!!§!! Вспомогательная страница к разделу
☞
((algebra2:rank#метод_окаймляющих_миноров РАНГ МАТРИЦЫ))
----
== Метод окаймляющих миноров вычисления ранга матрицы: обоснование ==
!!Т!! **Теорема [Кронекер].** //Если матрица// $ A_{} $ //имеет некоторый минор порядка// $ \mathfrak r $ о//тличным от нуля, а все окаймляющие этот минор миноры порядка//
$ \mathfrak r+1 $ //равны нулю, то// $ \operatorname{rank} (A) =\mathfrak{r} $.
**Доказательство**
I
.
Докажем сначала, что если матрица
$$
A=\left(
\begin{array}{llcl}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
\dots &&& \dots \\
a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn}
\end{array}
\right)_{m\times n}
$$
имеет минор порядка $ \mathfrak{r}_{} $, отличный от нуля, для которого все окаймляющие его миноры порядка $ \mathfrak{r}+1 $ равны нулю, то ((:algebra2:rank#ранг_системы_строк_столбцов ранг системы ее столбцов)) равен $ \mathfrak{r}_{} $, и ранг системы ее строк равен $ \mathfrak{r}_{} $.
Предположим сначала, что $ \mathfrak r<\min \{m,n\} $. Для определенности также предположим, что отличен от нуля минор, стоящий в левом верхнем углу матрицы:
$$\Delta = A\left( \begin{array}{llll}
1 & 2 & \dots & \mathfrak{r} \\
1 & 2 & \dots & \mathfrak{r}
\end{array}
\right)=
\left|
\begin{array}{llcl}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 \mathfrak{r}} \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 \mathfrak{r}} \\
\dots &&& \dots \\
a_{\mathfrak{r} 1} & a_{\mathfrak{r} 2} & \dots & a_{\mathfrak{r} \mathfrak{r}}
\end{array}
\right| \ne 0 \ .$$
Тогда столбцы матрицы $ A_{[1]},\dots, A_{[\mathfrak r]} $ линейно независимы. Действительно, если предположить, что
$$ \alpha_1 A_{[1]}+\dots+ \alpha_{\mathfrak r} A_{[\mathfrak r]}=\mathbb O_{m\times 1} $$
при каком-то $ \alpha_j \ne 0 $, то это же соотношение должно выполняться и для столбцов определителя $ \Delta $:
$$ \alpha_1 \left(\begin{array}{l} a_{11} \\ \vdots \\ a_{\mathfrak r 1} \end{array} \right)+\dots+ \alpha_{\mathfrak r} \left(\begin{array}{l} a_{1 \mathfrak r} \\ \vdots \\ a_{\mathfrak r \mathfrak r } \end{array} \right)=\mathbb O_{\mathfrak r \times 1} \ \iff \
\left(\begin{array}{llcl}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 \mathfrak{r}} \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 \mathfrak{r}} \\
\dots &&& \dots \\
a_{\mathfrak{r} 1} & a_{\mathfrak{r} 2} & \dots & a_{\mathfrak{r} \mathfrak{r}}
\end{array}
\right) \left(\begin{array}{l}
\alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_{\mathfrak r}
\end{array} \right) = \mathbb O
\, . $$
Cистема линейных уравнений относительно $ \alpha_1, \dots, \alpha_{\mathfrak r} $ имеет ненулевой определитель. Следовательно, на основании ((:algebra2/linearsystems/cramert теоремы Крамера)), у нее существует единственное решение, задаваемое нулевым набором
$$ \alpha_1 =0, \dots, \alpha_{\mathfrak r}=0 \, . $$
Это противоречит гипотезе $ \alpha_j \ne 0 $.
Пусть равны нулю все миноры порядка $ \mathfrak{r}+1 $, окаймляющие $ \Delta $. Покажем, что любой столбец $ A_{[q]} $ матрицы при $ q\in \{\mathfrak{r}+1, \dots, n \} $ линейно выражается через $ A_{[1]},\dots, A_{[\mathfrak r]} $. Иными словами, существует решение у системы уравнений.
$$
\left\{ \begin{array}{crl}
a_{11}x_1+\dots+a_{1\mathfrak{r}}x_{\mathfrak{r}}&=&a_{1q}, \\
\dots & & \dots \\
a_{\mathfrak{r}1}x_1+\dots+a_{\mathfrak{r}\mathfrak{r}}x_{\mathfrak{r}}
&=&a_{\mathfrak{r}q}, \\
a_{\mathfrak{r}+1,1}x_1+\dots+a_{\mathfrak{r}+1,\mathfrak{r}}x_{\mathfrak{r}}
&=&a_{\mathfrak{r}+1,q}, \\
\dots & & \dots \\
a_{m1}x_1+\dots+a_{m\mathfrak{r}}x_{\mathfrak{r}}
&=&a_{mq}.
