==Ранг==
~~TOC~~
Ранг --- это неотрицательное целое число!
Понятие ранга возникает естественным образом при решении ((:algebra2:linearsystems систем линейных уравнений)).
!!П!! **Пример.** Решить систему уравнений
$$
\left\{
\begin{array}{rrrl}
2x_1&-3x_2&-x_3=&3 \\
4x_1&-3x_2&-5x_3=&6 \\
6x_1&-6x_2&-6x_3=&9.
\end{array}
\right.
$$
Наблюдательный читатель сразу обратит внимание на "излишнесть" последнего уравнения: оно получается суммой двух первых, т.е. является их следствием. Таким образом, это уравнение можно спокойно выбросить из системы без ущерба для задачи. Приведенный пример тривиален, ситуации могут оказаться не такими очевидными.
!!П!! **Пример.** Решить систему уравнений
$$
\left\{
\begin{array}{rrrrl}
x_1&+2x_2&+3x_3&-x_4&=1 \\
2x_1&+3x_2&+x_3&+x_4&=1 \\
3x_1&+2x_2&+x_3&-x_4&=1 \\
2x_1&+2x_2&+2x_3&-x_4&=1 \\
5x_1&+5x_2&+2x_3& &=2. \\
\end{array}
\right.
$$
Система является переопределенной: число неизвестных меньше числа определяющих их уравнений. Как правило, подобные системы решений не имеют (несовместны). Попробуем убедиться в этом применив для решения системы ((algebra2:linearsystems#исключение_переменных_метод_гаусса метод Гаусса)).
$$
\rightarrow
\left\{
\begin{array}{rrrrr}
x_1&+2x_2&+3x_3&-x_4&=1 \\
&-x_2&-5x_3&+3x_4&=-1 \\
&-4x_2&-8x_3&+2x_4&=-2 \\
&-2x_2&-4x_3&+x_4&=-1 \\
&-5x_2&-13x_3&+5x_4 &=-3 \\
\end{array}
\right.
\quad \rightarrow
$$
$$
\rightarrow \quad
\left\{
\begin{array}{rrrrr}
x_1&+2x_2&+3x_3&-x_4&=1 \\
&-x_2&-5x_3&+3x_4&=-1 \\
&&12x_3&-10x_4&=2 \\
&&6x_3&-5x_4&=1 \\
&&12x_3&-10x_4 &=2 \\
\end{array}
\right.
$$
Получившаяся система эквивалентна исходной (либо обе несовместны, либо обе имеют одинаковые решения). Однако в новой системе очевидно три последних уравнения фактически совпадают, и, таким образом, два из них можно безнаказанно выбросить из системы, не испортив ее множество решений. Получается, что исходная переопределенная система на самом деле "маскирует" систему "недоопределенную":
$$
\left\{
\begin{array}{rrrrr}
x_1&+2x_2&+3x_3&-x_4=&1 \\
&-x_2&-5x_3&+3x_4=&-1 \\
&&6x_3&-5x_4=&1,
\end{array}
\right.
$$
состоящую из уравнений в количестве меньшем, чем определяемые ими неизвестные. Как правило, такие системы совместны и имеют бесконечное множество решений. Так оно и получается в нашем примере. Фактически, мы привели уже систему к ((algebra2:linearsystems#установление_множества_решений трапециевидному виду)) и осталось только извлечь из этого вида все множество решений ((algebra2:linearsystems#установление_множества_решений обратным ходом метода Гаусса)). Ответом в примере является множество[[Для упрощения геометрических интерпретаций мы всегда --- если только не обговорено иное --- ищем только **вещественные** решения.]]
$$
x_1=\frac{1+5t}{6}, x_2=\frac{1-7t}{6}, x_3=\frac{1+5t}{6},x_4=t \quad npu \quad \forall t \in \mathbb R \ .
$$
Мы однако, обратим сейчас внимание на другое обстоятельство. Оказалось, что исходная система может быть сокращена на "излишние" уравнения --- без ущерба для ее множества решений. Похоже, что в этой системе "реальных" уравнений всего три, а два оставшихся должны являться их следствиями. Так оно и есть: если сложить первое и третье уравнения системы, то поучится удвоенное четвертое, а если сложить второе и третье --- получится пятое. Вывод: четвертое и пятое уравнения системы оказываются лишними.
♦
**Задача.** Для заданной системы линейных уравнений
$$
\left\{
\begin{array}{lllll}
a_{11}x_1 &+a_{12}x_2&+ \ldots&+a_{1n}x_n &=b_1,\\
a_{21}x_1 &+a_{22}x_2&+ \ldots&+a_{2n}x_n &=b_2,\\
\dots & & & \dots & \\
a_{m1}x_1 &+a_{m2}x_2&+ \ldots&+a_{mn}x_n &=b_m.
