + 6\, \mathbf i =0 $.
**Решение.** Можно сначала поделить все уравнение на коэффициент при $ z^2 $,
но можно действовать и напрямую, обобщив понятие дискриминанта:
$$ \mathcal D=(1+ \mathbf i )^2- 4\, (3- \mathbf i )\, 6\, \mathbf i=-24-70\, \mathbf i \ , \
\sqrt{\mathcal D}=\pm ( 5 - 7\, \mathbf i ) \ ,$$
а также формулу вычисления корней:
$$
z_{1,2}=\frac{-(1+ \mathbf i) \pm ( 5 - 7\, \mathbf i )}{2 (3- \mathbf i)}
\ .
$$
**Ответ.** $ 1-\mathbf i \ , -\frac{6}{5} + \frac{3}{5} \mathbf i $.
====Общий случай ==
Алгоритм предыдущего пункта может быть очевидным образом обобщен для нахождения корней степеней $ 2^m $ из комплексных чисел. Понятно также, что количество корней возрастает вдвое при переходе от $ 2^m $ к $ 2^{m+1} $. Вопрос о том будут ли все эти корни различными пока открыт.
Попробуем найти приемом, задействованным в предыдущем пункте, величину $ \sqrt[3]{z} $.
$$ w^3=z \ \iff \ (x+ \mathbf i y)^3 = a+\mathbf i b
\iff
\left(x^3-3\, x y^2 \right) + \mathbf i \, (3\, x^2 y-y^3) = a+\mathbf i b
$$
$$
\iff
\left\{ \begin{array}{c}
x^3-3\, x y^2 = a, \\
3\, x^2 y-y^3 = b \ .
\end{array} \right.
$$
Возведем оба получившихся уравнения в квадрат и сложим:
$$x^6+3\, x^4y^2+3\, x^2y^4+y^6=a^2+b^2 \ \iff \ (x^2+y^2)^3=a^2+b^2
$$
$$
\ \iff \ x^2+y^2 = \sqrt[3]{a^2+b^2}\ . $$
Выразим отсюда $ y^2 $ и подставим в первое уравнение:
$$
4\, x^3 - 3\, x \sqrt[3]{a^2+b^2} -a =0 \ .
$$
Получилось кубическое уравнение относительно неизвестной вещественной величины $ x_{} $. Существует общий метод решения подобного уравнения (см.
☞
((:polynomial#уравнение_третьей_степени ЗДЕСЬ))); однако его применение к настоящему случаю отягощается серьезной проблемой.
Настоящее замечание может быть пропущено без ущерба для понимания оставшейся части раздела.
Речь идет о ((polynomial:radical#уравнение_третьей_степениформула_кардано формуле Кардано)) представления корней кубического уравнения в радикалах относительно коэффициентов этого уравнения. Однако в данном конкретном примере мы сталкиваемся с так называемым ((:polynomial:radical#анализ_формулы_кардано_для_полиномов_с_вещественными_коэффициентами неприводимым случаем)) формулы Кардано: заведомо вещественные корни могут быть выражены только посредством мнимых чисел! Получаем порочный круг[[circulus vitiosus (//лат.//)]]: искомые комплексные величины $ \sqrt[3]{z} $ ищутся через посредство кубического уравнения с вещественными корнями, для которых, в свою очередь, имеется только комплексные представления.
Попробуем решить получившееся кубическое уравнение хотя бы при частных значениях $ a_{} $ и $ b_{} $. Пусть, например,
$ b=0 $, тогда
$$4\, x^3 - 3\, x \sqrt[3]{a^2} -a=(x- \sqrt[3]{a})
\left(4\, x^2 +4\,\sqrt[3]{a} x +\left( \sqrt[3]{a} \right)^2 \right)=
(x- \sqrt[3]{a})\left( 2\, x + \sqrt[3]{a} \right)^2 \ ,$$
т.е. решениями уравнения являются
$$x_1=\sqrt[3]{a},\ x_{2,3}=- \frac{1}{2} \sqrt[3]{a} \ . $$
Подставляя в первое из уравнений, получим соответствующие значения для $ y_{} $:
$$y_1=0,\ y_{2,3}=\pm \frac{\sqrt{3}}2 \sqrt[3]{a} \ . $$
Таким образом, кубический корень из вещественного числа $ z=a $
имеет три значения:
$$
\left\{ \sqrt[3]{a},\ \sqrt[3]{a} \left(-\frac{1}{2} \pm \mathbf i
\frac{\sqrt{3}}2 \right) \right\} \ .