\end{array}
\right.
$$
Рассмотрим сначала подсистему этой системы, состоящую из первых $ \mathfrak r $ уравнений:
$$
\left\{ \begin{array}{crr}
a_{11}x_1+\dots+a_{1\mathfrak{r}}x_{\mathfrak{r}}&=&a_{1q}, \\
\dots & & \dots \\
a_{\mathfrak{r}1}x_1+\dots+a_{\mathfrak{r}\mathfrak{r}}x_{\mathfrak{r}}
&=&a_{\mathfrak{r}q} \, .
\end{array}
\right.
$$
Эта подсистема совместна и имеет единственное решение поскольку определитель матрицы, состоящей из коэффициентов левых частей, по условию, отличен от нуля. Это решение выписывается с помощью ((:algebra2/linearsystems/cramert формул Крамера)) в виде
$$
x_1=\frac{\left| \begin{array}{llll}
a_{1q}& a_{12} & \dots & a_{1\mathfrak{r}} \\
a_{2q} & a_{22} & \dots & a_{2\mathfrak{r}} \\
\vdots & & & \vdots \\
a_{\mathfrak{r}q} & a_{2q} & \dots & a_{\mathfrak{r}\mathfrak{r}}
\end{array}
\right|}{\Delta}, \
x_2=\frac{\left| \begin{array}{llll}
a_{11}& a_{1q} & \dots & a_{1\mathfrak{r}} \\
a_{21} & a_{2q} & \dots & a_{2\mathfrak{r}} \\
\vdots & & & \vdots \\
a_{\mathfrak{r}1} & a_{\mathfrak{r}q} & \dots & a_{\mathfrak{r}\mathfrak{r}}
\end{array}
\right|}{\Delta},\dots, x_{\mathfrak{r}}=
\frac{\left| \begin{array}{llll}
a_{11}& a_{12} & \dots & a_{1q} \\
a_{21} & a_{22} & & a_{2q} \\
\vdots & & & \vdots \\
a_{\mathfrak{r}1} & a_{\mathfrak{r}2} & \dots & a_{\mathfrak{r}q}
\end{array}
\right|}{\Delta}\ .
$$
Докажем, что этот же набор удовлетворяет и оставшимся уравнениям исходной системы, т.е.
$$ a_{s1}x_1+\dots+a_{s\mathfrak{r}}x_{\mathfrak{r}} =a_{sq} \ \quad npu \quad \forall s \in \{ \mathfrak r+1,\dots, m \} \ .
$$
Подставляем выражения для $ x_1,\dots, x_{\mathfrak r} $ и домножаем на $ \Delta $:
$$ a_{sq} \Delta-a_{s\mathfrak r}
\left| \begin{array}{lllll}
a_{11}& a_{12} & \dots & a_{1,\mathfrak{r}-1} & a_{1q} \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2,\mathfrak{r}-1} & a_{2q} \\
\vdots & & & \vdots \\
a_{\mathfrak{r}1} & a_{\mathfrak{r}2} & \dots & a_{\mathfrak{r},\mathfrak{r}-1} & a_{\mathfrak{r}q}
\end{array}
\right|-
a_{s,\mathfrak r-1}
\left| \begin{array}{llll}
a_{11}& \dots & a_{1q} & a_{1\mathfrak{r}} \\
a_{21} & \dots & a_{2q} & a_{2\mathfrak{r}} \\
\vdots & & & \vdots \\
a_{\mathfrak{r}1} & \dots & a_{\mathfrak{r}q} & a_{\mathfrak{r}\mathfrak{r}}
\end{array}
\right|-
$$
$$
- \dots- a_{s1}\left| \begin{array}{llll}
a_{1q}& a_{12} & \dots & a_{1\mathfrak{r}} \\
a_{2q} & a_{22} & \dots & a_{2\mathfrak{r}} \\
\vdots & & & \vdots \\
a_{\mathfrak{r}q} & a_{2q} & \dots & a_{\mathfrak{r}\mathfrak{r}}
\end{array}
\right| \ .
$$
Нужно доказать, что получившееся выражение равно $ 0_{} $.