\end{array} \right.
$$
определить сколько в ней будет существенных уравнений.
Это искомое число и будет называться рангом. На самом деле, поставленная задача тут же усложняется: во-первых, интересует какие именно уравнения можно из системы выбросить, а какие нельзя, и, во-вторых, сколькими параметрами можно описать множество решений этой системы --- если это множество бесконечно (как было в предыдущем примере). Оказывается, на оба эти вопроса тоже помогает ответить понятие ранга --- как некоторой __целочисленной__ характеристики системы уравнений.
К тому же понятию можно подойти с другой стороны.
!!П!! **Пример.** Рассмотрим систему из последнего примера и перепишем ее в виде:
$$
x_1 \underbrace{\left( \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 2 \\ 5
\end{array} \right)}_{A_{[1]}} +
x_2 \underbrace{\left( \begin{array}{r} 2 \\ 3 \\ 2 \\ 2 \\ 5
\end{array} \right)}_{A_{[2]}}+
x_3 \underbrace{\left( \begin{array}{r} 3 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \\ 2
\end{array} \right)}_{A_{[3]}} +
x_4 \underbrace{\left( \begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \\ 0
\end{array} \right)}_{A_{[4]}} =
\underbrace{\left( \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 2
\end{array} \right)}_{\mathcal B} \ .
$$
Задачу решения системы уравнений можно переформулировать "на языке столбцов": при заданных столбцах $ A_{[1]}, A_{[2]}, A_{[3]}, A_{[4]} $ и $ {\mathcal B} $ подобрать такие числа $ x_1,x_2,x_3,x_4 $ чтобы сумма $ x_1 A_{[1]}+ x_2 A_{[2]}+ x_3 A_{[3]}+ x_4 A_{[4]} $ оказалась равной $ {\mathcal B} $. Хотя это и нелегко увидеть, но тем не менее можно формально проверить, что столбец $ A_{[1]} $ можно выразить через $ A_{[2]}, A_{[3]}, A_{[4]} $ по формуле:
$$ A_{[1]} =\frac{7}{5}A_{[2]}- A_{[3]}- \frac{6}{5}A_{[4]} \ . $$
В результате система уравнений переписывается в виде
$$
\left( x_2 + \frac{7}{5} x_1 \right) A_{[2]} + \left( x_3 - x_1 \right) A_{[3]}+
\left( x_4 - \frac{6}{5} x_1 \right) A_{[4]} = \mathcal B \ ,
$$
и получается, что она реально содержит только 3 переменные, именно
$$
y_2= x_2 + \frac{7}{5} x_1,\ y_3=x_3 - x_1, \ y_4 = x_4 - \frac{6}{5} x_1 .
$$
Если новая система
$$ y_2A_{[2]} + y_3 A_{[3]}+ y_4 A_{[4]}= \mathcal B $$
имеет хотя бы одно решение относительно неизвестных $ y_2,y_3,y_4 $, то исходная система тоже будет совместной и иметь бесконечное число решений (за счет того, что при обратном переходе к неизвестным $ x_1, x_2, x_3, x_4 $ появляется неоднозначность за счет отсутствия ограничений на $ x_1 $).
♦
**Задача.** Для заданной системы линейных уравнений
$$
\left\{
\begin{array}{lllll}
a_{11}x_1 &+a_{12}x_2&+ \ldots&+a_{1n}x_n &=b_1,\\
a_{21}x_1 &+a_{22}x_2&+ \ldots&+a_{2n}x_n &=b_2,\\
\dots & & & \dots & \\
a_{m1}x_1 &+a_{m2}x_2&+ \ldots&+a_{mn}x_n &=b_m.
\end{array} \right.
$$
определить сколько в ней будет существенных неизвестных.
Это искомое число тоже будет называться рангом. Единство в названии разных объектов оказывается оправданным: это два подхода к одному и тому же понятию (в приведенных выше решениях примера именно так и оказалось --- число существенных уравнений системы совпало с числом существенных переменных).
Для доказательства этого факта обратим сначала внимание на то обстоятельство, что мы, фактически действовали над коэффициентами системы уравнений, привлекая переменные только на самом последнем этапе. Так, в первом решении мы действовали только над строками ((algebra2:linearsystems#матричная_форма_записи матрицы коэффициентов)), а во втором решении --- только над ее столбцами.
===Ранг системы строк (столбцов) ==
В настоящем и последующих пунктах мы будем рассматривать примеры и формулировать утверждения, ориентируясь на случай вещественных чисел, в частности, коэффициенты уравнений и искомые решения будем представлять во множестве $ \mathbb R_{} $. Следует понимать, что все результаты будут справедливыми и для случая ((:complex_num комплексных чисел)).