$$
Рассмотрим теперь случай $ a_{}=0 $. Уравнение принимает вид
$$4\, x^3 - 3\, x \sqrt[3]{b^2}=0 \ ,$$
из которого сразу же находятся значения $ x_{} $:
$$x_1=0,\ x_{2,3}= \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt[3]{b} \ . $$
Соответствующие значения для $ y $:
$$
y_1=- \sqrt[3]{b},\ y_{2,3}= \frac{1}{2} \sqrt[3]{b} \ . $$
Таким образом, кубический корень из чисто мнимого числа $ z=\mathbf i b $
имеет три значения:
$$
\left\{ -\mathbf i \sqrt[3]{b},\ \sqrt[3]{b} \left( \pm
\frac{\sqrt{3}}2 + \frac{1}{2}\, \mathbf i \right) \right\} \ .
$$
----
Теперь приведем другой способ вычисления $ w=\sqrt[n]{z} $, основанный на
тригонометрической форме записи чисел $ w_{} $ и $ z_{} $. Пусть
$$z=a+\mathbf i b= \rho \left( \cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi \right) \ ,
w=x+\mathbf i y = r \left( \cos \vartheta + \mathbf i \sin \vartheta \right) \ .$$
Применяя ((#формула_муавра формулу Муавра)), получаем
$$w^n=r^n \left( \cos n\vartheta + \mathbf i \sin n\vartheta \right)=
\rho \left( \cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi \right)$$
и на основании правила равенства комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме, получаем:
$$r^n = \rho ,\ n\vartheta \equiv \varphi \pmod{2 \pi}$$
Первое из этих равенств мы получали в явном виде для квадратных и
кубических корней, оно равносильно
$$r= \sqrt[n]{\rho} \ , $$
т.е. модуль корня $ n_{} $-й степени из комплексного числа равен (арифметическому)
корню $ n_{} $-й степени из модуля этого числа.
!!Т!! **Теорема.** //Существует// $ n_{} $ //различных значений корня//
$ n_{} $//-й степени из комплексного числа// $ z=\rho (\cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi ) $.
//Все они даются формулой//
$$
w_k= \sqrt[n]{\rho} \left(\cos \frac{\varphi+2 \pi k}{n} + \mathbf i
\sin \frac{\varphi+2 \pi k}{n}\right) \ npu \ k\in \{0,1,\dots, n-1\} \ .
$$
**Доказательство** того, что при любом целом числе $ k_{} $ числа $ w_k $ являются корнями $ n $-й
степени из $ z_{} $ уже проведено. Далее, из периодичности $ \sin $ и $ \cos $ следует, что
$$w_{0}=w_{nk},\ w_{1}=w_{nk+1},\dots , w_{n-1}=w_{nk+n-1} \quad npu \ k\in \mathbb Z
\ ,
$$
т.е. все эти корни содержатся в объявленном множестве. Осталось показать,
что все числа $ w_0,w_1,\dots, w_{n-1} $ различны. Но это так и есть, поскольку
их аргументы не подчиняются ((#тригонометрическая_форма_комплексного_числа правилу равенства комплексных чисел)).
♦
!!П!!** Пример.** Вычислить $ \sqrt[3]{\mathbf i} $ .
**Решение.** $ \mathbf i= \cos {\pi}/2 + \mathbf i \sin {\pi}/2 $
$$\sqrt[3]{\mathbf i} = \sqrt[3]{\cos \frac{\pi}2 + \mathbf i \sin \frac{\pi}{2}}=
\cos \frac{{\pi}/2 + 2\pi k}{3} + \mathbf i
\sin \frac{{\pi}/2 + 2\pi k}{3} \ npu \ k \in \{0,1,2\}.$$
Видим, что значения
$$w_0=\cos \frac{\pi}6 + \mathbf i \sin \frac{\pi}6=\frac{\sqrt{3}}2 + \frac{1}{2} {\mathbf i}
\ , \quad
w_1= \cos \frac{5\pi}6 + \mathbf i \sin \frac{5\pi}6=-\frac{\sqrt{3}}2 + \frac{1}{2} {\mathbf i}
\ , \quad
w_2=\cos \frac{3\pi}2 + \mathbf i \sin \frac{3\pi}2=-\mathbf i $$
совпадают с выведенной выше формулой для $ \sqrt[3]{\mathbf i b} $.
