!!§!! Вспомогательная страница к разделу
☞
((algebra2:symmetric#диагонализуемость СИММЕТРИЧНАЯ МАТРИЦА))
----
!!Т!! **Теорема.** //Существует ортогональная матрица// $ P_{} $, //приводящая симметричную матрицу// $ A_{} $ //к диагональному виду//:
$$
P^{-1}AP=P^{^{\top}}AP=
\left( \begin{array}{cccc}
\lambda_1 & & & \mathbb O \\
& \lambda_2 & & \\
&& \ddots & \\
\mathbb O&& & \lambda_n
\end{array}
\right).
$$
**Доказательство** особенно просто в случае когда все собственные числа $ \lambda_1,\dots, \lambda_n $ различны. На основании ((:algebra2:symmetric#характеристический_полином_собственные_числа_собственные_векторы теоремы 1)) матрица
$ A_{} $ диагонализуема над множеством вещественных чисел и на основании ((:algebra2:symmetric#характеристический_полином_собственные_числа_собственные_векторы теоремы 2))
матрица $ P $, приводящая к диагональному виду, может быть выбрана ортогональной.
Для общего случая доказательство производится индукцией по порядку $ n $ матрицы $ A $. При $ n=1 $ утверждение тривиально. Пусть оно справедливо для любой симметричной матрицы порядка $ n-1 $. По ((:algebra2:symmetric#характеристический_полином_собственные_числа_собственные_векторы теореме 1)) у матрицы
$ A $ существует хотя бы одно собственное число $ \lambda_1 \in \mathbb R $,
и ему соответствует хотя бы один собственный вектор-столбец $ {\mathfrak X}_1 \in \mathbb R^n $:
$$ A {\mathfrak X}_1 =\lambda_1 {\mathfrak X}_1 \quad \iff \quad {\mathfrak X}_1^{\top} A^{\top} = \lambda_1 {\mathfrak X}_1^{\top} \, . $$
Будем считать этот вектор нормированным $ |{\mathfrak X}_1|=1 $. Рассмотрим произвольную ортогональную матрицу
$$Q= \left[ {\mathfrak X}_1,Q_2,\dots,Q_n \right] \ , \quad
\langle {\mathfrak X}_1,Q_2 \rangle=0, \dots , \langle {\mathfrak X}_1,Q_n \rangle=0, \quad
\langle Q_j,Q_k \rangle=\delta_{jk} \ , $$
дополнив $ {\mathfrak X}_1 $ до ортонормированного базиса $ \mathbb R^n $. Имеем:
$$
Q^{^{\top}} A Q =
\left[
\begin{array}{c} {\mathfrak X}_1^{^{\top}} \\ Q_2^{^{\top}} \\ \vdots \\ Q_n^{^{\top}}
\end{array}
\right]A \left[ {\mathfrak X}_1,Q_2,\dots,Q_n \right]=
\left[
\begin{array}{c} {\mathfrak X}_1^{^{\top}} \\ Q_2^{^{\top}} \\ \vdots \\ Q_n^{^{\top}}
\end{array}
\right]
\left[A{\mathfrak X}_1,AQ_2,\dots,AQ_n \right]=
$$
$$
=
\left[
\begin{array}{c} {\mathfrak X}_1^{^{\top}} \\ Q_2^{^{\top}} \\ \vdots \\ Q_n^{^{\top}}
\end{array}
\right]\left[\lambda_1 {\mathfrak X}_1,AQ_2,\dots,AQ_n \right]=
\left[
\begin{array}{cccc}
\lambda_1 {\mathfrak X}_1^{^{\top}}{\mathfrak X}_1 & {\mathfrak X}_1^{^{\top}} AQ_2 & \dots & {\mathfrak X}_1^{^{\top}} AQ_n \\
\lambda_1 Q_2^{^{\top}}{\mathfrak X}_1 & Q_2^{^{\top}} AQ_2 & \dots & Q_2^{^{\top}} AQ_n \\
\dots &&& \dots \\
\lambda_1 Q_n^{^{\top}}{\mathfrak X}_1 & Q_n^{^{\top}} AQ_2 & \dots & Q_n^{^{\top}} AQ_n
\end{array}
\right]=
$$
$$
=
\left(
\begin{array}{cl}
\begin{array}{l}
\lambda_1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0
\end{array} &
\begin{array}{c}
0 \quad \dots \quad 0 \\
\left[ \begin{array}{c}
\\
\quad \widetilde A \quad \\
\\
\end{array}
\right]
\end{array}
\end{array}
\right)
\qquad npu \ \widetilde A=
\left[
\begin{array}{ccc}
Q_2^{^{\top}} AQ_2 & \dots & Q_2^{^{\top}} AQ_n \\
\dots && \dots \\
Q_n^{^{\top}} AQ_2 & \dots & Q_n^{^{\top}} AQ_n
\end{array}
\right]
$$
--- симметричной матрице порядка $ n-1 $.
Очевидно, что $ \det \, (A-\lambda \, E) \equiv (\lambda_1 - \lambda)
\det \, (\widetilde A-\lambda \, E) $ и спектр матрицы
$ \widetilde{ A} $ получается из спектра $ A $ отбрасыванием собственного
числа $ \lambda_1 $. По индукционному предположению для матрицы
$ \widetilde{A} $ существует ортогональная матрица
$ \widetilde Q_{(n-1)\times (n-1)} $,
приводящая ее к диагональному виду:
$${\widetilde Q}^{^{\top}} \widetilde{A} {\widetilde Q}=
\left( \begin{array}{ccc}
\lambda_2 & & \mathbb O \\
& \ddots & \\
\mathbb O& & \lambda_n
\end{array}
\right)_{(n-1) \times (n-1)} \ .
$$
Но тогда матрица
$$Q_1 =
\left(
\begin{array}{cl}
\begin{array}{l}
1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0
\end{array} &
\begin{array}{c}
0 \quad \dots \quad 0 \\
\left[ \begin{array}{c}
\\
\quad \widetilde{Q} \quad \\
\\
\end{array}
\right]
\end{array}
\end{array}
\right)
$$
тоже ортогональная и
$$Q_1^{^{\top}}
\left(
\begin{array}{cc}
\begin{array}{l}
\lambda_1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0
\end{array} &
\begin{array}{c}
0 \quad \dots \quad 0 \\
\left[ \begin{array}{ccc}
& & \\
& \widetilde{A} & \\
& &
\end{array}
\right]
\end{array}
\end{array}
\right)Q_1=
\left( \begin{array}{cccc}
\lambda_1 & & & \mathbb O \\
& \lambda_2 & & \\
&& \ddots & \\
\mathbb O&& & \lambda_n
\end{array}
\right).
$$
Матрица $ P=QQ_1 $ является искомой матрицей из теоремы. Она будет ортогональной как ((algebra2/ort_matrix#proizvedenie произведение двух ортогональных матриц)).
♦
==Источники==
**Фаддеев Д.К.** //Лекции по алгебре.// М.Наука.1984