==Симметричная матрица==
В настоящем разделе симметричная матрица предполагается вещественной; ее порядок обозначен $ n $.
~~TOC~~
Матрица имеет вид
$$
A=\left( \begin{array}{ccccc}
a_{11} & \color{Red}a_{12} & \color{Blue}a_{13} & \dots & \color{Green}a_{1n} \\
\color{Red}a_{12} & a_{22} & \color{Grey}a_{23} & \dots & \color{Cyan}a_{2n} \\
\color{Blue}a_{13} & \color{Grey}a_{23} & a_{33} & \dots & a_{3n} \\
\vdots & & & \ddots & \vdots \\
\color{Green}a_{1n} & \color{Cyan}a_{2n} & a_{3n} & \dots & a_{nn}
\end{array}
\right) ;
$$
характеризуется свойством
$$ A^{\top}=A \ . $$
Для задания симметричной матрицы порядка $ n_{} $ необходимо, в общем случае, задать $ C_n^2=n(n-1)/2 $ ее элементов --- стоящих на главной диагонали и выше ее (или ниже).
!!Т!!** Теорема.** //Для __любой__ матрицы// $ A_{} $ //матрицы// $ A_{}A^{\top} $ // и// $ A^{\top} A $ --- //симметричны//.
//Для __любой квадратной__ матрицы// $ A_{} $ //матрица// $ A_{}+A^{\top} $ --- //симметрична//.
===Определитель==
Распишем полное разложение определителя симметричной матрицы с символьными (буквенными) элементами:
$$
\det A_{3\times 3} = a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}^2-a_{12}^2a_{33}+2\,a_{12}a_{13}a_{23}-a_{13}^2a_{22} \ ;
$$
$$
\det A_{4\times 4} = a_{11}a_{22}a_{33}a_{44}-a_{11}a_{22}a_{34}^2-a_{11}a_{23}^2a_{44}+2\,a_{11}a_{23}a_{24}a_{34}-
$$
$$
-a_{11}a_{24}^2a_{33}-a_{12}^2a_{33}a_{44}+a_{12}^2a_{34}^2+2\,a_{12}a_{13}a_{23}a_{44}-2\,a_{12}a_{23}a_{14}a_{34}-
$$
$$
-2\,a_{12}a_{24}a_{13}a_{34}+2\,a_{12}a_{24}a_{14}a_{33}-a_{22}a_{13}^2a_{44}+2\,a_{13}a_{22}a_{14}a_{34}+
$$
$$
+a_{13}^2a_{24}^2-2\,a_{13}a_{24}a_{14}a_{23}-a_{22}a_{14}^2a_{33}+a_{14}^2a_{23}^2 \ .
$$
!!Т!! **Теорема [Кэли].** //В полном разложении определителя симметричной матрицы порядка// $ n $ //обозначим// $ \mathfrak s_n $// число слагаемых//, $ \mathfrak s_n^{(+)} $ ---// число слагаемых
с положительным знаком//, $ \mathfrak s_n^{(-)} $ --- //число слагаемых с отрицательным знаком, а// $ \mathfrak d_n =\mathfrak s_n^{(+)} - \mathfrak s_n^{(-)} $. //Имеют место соотношения://
$$ \mathfrak s_{n+1}=(n+1)\mathfrak s_n- C_n^2 \mathfrak s_{n-2} \ ; $$
$$ \mathfrak d_{n+1}=-(n-1)\mathfrak d_n- C_n^2 \mathfrak d_{n-2} \ . $$
!!=>!! Имеют место пределы:
$$ \lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt{n} \mathfrak s_n }{n!} = \frac{e^{4/3}}{\sqrt{\pi}} \ ;\ \lim_{n\to \infty} \frac{(-1)^{n-1}\sqrt{n^3} \mathfrak d_n }{n!} = \frac{e^{-4/3}}{2\,\sqrt{\pi}} \ . $$
====Миноры: тождества Кронекера==
!!Т!! **Теорема [Кронекер].** //Для симметричной матрицы// $ A_{} $ //порядка// $ n \ge k+1 $ //имеет место тождество//
$$
A\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & \dots & k-2 & k \\
2 & 3 & \dots & k-1 & k+1
\end{array}
\right)-
A\left(\begin{array}{ccccc}
2 & 3 & \dots & k-1 & k \\
1 & 2 & \dots & k-2 & k+1
\end{array}
\right)=
$$
$$
= A\left(\begin{array}{cccccc}
1 & 2 & \dots & k-3 & k-2 & k-1 \\
2 & 3 & \dots & k-2 & k & k+1
\end{array}
\right) \ ,
$$
//связывающее три ее минора порядка// $ k-1 $.