♦
!!П!!** Пример.** Вычислить $ \sqrt[7]{1+9\, \mathbf i} $.
**Решение.**
$$ 1+9\, \mathbf i =\sqrt{82}\left(\cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi \right) \quad
npu \ \varphi=\arccos \frac{1}{\sqrt{82}} \approx 1.460139106 \ .
$$
Значения корней получаются по формуле
$$
\{w_k\}_{k=0}^6=\left\{ \sqrt[14]{82}
\left(\cos \frac{\varphi+2 \pi k}{7} + \mathbf i
\sin \frac{\varphi+2 \pi k}{7}\right) \right\}_{k=0}^6
\ \approx
$$
$$
\approx \big\{1.34024 + 0.28368\, \mathbf i,\
0.61383 + 1.22472 \, \mathbf i,\ -0.57480 + 1.24351\, \mathbf i,\
-1.33060 + 0.32591\, \mathbf i,\ -1.08442 - 0.83710 \, \mathbf i,
$$
$$
-0.02165 - 1.36976 \, \mathbf i,\
1.05742 - 0.87096 \, \mathbf i \big\} \ .
$$
Изобразим корни на комплексной плоскости:
видим, что они располагаются на окружности с центром в $ 0_{} $ и радиусом $ \sqrt[14]{82} \approx 1.36993 $; и делят эту окружность на $ 7_{} $ дуг одинаковой длины.
{{ roots1.gif |}}
{{ roots2.gif |}}
Аналитика подтвержает геометрию: число $ w_k $ может быть получено домножением $ w_0 $ на число $ \cos 2 \pi k/7 + \mathbf i
\sin 2 \pi k/7 $, что соответствует повороту вектора $ \vec{Ow_0} $ на угол кратный $ 2\pi/7 $.
♦
==== Корни из единицы ==
Обобщим соображения из последнего примера: корень $ n_{} $-й степени из комплексного числа $ z_{} $ можно представить в виде произведения
$$
\sqrt[n]{\rho} \left(\cos \frac{\varphi+2 \pi k}{n} + \mathbf i
\sin \frac{\varphi+2 \pi k}{n}\right) =
$$
$$
=\sqrt[n]{\rho} \left(
\cos \frac{\varphi}{n} + \mathbf i
\sin \frac{\varphi}{n} \right)
\left(
\cos \frac{2 \pi k}{n} + \mathbf i
\sin \frac{2 \pi k}{n} \right)=
w_0
\left(
\cos \frac{2 \pi k}{n} + \mathbf i
\sin \frac{2 \pi k}{n} \right)
$$
двух сомножителей, первый из которых не зависит от $ k_{} $. Числа
$$
\varepsilon_k = \cos \frac{2 \pi k}{n} + \mathbf i
\sin \frac{2 \pi k}{n}
$$
при $ k\in \{0,1,\dots,n-1\} $ имеют очевидный смысл --- они являются
корнями $ n $-й степени из единицы:
$$
\varepsilon_k^n=1 \quad npu \quad k\in \{0,1,\dots,n-1 \} \ .
$$
Также очевидно, что $ \varepsilon_0=1 $.
!!Т!! **Теорема.** //Множество всех корней// $ n_{} $//-й степени из комплексного
числа// $ z_{} $ //можно представить в виде произведения какого-то фиксированного корня
на множество всех корней// $ n_{} $//-й степени из// $ 1_{} $:
$$\{w_k \}_{k=0}^{n-1} = \{w_j \varepsilon_k \}_{k=0}^{n-1} \ .$$
**Доказательство.** Для $ j=0 $ справедливость утверждения уже показана. Для $ j>0 $
она очевидно следует из равенства $ w_j \varepsilon_k=w_0 \varepsilon_{k+j} $
и цикличности последовательности $ \{\varepsilon_{k}\}_{k=0,1,2,\dots} $.