В настоящем пункте мы, на время, отвлечемся от систем уравнений и рассмотрим множества строк ( $ 1 \times N $-матриц) и столбцов ($ N\times 1 $-матриц) с числовыми (вещественными) элементами. Поскольку принципиальная разница между этими двумя объектами несущественна, мы будем говорить
обобщенно о __рядах__, имея в виду каждый раз что-то определенное: либо строки
$ A^{[1]}, A^{[2]},\dots $ либо столбцы $ A_{[1]}, A_{[2]}, \dots $
Рассмотрим систему[[Строгое определение слова //система// нигде в литературе я не нашел --- как-то стыдливо это понятие обходится. Можно понимать его как //множество// или
//((https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D1%8 мультимножество))//
--- с допуском повторений объектов, а также их нумерацией.]] $ n_{} $ рядов (строк или столбцов)
$$
\{ A_1,\dots,A_n \} \ .
$$
Выражение
$$
\alpha_1A_1+\dots+\alpha_nA_n
$$
при фиксированных числах $ \alpha_1,\dots,\alpha_n $ называется **линейной комбинацией** рядов $ A_1,\dots,A_n $. Множество всевозможных линейных комбинаций рядов $ A_1,\dots,A_n $ называется их **линейной оболочкой**:
$$
\mathcal L(A_1,\dots,A_n)=\left\{ \alpha_1A_1+\dots+\alpha_nA_n \ \big| \ \{\alpha_1,\dots,\alpha_n\} \subset \mathbb R \right\}.
$$
Система рядов $ \{ A_1,\dots,A_n \} $ называется **линейно зависимой** (**л.з.**) если существуют числа
$ \alpha_1,\dots,\alpha_n $, хотя бы одно из которых отлично от нуля, такие что
$$
\alpha_1A_1+\dots+\alpha_nA_n=\mathbb O \ .
$$
Если же последнее равенство возможно только при $ \alpha_1=0,\dots, \alpha_n=0 $,
то система рядов называется **линейно независимой** (**л.н.з.**).
!!Т!! **Теорема 1.** **а)** //Если система// $ \{ A_1,\dots,A_n \} $ //содержит хотя бы один нулевой ряд, то она// **л.з.**
**б)** //Если система// $ \{ A_1,\dots,A_n \} $ **л.н.з.**, //то и любая ее подсистема// **л.н.з.**
**в)** // При// $ n>1 $ //система// $ \{ A_1,\dots,A_n \} $ **л.з.** //тогда и только тогда,
когда по меньшей мере один ее ряд линейно выражается через остальные,
т.е. существуют// $ j\in \mathbb N $ //и константы// $ \gamma_1,\dots,\gamma_{j-1},
\gamma_{j+1},\dots,\gamma_{n} $ //такие, что//
$$ A_j=\gamma_1A_1+\dots+\gamma_{j-1}A_{j-1}+
\gamma_{j+1}A_{j+1}+\dots + \gamma_{n}A_{n} \ .$$
!!П!! **Пример.** Найти все значения параметра $ \color{Red}{\lambda} $, при которых строка $ B=(7,-2,{\color{Red}{\lambda}} ) $ выражается через строки
$$A_1=(2,3,5),\ A_2=(3,7,8),\ A_3=(1,-6,1) \ .$$
**Решение.** Составим уравнение
$ B=\gamma_1A_1+\gamma_2A_2+\gamma_3A_3 $
и попытаемся подобрать неопределенные параметры $ \gamma_j $ ему удовлетворяющие.
$$
\left\{
\begin{array}{rrrrr}
2\gamma_1&+3\gamma_2&+\gamma_3=&7 \\
3\gamma_1&+7\gamma_2&-6\gamma_3=&-2 \\
5\gamma_1&+8\gamma_2&+\gamma_3=& \color{Red}{\lambda}
\end{array}\right.
$$
Мы получили систему линейных уравнений для определения неизвестных постоянных $ \gamma_1,\gamma_2, \gamma_3 $. Решаем ее по ((:algebra2:linearsystems#исключение_переменных_метод_гаусса методу Гаусса)):
$$
\left\{
\begin{array}{rrrrc}
\gamma_1&+4\gamma_2&-7\gamma_3=&-9, \\
&\gamma_2&-3\gamma_3=&-5, \\
&&0=&{\color{Red}{\lambda}} -15.
\end{array}\right. \
$$
Последнее уравнение обращается в истинное равенство только при $ \lambda=15 $. При этом значении параметра система уравнений будет совместна. Например, одним из решений будет
$ \gamma_1=6, \gamma_2=-2,\gamma_3=1 $.
**Ответ.** $ {\color{Red}{\lambda}} =15 $.
!!Т!! **Теорема 2.** //Если каждый из рядов системы// $ \{ A_1,\dots,A_n \} $ //линейно
выражается через ряды системы// $ \{B_1,\dots,B_k \} $ //и при этом во второй системе рядов меньше, чем в первой, т.е.// $ k
☞