☞
((:matrix_e:vander_e English version))
==Матрица и определитель Вандермонда==
~~TOC~~
Пусть задан набор чисел (элементов поля) $ \{x_1,x_2,\dots,x_n \} $, не обязательно различных. Матрицу вида
$$
\mathbf V_{m,n}(x_1, x_2,\ldots,x_n) =
\left(
\begin{array}{llll}
1& 1& \ldots& 1\\
x_1& x_2& \ldots& x_n\\
x_1^2& x_2^2& \ldots& x_n^2\\
\vdots& \vdots& & \vdots \\
x_1^{m-1}& x_2^{m-1}& \ldots& x_n^{m-1}
\end{array}
\right)_{m\times n}
$$
или ей ((:algebra2#транспонирование транспонированную)) будем называть $ m \times n $-**матрицей Вандермонда**.
Частным случаем квадратной матрицы Вандермонда является ((:interpolation:dft#дискретное_преобразование_фурье матрица дискретного преобразования Фурье)):
$$
F=\left[ \varepsilon_j^{k} \right]_{j,k=0}^{n-1}=
\left( \begin{array}{lllll}
1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\
1 & \varepsilon_1 & \varepsilon_1^2 & \dots & \varepsilon_1^{n-1} \\
1 & \varepsilon_2 & \varepsilon_2^2 & \dots & \varepsilon_2^{n-1} \\
1 & \varepsilon_3 & \varepsilon_3^2 & \dots & \varepsilon_3^{n-1} \\
\vdots & & & & \vdots \\
1 & \varepsilon_{n-1} & \varepsilon_{n-1}^{2} & \dots & \varepsilon_{n-1}^{n-1}
\end{array}
\right)_{n\times n}
\quad npu \quad \varepsilon_j = \cos \frac{2 \pi j}{n} + {\mathbf i} \, \sin \frac{2 \pi j}{n}
$$
--- ((:complex_num#корни_из_единицы корне n-й степени из 1)). Основываясь на свойстве $ \varepsilon_j=\varepsilon_1^j $, матрицу часто записывают в эквивалентном виде
$$
F=
\left[ \varepsilon^{jk} \right]_{j,k=0}^{n-1}=
\left( \begin{array}{lllll}
1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\
1 & \varepsilon & \varepsilon^2 & \dots & \varepsilon^{n-1} \\
1 & \varepsilon^2 & \varepsilon^4 & \dots & \varepsilon^{2(n-1)} \\
1 & \varepsilon^3 & \varepsilon^6 & \dots & \varepsilon^{3(n-1)} \\
\vdots & & & & \vdots \\
1 & \varepsilon^{n-1} & \varepsilon^{2(n-1)} & \dots & \varepsilon^{(n-1)^2}
\end{array}
\right)_{n\times n} \quad npu \quad \varepsilon = \cos \frac{2 \pi}{n} + {\mathbf i} \, \sin \frac{2 \pi}{n} \ .
$$
===Определитель==
Определитель квадратной $ n\times n $-матрицы Вандермонда называется **определителем Вандермонда**. При $ n=1 $ он, очевидно, равен $ 1 $. При $ n>1 $ будем обозначать его $ V(x_1,\dots,x_n) $:
$$
V(x_1,\dots,x_n)=
\left|
\begin{array}{llll}
1& 1& \ldots& 1\\
x_1& x_2& \ldots& x_n\\
x_1^2& x_2^2& \ldots& x_n^2\\
\vdots& \vdots& & \vdots \\
x_1^{n-1}& x_2^{n-1}& \ldots& x_n^{n-1}
\end{array}
\right|=
\left|
\begin{array}{llll}
1& x_1& \ldots& x_1^{n-1}\\
1& x_2& \ldots& x_2^{n-1}\\
\vdots& \vdots& & \vdots \\
1 & x_n& \ldots & x_n^{n-1}
\end{array}
\right| \, .
$$
Очевидно, этот определитель является полиномом от переменных $ x_1,\dots,x_n $:
$$
V(x_1,x_2)=x_2-x_1,\ V(x_1,x_2,x_3)= x_1^2x_3-x_1x_3^2+x_1x_2^2-x_1^2x_2+x_2x_3^2-x_2^2x_3, \dots ,
$$
причем полиномом ((:polynomialm#однородный_полином однородным)) степени $ n(n-1)/2 $ и с целыми коэффициентами. Этот полином оказывается ((:polynomialm#алгебраические_уравнения приводимым)) над $ \mathbb Z $.