♦
!!П!! **Пример.** Множества корней $ n_{} $-й степени из $ 1_{} $:
$$\begin{array}{l|l}
n=1& 1 \\
& \\
n=2& 1,\, -1 \\
& \\
n=3& 1,\, -\frac{1}{2} + \mathbf i \frac{\sqrt{3}}{2},\,
-\frac{1}{2} - \mathbf i \frac{\sqrt{3}}2 \\
& \\
n=4& 1,\, \mathbf i,\, -1,\, -\mathbf i \\
& \\
n=5& 1,\, \frac{1}{4} \left( \scriptstyle{(\sqrt{5}-1)} +\displaystyle{\mathbf i} \scriptstyle{\sqrt{2 (5+\sqrt{5})}} \right),\,
\frac{1}{4} \left( -\scriptstyle{(\sqrt{5}+1)} +\displaystyle{\mathbf i} \scriptstyle{\sqrt{2 (5-\sqrt{5})}} \right),\,
\frac{1}{4} \left( -\scriptstyle{(\sqrt{5}+1)} - \displaystyle{\mathbf i} \scriptstyle{\sqrt{2 (5-\sqrt{5})}} \right),\,
\frac{1}{4} \left( \scriptstyle{(\sqrt{5}-1)} - \displaystyle{\mathbf i} \scriptstyle{\sqrt{2 (5+\sqrt{5})}} \right) \\
& \\
n=6& 1,\ \frac{1}{2} + \mathbf i \frac{\sqrt{3}}{2} ,\ -\frac{1}{2} + \mathbf i \frac{\sqrt{3}}{2},
-1,\ - \frac{1}{2} - \mathbf i \frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2} - \mathbf i \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{array}
$$
Как были получены эти выражения? --- Мы ведь не выводили в предыдущем пункте алгебраического представления для, скажем $ \sqrt[5]{z} $, но, тем не менее, какие-то значения в таблице привели. Ответ на этот вопрос заключается в том, что уравнение $ z^n-1=0 $, определяющее корни $ n_{} $-й степени из $ 1_{} $, иногда удается решить в "хороших" выражениях (см.
☞
((:polynomial:reciprocal ВОЗВРАТНЫЙ ПОЛИНОМ)) ). Так, к примеру, уравнение $ z^9-1=0 $ можно переписать в виде:
{{ roots91.gif|}}
$$ (z^9-1)\equiv (z-1)(z^2+z+1)(z^6+z^3+1)=0 \ , $$
и выражения для, по крайней мере, трех его корней угадываются сразу:
$$ \left\{ 1,\, -\frac{1}{2} + \mathbf i \frac{\sqrt{3}}{2},\,
-\frac{1}{2} - \mathbf i \frac{\sqrt{3}}2 \right\} \ . $$
Разумеется, они совпадают с уже встречавшимися в таблице корнями кубическими из $ 1_{} $. Оставшееся уравнение $ z^6+z^3+1=0 $ можно свести к квадартному заменой переменной. Но дальше пройти не удается: алгебраические выражения для корней этого уравнения не получить.
♦
Уравнение $ z^n-1=0 $ называется **уравнением деления круга** --- с очевидным геометрическим смыслом [[Понятно, что уравнение $ z^n-w=0 $, при фиксированном комплексном числе $ w_{} $ тоже может считаться уравнением деления круга --- но название закрепилось именно за указанным уравнением.]].
!!Т!! **Теорема.** //Для любых// $ \{k,\ell\}\subset \{0,1,\dots,n-1\} $ //справедливы
равенства//
$$ \varepsilon_{k}=\varepsilon_{1}^k \ , \ \overline{\varepsilon_{k}}= \frac{1}{\varepsilon_{k}}=\varepsilon_{n-k},\
\varepsilon_{k}\varepsilon_{\ell}= \varepsilon_{k+\ell \pmod{n}}=
\left\{
\begin{array}{lc}
\varepsilon_{k+\ell} & npu \ k+\ell
☞