Переставив столбец $ [ a_{1q},a_{2q},\dots,a_{\mathfrak{r}q} ]^{\top} $ в конец каждого определителя (последовательными перестановками с соседними правыми столбцами, чтобы не менять порядок следования остальных столбцов), убеждаемся, что это выражение представляет собой ((:algebra2:dets:minors разложение определителя))
$$
\left| \begin{array}{llll}
a_{11}& \dots & a_{1\mathfrak{r}} & a_{1q} \\
a_{21}& \dots & a_{2\mathfrak{r}} & a_{2q} \\
\vdots & & & \vdots \\
a_{\mathfrak{r}1} & \dots & a_{\mathfrak{r}\mathfrak{r}} & a_{\mathfrak{r}q} \\
a_{s1} & \dots & a_{s\mathfrak{r}} & a_{sq}
\end{array}
\right|
$$
по последней строке. Этот определитель равен $ 0_{} $ по предположению.
Поскольку предшествующие рассуждения были справедливы для любого значения $ s \in \{ \mathfrak r+1,\dots, m \} $, то утверждаем, что полученными значениями переменных $ x_1,\dots,x_{\mathfrak{r}} $ удовлетворяется любое уравнение системы
$$
\left\{ \begin{array}{crl}
a_{11}x_1+\dots+a_{1\mathfrak{r}}x_{\mathfrak{r}}&=&a_{1q}, \\
\dots & & \dots \\
a_{\mathfrak{r}1}x_1+\dots+a_{\mathfrak{r}\mathfrak{r}}x_{\mathfrak{r}}
&=&a_{\mathfrak{r}q}, \\
a_{\mathfrak{r}+1,1}x_1+\dots+a_{\mathfrak{r}+1,\mathfrak{r}}x_{\mathfrak{r}}
&=&a_{\mathfrak{r}+1,q}, \\
\dots & & \dots \\
a_{m1}x_1+\dots+a_{m\mathfrak{r}}x_{\mathfrak{r}}
&=&a_{mq}.
\end{array}
\right.
$$
Но это означает, что $ q_{} $-й столбец матрицы $ A_{} $ является линейной комбинацией первых $ \mathfrak{r} $ столбцов этой матрицы. Поскольку это утверждение справедливо для любого значения $ q \in \{ \mathfrak r+1,\dots, n \} $, то заключаем (теорема $ 3 $
☞
((:algebra2:rank#ранг_системы_строк_столбцов ЗДЕСЬ))) , что ранг системы столбцов матрицы $ A_{} $ равен $ \mathfrak r_{} $ и для этой системы подсистема $ \{A_{[1]},\dots, A_{[\mathfrak r]} \} $ является базисной.
Докажем теперь, что любой минор матрицы $ A $ порядка $ \mathfrak r+1 $ равен нулю. Возьмем минор, стоящий в
строках матрицы $ A $ с номерами $ \alpha_{1} < \dots < \alpha_{\mathfrak r} < \alpha_{\mathfrak r +1 } $ и в
столбцах матрицы с номерами $ \beta_{1} < \dots < \beta_{\mathfrak r}
< \beta_{\mathfrak r +1 } $:
$$
\Delta^{\prime}=\left| \begin{array}{llll}
a_{\alpha_1 \beta_1}& \dots & a_{\alpha_1 \beta_{\mathfrak r}} & a_{\alpha_1 \beta_{\mathfrak r+1}} \\
\vdots & & & \vdots \\
a_{\alpha_{\mathfrak r} \beta_1}& \dots & a_{\alpha_{\mathfrak r} \beta_{\mathfrak r}} & a_{\alpha_{\mathfrak r} \beta_{\mathfrak r+1}} \\
a_{\alpha_{\mathfrak r+1} \beta_1}& \dots & a_{\alpha_{\mathfrak r+1} \beta_{\mathfrak r}} & a_{\alpha_{\mathfrak r+1} \beta_{\mathfrak r+1}}
\end{array}
\right| \, .
