!!§!! Вспомогательная страница к разделу ((:algebra2:symmetric СИММЕТРИЧНАЯ МАТРИЦА))
----
==Теоремы Коши о спектре симметричной матрицы==
В настоящем пункте $ n_{+} (A) $ и $ n_{-} (A) $ означают положительный и отрицательный ((:2form#zakon_inercii индексы инерции)) квадратичной формы
$$ X^{\top} A X, \ X^{\top}=(x_1,\dots,x_n) $$
с симметричной матрицей $ A \in \mathbb R^{n \times n} $.
!!Т!! **Теорема 1**. //Если все ((:algebra2/dets#minory_i_algebraicheskie_dopolnenija главные миноры))//
$$ A_1,A_2,\dots,A_{n} $$
//симметричной матрицы// $ A \in \mathbb R^{n \times n} $ //отличны от нуля, то
число положительных собственных чисел матрицы// $ A_{} $ //равно числу ((:algebra2:notations#число_знакопостоянств_знакоперемен знакопостоянств)), а число отрицательных собственных чисел --- числу ((:algebra2:notations#число_знакопостоянств_знакоперемен знакоперемен)) в ряду// $ 1,A_1,\dots,A_n $:
$$ \operatorname{nrr} \{ \det (A-\lambda E) =0 \ | \ \lambda>0 \} = {\mathcal P}(1,A_1,\dots,A_n),
$$
$$
\operatorname{nrr} \{ \det (A-\lambda E) =0 \ | \ \lambda<0 \}={\mathcal V}(1,A_1,\dots,A_n) \ .
$$
**Доказательство** следует из закона инерции квадратичных форм. Положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы $ X^{\top} A X $ можно вычислять двумя способами. Первый основан на способе Лагранжа приведения этой формы к каноническому виду и является следствием ((:2form#zakon_inercii теоремы Якоби)). Второй же основан на приводимости $ X^{\top} A X $ к каноническому виду
((:2form#privedenie_kvadratichnoj_formy_k_kanonicheskomu_vidu_s_pomoschju_ortogonalnoj_zameny_peremennyx посредством ортогонального преобразования)). Индексы инерции не зависят от способа приведения квадратичной формы к каноническому виду.
♦
!!Т!! **Теорема 2 [Коши].**
//Для симметричной матрицы// $ A \in \mathbb R^{n \times n} $ //число ее собственных чисел, лежащих на интервале// $ ]a,b_{}[ $, //определяется по формуле://
$$\operatorname{nrr} \{ \det (A-\lambda E) =0 \ | \ a< \lambdat \right\} =
$$
делаем подстановку $ \lambda=\mu +t $:
$$
\operatorname{nrr} \left\{ \widetilde{f}(\mu):=
f(\mu +t)=0 \ \big| \ \mu >0 \right\} \enspace . $$
Полином $\widetilde{f}(\mu)$ --- характеристический для матрицы
$ A-t\, E$ поскольку
$$\det \left((A-t \, E) - \mu \, E \right) =
\det \left({\bf A}-(t + \mu) \, E \right)=f(\mu +t)=\widetilde{f}(\mu)
\enspace .$$
На основании теоремы 1
$$ \operatorname{nrr} \left\{ \widetilde{f}(\mu)=0 \ \big| \ \mu >0 \right\}=n_{+}
(A-t \, E)={\mathcal P}\left(1,H_1(t),H_2(t),\dots, H_n(t)
\right)
$$
и тогда
$$
\operatorname{nrr} \left\{ f(\lambda)=0 \ \big| \ \lambda >a \right\}
={\mathcal P}\left(1,H_1(a),H_2(a),\dots, H_n(a) \right) \ ,
$$
$$
\operatorname{nrr} \left\{ f(\lambda)=0 \ \big| \ \lambda >b \right\} =
{\mathcal P}\left(1,H_1(b),H_2(b),\dots, H_n(b) \right) \ .
$$
Разность двух последних чисел даст требуемое
$ \operatorname{nrr}\left\{ f(\lambda)=0 \ \big| \ a< \lambda
♦