!!Т!! **Теорема.** //Упорядочим сингулярные числа матрицы// $ A\in \mathbb R^{m\times n} $ по невозрастанию:

$$ \sigma_1 \ge  \sigma_2 \ge \dots \ge \sigma_{\operatorname{rank}(A)} >0 \, .  $$
//Матрицей//
$ \widetilde A \in \mathbb R^{m\times n} $ ранга $ \mathfrak r   , 0<\mathfrak r \le \operatorname{rank}(A)  $, //наилучшим образом  приближающей// $ A $ //в ((:norm_space#норма_матрицы евклидовой норме (норме Фробениуса)))//:
$$
\min_{\widetilde A\in \mathbb R^{m\times n}, \operatorname{rank} (\widetilde A)=  \mathfrak r}  \| A- \widetilde A\| \, ,
$$
//является матрица// 
$$
A_{\mathfrak r}=\sum_{j=1}^{\mathfrak r} \sigma_j M_j(A) \quad \mbox{при} \ \{M_j(A):= U_{[j]} V_{[j]}^{\top} \} \, . 
$$
//При такой матрице// $ \widetilde A $ //величина указанного минимума равна// 
$$ 
 \sqrt{\sum_{j=\mathfrak r+1}^{\operatorname{rank}(A)} \sigma_j^2} \, .
$$

**Доказательство.**
$$
\|A-A_{\mathfrak r}\|=\|\sum_{j=\mathfrak r+1}^{\operatorname{rank}(A)} \sigma_j M_j(A) \| = 
\sqrt{\sum_{j=\mathfrak r+1}^{\operatorname{rank}(A)} \sigma_j^2}
$$
поскольку система матриц $ \{M_j(A)\} $ ортонормирована.