!!П!! **Пример.** Для $ k=4 $:
$$ A\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 4 \\
2 & 3 & 5
\end{array}
\right)-
A\left(\begin{array}{ccc}
2 & 3 & 4 \\
1 & 2 & 5
\end{array}
\right)=
A\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
2 & 4 & 5
\end{array}
\right)
$$
$$
\iff \
\left| \begin{array}{lll}
a_{12} & a_{13} & a_{15} \\
a_{22} & a_{23} & a_{25} \\
a_{24} & a_{34} & a_{45}
\end{array}
\right|-
\left| \begin{array}{lll}
a_{12} & a_{22} & a_{25} \\
a_{13} & a_{23} & a_{35} \\
a_{14} & a_{24} & a_{45}
\end{array}
\right|=
\left| \begin{array}{lll}
a_{12} & a_{14} & a_{15} \\
a_{22} & a_{24} & a_{25} \\
a_{23} & a_{34} & a_{35}
\end{array}
\right| \ .
$$
===Ранг==
В настоящем разделе минор матрицы $ A $
$$
A\left(
\begin{array}{lll}
j_1 & \dots & j_k \\
j_1 & \dots & j_k
\end{array}
\right) =
\left|\begin{array}{cccc}
a_{j_1j_1} & a_{j_1j_2} & \dots & a_{j_1j_k} \\
a_{j_2j_1} & a_{j_2j_2} & \dots & a_{j_2j_k} \\
\vdots & & \ddots & \vdots \\
a_{j_kj_1} & a_{j_kj_2} & \dots & a_{j_kj_k}
\end{array}
\right|
, \quad 1\le j_1
См. замечание о терминологии
☞
((:algebra2:dets#миноры_и_алгебраические_дополнения ЗДЕСЬ)).
!!Т!! **Теорема.** //Если// $ \mathfrak r = \operatorname{rank} (A)\ge 1 $, //то в матрице// $ A $ //существует ненулевой ведущий минор порядка// $ \mathfrak r $.
===Произведение==
Произведение симметричных матриц --- не обязательно симметричная матрица!
!!T!! **Теорема.** //Для того, чтобы произведение симметричных матриц// $ A $ //и// $ B $ //было симметричной матрицей необходимо и достаточно, чтобы матрицы //
$ A $ и $ B $ //коммутировали:// $ AB = BA $.
===Обратная матрица==
!!Т!! **Теорема.** //Обратная к симметричной матрице (если существует) является симметричной матрицей.//
===Характеристический полином, собственные числа, собственные векторы==
!!Т!!** Теорема 1.** //Все собственные числа симметричной матрицы вещественны.//
**Доказательство**
☞
((:algebra2:charpoly:symm ЗДЕСЬ)).
!!=>!! Если $ \lambda=0 $ корень кратности $ \mathfrak m $ ((:algebra2:charpoly#характеристический_полином характеристического полинома)) симметричной матрицы $ A $, т.е.
$$ \det (A-\lambda E)\equiv(-1)^n \lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+\dots+a_{n-\mathfrak m} \lambda^{\mathfrak m} \quad npu \ a_{n-\mathfrak m}\ne 0 $$
то $ \operatorname{rank} (A)=n-\mathfrak m $.
!!=>!! Если в характеристическом полиноме некоторый коэффициент $ a_j $ при $ j \not\in \{0,n\} $ обращается в нуль, то соседние с ним в нуль не обращаются и имеют различные знаки:
$ a_{j-1} a_{j+1} < 0 $.
!!Т!! **Теорема 2.** //Собственные векторы, принадлежащие различным собственным числам симметричной матрицы// $ A_{} $, //ортогональны, т.е. если// $ \mathfrak X_1 $ //принадлежит собственному числу// $ \lambda_{1} $,// а// $ \mathfrak X_2 $ //принадлежит собственному числу// $ \lambda_{2} $// и// $ \lambda_1 \ne \lambda_2 $, //то//
$$ {\mathfrak X}_2^{^{\top}} {\mathfrak X}_1 =0 \ . $$
**Доказательство.** Если $ {\mathbf A}{\mathfrak X}_1=\lambda_1 {\mathfrak X}_1,
{\mathbf A}{\mathfrak X}_2=\lambda_2 {\mathfrak X}_2 $
и $ \lambda_1 \ne \lambda_2 $, то
$$
a= {\mathfrak X}_2^{^{\top}} {\mathbf A}{\mathfrak X}_1 =\left\{\begin{array}{ll} {\mathfrak X}_2^{^{\top}} \lambda_1 {\mathfrak X}_1
& =\lambda_1{\mathfrak X}_2^{^{\top}} {\mathfrak X}_1 ;\\
{\mathfrak X}_2^{^{\top}} {\mathbf A}^{^{\top}}{\mathfrak X}_1
=({\mathbf A}{\mathfrak X}_2)^{^{\top}} {\mathfrak X}_1 &
=\lambda_2{\mathfrak X}_2^{^{\top}} {\mathfrak X}_1. \end{array} \right.
$$
Тогда
$$ 0=a-a=(\lambda_1 - \lambda_2){\mathfrak X}_2^{^{\top}} {\mathfrak X}_1 \ \Rightarrow
\ {\mathfrak X}_2^{^{\top}} {\mathfrak X}_1=0 , $$
т.е. $ {\mathfrak X}_1 \bot {\mathfrak X}_2 $.
♦
====Локализация собственных чисел==
!!Т!! **Теорема 3 [Коши].**
//Для симметричной матрицы// $ A_{} $ //число ее собственных чисел, лежащих на интервале// $ ]a,b_{}[ $, //определяется по формуле://
$$\operatorname{nrr} \{ \det (A-\lambda E) =0 \ | \ a< \lambda
☞