!!§!! Вспомогательная страница к разделу ((:algebra2:vander МАТРИЦА И ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ВАНДЕРМОНДА))
----
==Задачи==
1
((#источники [1])). Решить и исследовать систему уравнений
$$
\left\{
\begin{array}{llllll}
x_1&+\lambda_1x_2&+\lambda_1^2x_3&+\lambda_1^4x_4&+\lambda_1^6x_5&=0 \\
x_1&+\lambda_2x_2&+\lambda_2^2x_3&+\lambda_2^4x_4&+\lambda_2^6x_5&=0 \\
x_1&+\lambda_3x_2&+\lambda_3^2x_3&+\lambda_3^4x_4&+\lambda_3^6x_5&=0 \\
x_1&+\lambda_4x_2&+\lambda_4^2x_3&+\lambda_4^4x_4&+\lambda_4^6x_5&=0 \\
x_1&+\mu x_2&+\mu^2x_3&+\mu^4x_4&+\mu^6x_5&=1\, .
\end{array}
\right.
$$
2
((#источники [2])). Имеет место равенство:
$$
\frac{1}{(1-x_1x)\times \dots \times (1-x_mx)}=1+\sigma_{1} (x_1,\dots,x_m)x+\sigma_{2} (x_1,\dots,x_m)x^2+\dots
$$
3
((#источники [2])). Функция $ \sigma_{2k} (x_1,\dots,x_m), k \in \mathbb N $, рассматриваемая как ((:polynomialm#однородный_полином однородный полином)) (форма) от своих переменных, является положительно определенной.
4
((#источники [2])). Пусть $ \alpha_1< \alpha_2<\dots< \alpha_n, \beta_1< \beta_2<\dots< \beta_n $. Тогда
$$
\left|
\begin{array}{cccc}
e^{\alpha_1 \beta_1} & e^{\alpha_1 \beta_2} & \dots & e^{\alpha_1 \beta_n} \\
e^{\alpha_2 \beta_1} & e^{\alpha_2 \beta_2} & \dots & e^{\alpha_2 \beta_n} \\
\vdots & & & \vdots \\
e^{\alpha_n \beta_1} & e^{\alpha_n \beta_2} & \dots & e^{\alpha_n \beta_n}
\end{array}
\right|>0 \, .
$$
5
. Доказать, что определители вида
$$ \left| \begin{array}{ccc}
1 & x_1 & x_2x_3 \\
1 & x_2 & x_1x_3 \\
1 & x_3 & x_1x_2
\end{array}
\right|, \
\left| \begin{array}{cccc}
1 & x_1 & x_1^2 & x_2x_3x_4 \\
1 & x_2 & x_2^2 & x_1x_3x_4 \\
1 & x_3 & x_3^2 & x_1x_2x_4 \\
1 & x_4 & x_4^2 & x_1x_2x_3
\end{array}
\right|, \
\left| \begin{array}{ccccc}
1 & x_1 & x_1^2 & x_1^3 & x_2x_3x_4x_5 \\
1 & x_2 & x_2^2 & x_2^3 & x_1x_3x_4x_5 \\
1 & x_3 & x_3^2 & x_3^3 & x_1x_2x_4x_5 \\
1 & x_4 & x_4^2 & x_4^3 & x_1x_2x_3x_5 \\
1 & x_5 & x_5^2 & x_5^3 & x_1x_2x_3x_4
\end{array}
\right|, \dots
$$
совпадают, с точностью до знака, с определителями Вандермонда соответствующих порядков.
==Источники==
[1]. **Лефорт Г.** Алгебра и анализ. Задачи. М.Наука. 1973, c.89
[2]. **Полиа Г., Сеге Г.** . //Задачи и теоремы из анализа.//Т. 2. М.Наука. 1972