!!T!! **Теорема.** //Имеет место тождество//
$$ V(x_1,\dots,x_n) \equiv \prod_{1\le j < k \le n} (x_k-x_j)\ . $$
**Доказательство**
☞
((:algebra2:dets:special_cases#метод_рекуррентных_соотношений ЗДЕСЬ)).
!!=>!! Определитель Вандермонда порядка $ n\ge 2 $ отличен от нуля тогда и только тогда, когда все числа $ x_1,x_2,\dots,x_n $ различны.
!!П!! **Пример.**
$$
V(x_1,x_2,x_3)\equiv (x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_3-x_2) \ ;
$$
$$
V(x_1,x_2,x_3,x_4) \equiv
$$
$$
\equiv (x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_3-x_2)(x_4-x_1)(x_4-x_2)(x_4-x_3) \ .
$$
♦
!!?!! Является ли определитель Вандермонда ((:polynomialm#odnorodnyj_polinom симметрическим полиномом)) от $ x_1,x_2,\dots,x_n $?
!!=>!! Определитель матрицы дискретного преобразования Фурье вычисляется по формулам:
$$
\det F =
\left\{
\begin{array}{ll}
n^{n/2} {\mathbf i}^{n(n-1)/2+1} & \mbox{ при }\ n_{} - \mbox{ четном }, \\
n^{n/2} {\mathbf i}^{n(n-1)/2} & \mbox{ при }\ n_{} - \mbox{ нечетном }.
\end{array}
\right.
$$
**Доказательство**
☞
((:algebra2:fourier ЗДЕСЬ)).
===Интерполяция==
Матрица Вандермонда естественным образом возникает в задаче ((:interpolation полиномиальной интерполяции)).
**Задача.** Построить ((:polynomial#полином_одной_переменной полином)) $ y_{}=f(x) $, принимающий значения
согласно следующей таблице:
$$
\begin{array}{c|ccccc}
x & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\ \hline
y & y_1 & y_2 &\dots & y_n
\end{array}
$$
Здесь числа $ \{ x_{j}, y_{j} \}_{j=1}^n $ --- из $ \mathbb Q_{} $, $ \mathbb R_{} $ или $ \mathbb C_{} $, или вообще элементы произвольного поля, которое в дальнейшем будем обозначать через $ \mathbb A_{} $. $ \{ x_{j} \}_{j=1}^n $ называются **узлами интерполяции**; искомый полином называется **интерполяционным**.
!!Т!! **Теорема.** //При// $ x_{1},\dots,x_{n} $ //различных существует единственный полином// $ f(x) \in \mathbb A_{}[x] $ //степени// $ \le n_{}-1 $ //такой, что// $ f(x_{1})=y_{1},\dots,f(x_{n})=y_{n} $.
**Доказательство.** Коэффициенты полинома $ f(x)=A_{0}+A_1x+\dots+A_{n-1}x^{n-1} $ можно определить из системы уравнений
$$
\left\{\begin{array}{ccl}
A_0+A_1x_1+\dots+A_{n-1}x_1^{n-1}&=&y_1 \\
A_0+A_1x_2+\dots+A_{n-1}x_2^{n-1}&=&y_2 \\
\dots & & \dots \\
A_0+A_1x_n+\dots+A_{n-1}x_n^{n-1}&=&y_n,
\end{array}
\right.
$$
матрица которой как раз и является матрицей Вандермонда. По теореме из предыдущего пункта
ее определитель отличен от нуля. На основании ((:algebra2:linearsystems#Формулы_крамера теоремы Крамера)) система имеет единственное решение.
♦
Фактическое нахождение коэффициентов интерполяционного полинома посредством решения системы линейных уравнений по формулам Крамера достаточно громоздко. "Сходу" удается получить только выражения для $ A_0 $ и $ A_{n-1} $.