$$
Обозначим $ j $-й столбец матрицы $ A $, в котором оставлены только элементы из указанных строк, через $ A_{[j]}^{\prime} $:
$$
A_{[j]}^{\prime} = \left(\begin{array}{l} a_{\alpha_1 j} \\ \vdots \\ a_{\alpha_{\mathfrak r} j} \\ a_{\alpha_{\mathfrak r+1} j} \end{array} \right) \, .
$$
Тогда
$$
\Delta^{\prime}=\det [ A_{[\beta_1]}^{\prime},\dots, A_{[\beta_{\mathfrak r+1}]}^{\prime} ]
$$
и столбцы этого определителя линейно выражаются через $ \{A_{[1]}^{\prime},\dots, A_{[\mathfrak r]}^{\prime} \} $:
$$
\begin{array}{lll}
A_{[\beta_1]}^{\prime}&=& \alpha_{11} A_{[1]}^{\prime}+ \dots + \alpha_{1\mathfrak r} A_{[\mathfrak r]}^{\prime}, \\
\dots & & \dots, \\
A_{[\beta_{\mathfrak r+1}]}^{\prime}&=& \alpha_{\mathfrak r+1,1} A_{[1]}^{\prime}+ \dots + \alpha_{\mathfrak r+1,\mathfrak r} A_{[\mathfrak r]}^{\prime} .
\end{array}
$$
Имеем,
$$
\Delta^{\prime}=\det \left( [ A_{[1]}^{\prime},\dots, A_{[{\mathfrak r}]}^{\prime} ] \cdot
\left[
\begin{array}{llll}
\alpha_{11} & \alpha_{21} & \dots & \alpha_{\mathfrak r+1,1} \\
\alpha_{12} & \alpha_{22} & \dots & \alpha_{\mathfrak r+1,2} \\
\vdots & & & \vdots \\
\alpha_{1\mathfrak r} & \alpha_{2\mathfrak r} & \dots & \alpha_{\mathfrak r+1,\mathfrak r}
\end{array}
\right] \right) = 0
$$
по ((:algebra:dets:binet_cauchy теореме Бине-Коши)).
Вывод аналогичного утверждения для строк матрицы проводится применением тех же рассуждений к матрице $ A_{}^{\top} $, где $ \top_{} $ означает ((:algebra2#транспонирование транспонирование)). Ненулевой минор остается на том же месте --- в левом верхнем углу матрицы, поскольку его значение при транспонировании не меняется.
Доказательство теоремы для случая $ \mathfrak r=\min \{m,n\} $ проводится небольшой модификацией предыдущего: здесь достаточно рассмотреть либо только строки матрицы, либо ее столбцы.
----
**Доказательство**
II
(оригинальное Кронекера) проиллюстрируем на примере квадратной матрицы порядка $ n= 5 $. Пусть
$$
A=\left(\begin{array}{ccccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{25} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{35} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} & a_{45} \\
a_{51} & a_{52} & a_{53} & a_{54} & a_{55}
\end{array} \right) \quad u \quad \Delta=
\left|\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array} \right| \ne 0 \, .
$$
Составим определители $ 4 $-го порядка:
$$
D_{jk}=
\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{1k} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{2k} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{3k} \\
a_{j1} & a_{j2} & a_{j3} & a_{jk} \\
\end{array} \right| \, .
$$
Очевидно $ D_{jk}=0 $ если хотя бы одно из чисел $ j $ или $ k $ не превосходит $ 3 $; если же оба числа больше $ 3 $, то $ D_{jk} $ представляет минор матрицы $ A_{} $, окаймляющий $ \Delta $.
Вычислим величины
$$
c_{jk}=a_{jk}\Delta-D_{jk}=-
\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{1k} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{2k} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{3k} \\
a_{j1} & a_{j2} & a_{j3} & 0 \\
\end{array} \right|
$$
разложением определителя по последней строке:
$$
=-\sum_{\ell=1}^3 a_{j\ell} b_{\ell k} ;
$$
здесь $ b_{\ell k} $ означает алгебраическое дополнение к элементу $ a_{j \ell} $ из последней строки.