!!П!! **Пример.** Для $ n=4 $ имеем
$$
A_0=\frac{\left| \begin{array}{clll}
y_1 & x_1 & x_1^2 & x_1^3 \\
y_2 & x_2 & x_2^2 & x_2^3 \\
y_3 & x_3 & x_3^2 & x_3^3 \\
y_4 & x_4 & x_4^2 & x_4^3
\end{array}
\right|}{V(x_1,x_2,x_3,x_4)}=
$$
раскладываем определитель по первому столбцу:
$$
=\frac{y_1x_2x_3x_4V(x_2,x_3,x_4)-y_2x_1x_3x_4 V(x_1,x_3,x_4)+y_3x_1x_2x_4V(x_1,x_2,x_4)-y_4x_1x_2x_3V(x_1,x_2,x_3)}{V(x_1,x_2,x_3,x_4)}=
$$
$$
=\frac{y_1x_2x_3x_4}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_1-x_4)}+\frac{y_2x_1x_3x_4}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)(x_2-x_4)}+\frac{y_3x_1x_2x_4}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)(x_3-x_4)}+
$$
$$
+\frac{y_4x_1x_2x_3}{(x_4-x_1)(x_4-x_2)(x_4-x_3)} \, .
$$
$$
A_4=\frac{\left| \begin{array}{clll}
1 & x_1 & x_1^2 & y_1 \\
1 & x_2 & x_2^2 & y_2 \\
1 & x_3 & x_3^2 & y_3 \\
1 & x_4 & x_4^2 & y_4
\end{array}
\right|}{V(x_1,x_2,x_3,x_4)}=
$$
раскладываем определитель по последнему столбцу:
$$
=\frac{y_1}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_1-x_4)}+\frac{y_2}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)(x_2-x_4)}+\frac{y_3}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)(x_3-x_4)}+
$$
$$
+\frac{y_4}{(x_4-x_1)(x_4-x_2)(x_4-x_3)} \, .
$$
♦
Однако, с помощью некоторых вспомогательных манипуляций удается свести вычисление интерполяционного полинома к определителю Вандермонда. С этой целью воспользуемся результатом упражнения
7
☞
((:algebra2:inverse:problems ЗДЕСЬ)). Если $ f(x)=A_{0}+A_1x+\dots+A_{n-1}x^{n-1} $ при столбце коэффициентов, удовлетворяющем уравнению
$$
\mathbf V \left[\begin{array}{l} A_0 \\ A_1 \\ \vdots \\ A_{n-1} \end{array} \right] = \left[\begin{array}{l} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_{n} \end{array} \right] \, ,
$$
то
$$
f(x) \equiv
\left|
\begin{array}{llrrrc}
1 & x_1 & x_1^2 & \dots & x_1^{n-1} & -y_1 \\
1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^{n-1} & -y_2 \\
\vdots & \vdots & & & & \vdots \\
1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n^{n-1} & -y_n \\
1 & x & x^2 & \dots & x^{n-1} & 0
\end{array}
\right|
\Big/
\left|
\begin{array}{lrrrr}
1 & x_1 & x_1^2 & \dots & x_1^{n-1} \\
1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^{n-1} \\
\vdots & \vdots & & & \vdots \\
1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n^{n-1}
\end{array}
\right| \equiv
$$
Теперь ((:algebra2:dets#Миноры_и_алгебраические_дополнения разложим определитель)) из числителя по последнему столбцу
$$
\equiv (-1)^{n-1} y_1\frac{V(x_2,\dots,x_n,{\color{RubineRed} x})}{V(x_1,x_2,\dots,x_n)}+(-1)^{n-2}y_2\frac{V(x_1,x_3,\dots,x_n,{\color{RubineRed} x})}{V(x_1,x_2,\dots,x_n)}+\dots+
y_n\frac{V(x_1,x_2,\dots,x_{n-1},{\color{RubineRed} x})}{V(x_1,x_2,\dots,x_n)} \equiv
$$
и переставим строки в определителях числителей
$$
\equiv
y_1\frac{V({\color{RubineRed} x},x_2,\dots,x_n)}{V(x_1,x_2,\dots,x_n)}+y_2\frac{V(x_1,{\color{RubineRed} x},\dots,x_n)}{V(x_1,x_2,\dots,x_n)}+\dots+
y_n\frac{V(x_1,x_2,\dots,x_{n-1},{\color{RubineRed} x})}{V(x_1,x_2,\dots,x_n)} \, .
$$
Теперь воспользуемся теоремой предыдущего пункта и сократим общие множители числителей и знаменателей.