Так, к примеру,
$$
c_{11}=-\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{11} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{21} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{31} \\
a_{11} & a_{12} & a_{13} & 0 \\
\end{array} \right|
$$
и
$$
b_{11}=-
\left|\begin{array}{ccc}
a_{12} & a_{13} & a_{11} \\
a_{22} & a_{23} & a_{21} \\
a_{32} & a_{33} & a_{31}
\end{array} \right| = - \Delta,\
b_{21}=
\left|\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{13} & a_{11} \\
a_{21} & a_{23} & a_{21} \\
a_{31} & a_{33} & a_{31}
\end{array} \right|=0,\
b_{31}=-\left|\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{11} \\
a_{21} & a_{22} & a_{21} \\
a_{31} & a_{32} & a_{31}
\end{array} \right|=0 \, .
$$
Аналогично:
$$
b_{12}=0,b_{22}=-\Delta,b_{32}=0
$$
и
$$
b_{13}=0,b_{23}=0,b_{33}=-\Delta ;
$$
но выражения для $ b_{\ell k} $ при $ k>3 $ будут уже нетривиальными:
$$
b_{14}=-
\left|\begin{array}{ccc}
a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{32} & a_{33} & a_{34}
\end{array} \right|, \dots ,
b_{35}=-
\left|\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{15} \\
a_{21} & a_{22} & a_{25} \\
a_{31} & a_{32} & a_{35}
\end{array} \right| \, .
$$
Очевидно
$$
b_{\ell k} = \delta_{\ell k } \Delta \quad npu \quad k \le 3 ;
$$
здесь $ \delta_{\ell k } $ --- ((:algebra2:notations#символ_кронекера символ (всё того же) Кронекера)).
Составим из элементов $ c_{jk} $ квадратную матрицу:
$$
C=
\left(\begin{array}{ccccc}
c_{11} & c_{12} & c_{13} & c_{14} & c_{15} \\
c_{21} & c_{22} & c_{23} & c_{24} & c_{25} \\
c_{31} & c_{32} & c_{33} & c_{34} & c_{35} \\
c_{41} & c_{42} & c_{43} & c_{44} & c_{45} \\
c_{51} & c_{52} & c_{53} & c_{54} & c_{55}
\end{array} \right) ;
$$
формула $ c_{jk}=-\sum_{\ell=1}^3 a_{j\ell} b_{\ell k} $ равносильна представимости этой матрицы в виде произведения:
$$
C=-
\left(\begin{array}{ccccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & 0 & 0 \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & 0 & 0 \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0 & 0 \\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & 0 & 0 \\
a_{51} & a_{52} & a_{53} & 0 & 0
\end{array} \right)\cdot
\left(\begin{array}{ccccc}
b_{11} & b_{12} & b_{13} & b_{14} & b_{15} \\
b_{21} & b_{22} & b_{23} & b_{24} & b_{25} \\
b_{31} & b_{32} & b_{33} & b_{34} & b_{35} \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array} \right)\, .
$$
Из этого представления следует, что ранг матрицы $ C $ не превосходит $ 3 $ (см., к примеру, следствие к теореме 6
☞
((:algebra2:rank#ранг_системы_строк_столбцов
ЗДЕСЬ)) ). Следовательно, все миноры порядка $ 4 $ этой матрицы равны нулю.
Если теперь дополнительно предположить, что $ \Delta\ne 0 $, а все окаймляющие этот минор миноры $ D_{jk} $ четвертого порядка матрицы $ A $ равны нулю, то $ c_{jk}=a_{jk}\Delta $ и $ C= \Delta A $. По доказанному выше, все миноры четвертого порядка матрицы $ A $ равны нулю.
♦
Мне интересно было вывести аналитическую связь между окаймляющими минорами порядка $ \mathfrak r+1 $ и произвольными минорами того же порядка. Вот, что получилось.
Пусть, к примеру,
$$
A=\left( \begin{array}{llll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}
\end{array} \right), \operatorname{rank}(A)=2 \quad u \quad \left| \begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}
\right|\ne 0 \ .
$$
Покажем, что при условии
$$
A_4 = \left|
\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array} \right| =0,\
A_3 = \left|
\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{14} \\
a_{21} & a_{22} & a_{24} \\
a_{31} & a_{32} & a_{34}
\end{array} \right| =0
$$
будет иметь место
$$
A_1 = \left|
\begin{array}{lll}
a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{32} & a_{33} & a_{34}
\end{array} \right| =0,\
A_2 = \left|
\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} & a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{33} & a_{34}
\end{array} \right|=0;
$$
т.е. из того факта, что в нуль обращаются __//окаймляющие//__ миноры будет автоматически следовать обращение в нуль __//всех//__ миноров третьего порядка.