Обозначим
$$
W(x) = (x-x_1)\times \dots \times (x-x_n) \, ,
$$
$$
W_j(x) = \frac{W(x)}{x-x_j} =(x-x_1)\times \dots \times (x-x_{j-1})
(x-x_{j+1})\times \dots \times (x-x_n) \quad npu \quad j\in \{1,\dots,n\} .
$$
Тогда получаем представление интерполяционного полинома в виде:
$$
f(x) \equiv \sum_{j=1}^n \frac{y_jW_j(x)}{W_j(x_j)}=
$$
$$
\begin{array}{ll}
= & \displaystyle y_1\frac{(x-x_2)\times \dots \times (x-x_n)}{(x_1-x_2)\times \dots \times (x_1-x_n)}+ \\
+ & \displaystyle y_2\frac{(x-x_1)(x-x_3)\times \dots \times (x-x_n)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)\times \dots \times (x_2-x_n)}+ \\
+ & \dots+ \\
+ & \displaystyle y_n\frac{(x-x_1)\times \dots \times (x-x_{n-1})}{(x_n-x_1)\times \dots \times (x_n-x_{n-1})} .
\end{array}
$$
Это представление известно как **интерполяционный полином в форме Лагранжа**.
Легко выводимое равенство
$$ W_j(x_j)=W^{\prime}(x_j) $$
позволяет записать ту же форму в эквивалентном виде
$$
f(x) \equiv \sum_{j=1}^n \frac{y_jW_j(x)}{W^{\prime}(x_j)} \, .
$$
Полиномы
$$ \widetilde W_j(x) = W_j(x)/W_j(x_j) \equiv W_j(x)/W^{\prime}(x_j) \quad npu \quad j \in \{1,\dots,n\} \, , $$
участвующие в этом представлении, часто называют **базисными интерполяционными полиномами**. Они обладает следующим свойством:
$$
\widetilde W_j(x_k) = \delta_{jk} \ ,
$$
где $ \delta_{jk} $ --- ((:algebra2:notations#символ_кронекера символ Кронекера)). Иными словами, $ \widetilde W_j(x) $ является интерполяционным полиномом для таблицы
$$
\begin{array}{c|ccccc}
x & x_1 & x_2 & \dots & x_{j-1} & x_j & x_{j+1} & \dots & x_n \\ \hline
y & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 & 0 & \dots & 0
\end{array}
$$
===Обратная матрица==
Представление интерполяционного полинома в форме Лагранжа еще не дает явных формул для коэффициентов. Для этого еще нужно разложить базисные полиномы по степеням $ x_{} $. Если это сделать:
$$
{\widetilde W}_j(x)\equiv w_{j0}+w_{j1}x+\dots+ w_{j,n-1}x^{n-1} \, ,
$$
то мы получим возможность обращения матрицы Вандермонда.
!!Т!! **Теорема.** //При условии различности всех// $ x_1,x_2,\dots,x_n $ //имеет место равенство//
$$ \left(
\begin{array}{llll}
1& 1& \ldots& 1\\
x_1& x_2& \ldots& x_n\\
x_1^2& x_2^2& \ldots& x_n^2\\
\vdots& \vdots& & \vdots \\
x_1^{n-1}& x_2^{n-1}& \ldots& x_n^{n-1}
\end{array}
\right)^{-1}=
\left(
\begin{array}{llll}
w_{10}& w_{11}& \ldots& w_{1,n-1}\\
w_{20}& w_{21}& \ldots& w_{2,n-1}\\
\dots & & & \dots \\
w_{n0}& w_{n1}& \ldots& w_{n,n-1}\\
\end{array}
\right) \, .
$$
**Доказательство** может быть произведено разными способами. Самый простой заключается в формальной проверке утверждения умножением матрицы $ \left[ w_{jk} \right]_{j=1,\dots,n,k=0,\dots,n-1} $ на матрицу Вандермонда __слева__. В результате получаем
$$
\left(\begin{array}{llll}
\widetilde W_1(x_1) & \widetilde W_1(x_2) & \dots & \widetilde W_1(x_n) \\
\widetilde W_2(x_1) & \widetilde W_2(x_2) & \dots & \widetilde W_2(x_n) \\
\dots & & & \dots \\
\widetilde W_n(x_1) & \widetilde W_n(x_2) & \dots & \widetilde W_n(x_n)
\end{array}
\right)
$$
и эта матрица является ((:algebra2#единичная единичной)) на основании свойства базисных интерполяционных полиномов.