Составим вспомогательную квадратную матрицу
$$
\widehat{A}=
\left( \begin{array}{llll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array} \right)
$$
и применим к ней теорему о ((algebra2:dets#миноры_и_алгебраические_дополнения сумме произведений элементов строки на алгебраические дополнения к элементам другой строки)). Выберем пары строк //первая// - //четвертая//, //вторая// - //четвертая//, получим:
$$
\left\{\begin{array}{rc}
a_{11}A_{1}-a_{12}A_{2}+a_{13}A_{3}-a_{14}A_{4}&=0, \\
-a_{21}A_{1}+a_{22}A_{2}-a_{23}A_{3}+a_{24}A_{4}&=0 .
\end{array}
\right.
$$
По предположению, $ A_3=0, A_4=0 $, тогда получаем систему линейных однородных уравнений относительно $ A_1, A_2 $:
$$
\left\{\begin{array}{rc}
a_{11}A_{1}-a_{12}A_{2}&=0, \\
-a_{21}A_{1}+a_{22}A_{2}&=0.
\end{array}
\right.
$$
Опять же, по предположению,
$$
\left| \begin{array}{rr}
a_{11} & -a_{12} \\
-a_{21} & a_{22}
\end{array}
\right|=
\left| \begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}
\right|\ne 0.
$$
Но тогда такая система ((algebra2:linearsystems#система_однородных_уравнений имеет только тривиальное решение)): $ A_1=0, A_2=0 $.
Пусть теперь
$$
A=\left( \begin{array}{lllll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{25}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{35}
\end{array} \right), \operatorname{rank}(A)=2 \quad u \quad \left| \begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}
\right|\ne 0 \ .
$$
Выбирая подматрицы порядка $ 3\times 4 $, содержащие первый два столбца, мы придем к предыдущему случаю; как следствие, все миноры третьего порядка, содержащие хотя бы один из столбцов --- первый или второй --- матрицы, должны обращаться в нуль. Рассмотрим теперь матрицу
$$
\widehat{B}=
\left( \begin{array}{llll}
a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\
a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{25} \\
a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{35} \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array} \right)
$$
и применим к ней ту же самую теорему об ((algebra2:dets#миноры_и_алгебраические_дополнения алгебраических дополнениях)), выбрав в ней пару строк //первая// - //четвертая//:
$$
a_{12}
\left|
\begin{array}{lll}
a_{13} & a_{14} & a_{15} \\
a_{23} & a_{24} & a_{25} \\
a_{33} & a_{34} & a_{35}
\end{array} \right|-a_{13}
\left|
\begin{array}{lll}
a_{12} & a_{14} & a_{15} \\
a_{22} & a_{24} & a_{25} \\
a_{32} & a_{34} & a_{35}
\end{array} \right|+a_{14}
\left|
\begin{array}{lll}
a_{12} & a_{13} & a_{15} \\
a_{22} & a_{23} & a_{25} \\
a_{32} & a_{33} & a_{35}
\end{array} \right|-
a_{12}
\left|
\begin{array}{lll}
a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{32} & a_{33} & a_{34}
\end{array} \right|=0.
$$
Три последних минора равны нулю по доказанному выше, следовательно должен быть равен нулю или элемент $ a_{12} $ или минор
$$
\left|
\begin{array}{lll}
a_{13} & a_{14} & a_{15} \\
a_{23} & a_{24} & a_{25} \\
a_{33} & a_{34} & a_{35}
\end{array} \right| ,
$$
не содержащий вовсе элементов первых двух столбцов матрицы $ A $. Если этот минор все же отличен от нуля, то, применяя только что приведенные рассуждения к матрице
$$
\widehat{\widehat{B}}=
\left( \begin{array}{llll}
a_{11} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\
a_{21} & a_{23} & a_{24} & a_{25} \\
a_{31} & a_{33} & a_{34} & a_{35} \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array} \right) ,
$$
приходим к выводу, что $ a_{11}=0 $. Но в этом случае
$$
\left| \begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}
\right|=0,
$$
что противоречит предположению.
== Источники==
[1]. **Kronecker L.** //Bemerkungen zur Determinanten-Theorie.// J. reine angew. Math. Bd. 72, 1870, S. 152-175