♦
Первоисточник этого результата мне не известен. Имеется в книге ((#источники [1])).
!!П!! **Пример.** Вычислить
$$
\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 3 \\
1 & 4 & 9
\end{array}
\right)^{-1} \, .
$$
**Решение.** Имеем:
$$ W(x)=(x-1)(x-2)(x-3) \ , $$
$$
\widetilde W_1(x)=\frac{(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)} = 3 -\frac{2}{5}x+\frac{1}{2}x^2,\
$$
$$
\widetilde W_2(x)=\frac{(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3)} = -3 +4\,x-x^2,\
$$
$$
\widetilde W_3(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)} = 1 -\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}x^2 \, .
$$
**Ответ.**
$$
\left(\begin{array}{ccc}
3 & -5/2 & 1/2 \\
-3 & 4 & -1 \\
1 & -3/2 & 1/2
\end{array}
\right) \, .
$$
!!?!! Доказать, что сумма всех строк матрицы $ \mathbf V^{-1} $ равна $ [1,0,0,\dots,0] $.
Следующая задача --- организовать параллелизацию вычисления коэффициентов базисных интерполяционных полиномов. С этой целью вычислим величины
$$
\xi_1=\frac{1}{W^{\prime}(x_1)},\dots, \xi_n=\frac{1}{W^{\prime}(x_n)} \, .
$$
и составим из них столбец
$$
\Xi_0=\left[\xi_1,\dots, \xi_n\right]^{\top} \, .
$$
Умножим его на столбец
$$
\Lambda=\left[x_1,\dots, x_n\right]^{\top} \ ,
$$
причем умножение векторов рассматривается ((:algebra2#умножение_матриц адамарово)), т.е. поэлементное
$$
\Xi_1= \Xi_0 \otimes \Lambda= \left[\xi_1 x_1 ,\dots, \xi_n x_n \right]^{\top} \ .
$$
Продолжив процесс умножения, сгененируем последовательность
$$
\Xi_0, \Xi_1=\Xi_0 \otimes \Lambda, \Xi_2=\Xi_1 \otimes \Lambda, \dots, \Xi_{n-1}=\Xi_{n-2} \otimes \Lambda, \dots, \Xi_{2n-2} = \Xi_{2n-3} \otimes \Lambda \ .
$$
На основании ((:interpolation#рекурсивное_вычисление_коэффициентов равенств Эйлера-Лагранжа)) сумма элементов любого из столбцов $ \Xi_0,\dots,\Xi_{n-2} $ равна $ 0_{} $, а сумма элементов столбца $ \Xi_{n-1} $ равна $ 1 $.
!!Т!! **Теорема**((#источники [2])). //Вычислим суммы элементов столбцов// $ \Xi_n, \Xi_{n+1},\dots, \Xi_{2n-2} $, //т.е. величины//
$$
\sigma_k = \sum_{j=1}^n \frac{x_j^{n+k-1}}{W^{\prime}(x_j)} , \quad k\in \{1,\dots,n-1\} \ .
$$
//Столбцы матрицы//
$$
\mathbf V^{-1}=\left[\mathbf V_{[1]}^{-1},\mathbf V_{[2]}^{-1},\dots, \mathbf V_{[n]}^{-1} \right]
$$
//связаны со столбцами// $ \Xi_0, \Xi_{1},\dots, \Xi_{n-1} $ //следующими рекурсивными соотношениями://
$$
\left\{
\begin{array}{lcl}
\mathbf V_{[n]}^{-1}&=&\Xi_0, \\
\mathbf V_{[n-1]}^{-1}&=&\Xi_1-\sigma_1 \mathbf V_{[n]}^{-1}, \\
\mathbf V_{[n-2]}^{-1}&=&\Xi_2-\sigma_1 \mathbf V_{[n-1]}^{-1} - \sigma_2 \mathbf V_{[n]}^{-1}, \\
\dots & & \dots \\
\mathbf V_{[1]}^{-1}&=&\Xi_{n-1}-\sigma_1 \mathbf V_{[2]}^{-1} - \sigma_2 V_{[3]}^{-1}- \dots - \sigma_{n-1} \mathbf V_{[n]}^{-1}.
\end{array}
\right.
$$
**Доказательство.** На основании ((:interpolation#рекурсивное_вычисление_коэффициентов равенств Эйлера-Лагранжа)) имеем
$$ \mathbf V\cdot \mathbf V_{[n]}^{-1}=\mathbf V\cdot \Xi_0=\left[\sum_{j=1}^n\frac{ 1}{W^{\prime}(x_j)},\ \sum_{j=1}^n\frac{ x_j}{W^{\prime}(x_j)},\dots, \sum_{j=1}^n\frac{ x_j^{n-1}}{W^{\prime}(x_j)} \right]^{\top}=
$$
$$
=
[0,0,\dots,0,1]^{\top} \, .
$$
Далее, на основании только что выведенного равенства, получаем:
$$ \mathbf V\cdot \mathbf V_{[n-1]}^{-1}=V\cdot \Xi_1-\sigma_1 \mathbf V \cdot \mathbf V_{[n]}^{-1} = [0,0,\dots,1,\sigma_1]^{\top} - \sigma_1 [0,0,\dots,0,1]^{\top} =
$$
$$
=[0,0,\dots,1,0]^{\top} \, . $$
Применением теперь уже двух полученных равенств, доказываем третье равенство из теоремы:
$$ \mathbf V\cdot \mathbf V_{[n-2]}^{-1}=V\cdot \Xi_2-\sigma_1 \mathbf V \cdot \mathbf V_{[n-1]}^{-1} - \sigma_2 \mathbf V \cdot \mathbf V_{[n]}^{-1} =
$$
$$
=[0,0,\dots,1,\sigma_1,\sigma_2]^{\top} - \sigma_1 [0,0,\dots,1,0]^{\top} - \sigma_2 [0,0,\dots,0,1]^{\top} = [0,0,\dots,1,0,0]^{\top} \, .
$$
И так далее.
♦
Для вещественных матриц Вандермонда, формулы из теоремы можно рассматривать как процесс ((:euclid_space#ортогонализация ортогонализации Грама-Шмидта)),
примененный к системе столбцов $ \{\Xi_0,\Xi_1,\dots,\Xi_{n-1}\} \subset \mathbb R^n $ при скалярном произведении в пространстве столбцов
$ \mathbb R^n $ заданном равенством
$$ \langle X,Y \rangle =X^{\top} (\mathbf V^{\top} \mathbf V) Y \quad \mbox{ при } \quad \forall \{X,Y\} \subset \mathbb R^n \, . $$
Подробности о величинах $ \sigma_k $ см.
☟
((#обобщенная_матрица_вандермонда НИЖЕ)).
!!П!! **Пример.** Для приведенного выше примера
$$
\mathbf V=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 3 \\
1 & 4 & 9
\end{array}
\right)
$$
имеем
$$ x_1=1,\ x_2=2,\ x_3=3,\ W^{\prime}(1)=2,\ W^{\prime}(2)=-1,\ W^{\prime}(3)=2 \, . $$
Запишем последовательность столбцов $ \Xi_0, \Xi_{1},\Xi_{2},\Xi_{3}, \Xi_{4} $ в виде матрицы
$$
\left[ \begin{array}{rrrrr}
1/2 & 1/2 & 1/2 & 1/2 & 1/2 \\
-1 & -2 & -4 & -8 & -16 \\
1/2 & 3/2 & 9/2 & 27/2 & 81/2
\end{array}
\right] \ .
$$
Суммируем элементы двух последних столбцов:
$$ \sigma_1=6, \ \sigma_2=25 $$
и применяем теорему:
$$
\begin{array}{lll}
V_{[3]}^{-1}&=&
\left[ \begin{array}{r}
1/2 \\
-1 \\
1/2
\end{array}
\right], \ \\
V_{[2]}^{-1}&=&
\left[ \begin{array}{r}
1/2 \\
-2 \\
3/2
\end{array}
\right]- 6 \left[ \begin{array}{r}
1/2 \\
-1 \\
1/2
\end{array}
\right]=
\left[ \begin{array}{r}
-5/2 \\
4 \\
-3/2
\end{array}
\right], \\
V_{[1]}^{-1}&=&
\left[ \begin{array}{rrrrr}
1/2 \\
-4 \\
9/2
\end{array}
\right] - 6\,
\left[ \begin{array}{r}
-5/2 \\
4 \\
-3/2
\end{array}
\right]-25\,
\left[ \begin{array}{r}
1/2 \\
-1 \\
1/2
\end{array}
\right]=
\left[ \begin{array}{r}
3\\
-3 \\
1
\end{array}
\right] \ .
\end{array}
$$
♦
!!Т!! **Теорема.** //Матрица обратная к матрице дискретного преобразования Фурье вычисляется по формуле//:
$$
F^{-1}=\frac{1}{n}\left[ \varepsilon_{-j}^{k} \right]_{j,k=0}^{n-1}=
$$
$$
=\left( \begin{array}{lllll}
1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\
1 & \varepsilon_{-1} & \varepsilon_{-1}^2 & \dots & \varepsilon_{-1}^{n-1} \\
1 & \varepsilon_{-2} & \varepsilon_{-2}^2 & \dots & \varepsilon_{-2}^{n-1} \\
1 & \varepsilon_{-3} & \varepsilon_{-3}^2 & \dots & \varepsilon_{-3}^{n-1} \\
\vdots & & & & \vdots \\
1 & \varepsilon_{-(n-1)} & \varepsilon_{-(n-1)}^{2} & \dots & \varepsilon_{-(n-1)}^{n-1}
\end{array}
\right)
\quad npu \quad \varepsilon_{-j} = \cos \frac{2 \pi j}{n} - {\mathbf i} \, \sin \frac{2 \pi j}{n}
$$
Основываясь на свойстве $ \varepsilon_{-j}=\varepsilon_{-1}^j=\overline{\varepsilon_1}^j $ (см.
☞
((:complex_num#корни_из_единицы ЗДЕСЬ)) ), матрицу часто записывают в эквивалентном виде
$$
F^{-1}=
\frac{1}{n}\left[ \overline{\varepsilon}^{jk} \right]_{j,k=0}^{n-1}=
$$
$$
=\frac{1}{n}
\left( \begin{array}{lllll}
1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\
1 & \overline{\varepsilon} & \overline{\varepsilon}^2 & \dots & \overline{\varepsilon}^{n-1} \\
1 & \overline{\varepsilon}^2 & \overline{\varepsilon}^4 & \dots & \overline{\varepsilon}^{2(n-1)} \\
1 & \overline{\varepsilon}^3 & \overline{\varepsilon}^6 & \dots & \overline{\varepsilon}^{3(n-1)} \\
\vdots & & & & \vdots \\
1 & \overline{\varepsilon}^{n-1} & \overline{\varepsilon}^{2(n-1)} & \dots & \overline{\varepsilon}^{(n-1)^2}
\end{array}
\right) \quad npu \quad \overline{\varepsilon} = \cos \frac{2 \pi}{n} - {\mathbf i} \, \sin \frac{2 \pi}{n} \ .
$$
Образно говоря: обращение матрицы $ F_{} $ сводится к сопряжению каждого ее элемента и делению его на порядок матрицы.
**Доказательство**
☞
((:algebra2:fourier ЗДЕСЬ)).
===Ядро==
((:mapping#matrica_linejnogo_otobrazhenija Ядро)) матрицы
$$
\mathbf V_{m,n}(x_1, x_2,\ldots,x_n) =
\left(
\begin{array}{llll}
1& 1& \ldots& 1\\
x_1& x_2& \ldots& x_n\\
x_1^2& x_2^2& \ldots& x_n^2\\
\vdots& \vdots& & \vdots \\
x_1^{m-1}& x_2^{m-1}& \ldots& x_n^{m-1}
\end{array}
\right)_{m\times n}
$$
при $ m
☞