!!§!! Вспомогательная страница к разделу
☞
((:algebra2 МАТРИЦА))
----
==Задачи==
1.
Вычислить
$$
3 \left[
\left(
\begin{array}{rr}
2 & 3 \\
2 & 1 \\
0 & 1
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 3 \\
-3 & -2 & -1
\end{array}
\right)
+E
\right]^{-1}
- \left[
\left( [j-k]_{j,k=1}^3 \right)^3 + [j+k \pmod{3} ]_{j,k=1}^3
\right]^{\top} \ .
$$
2.
Доказать, что для любой матрицы $ A \in \mathbb R^{2\times 2} $ справедливо равенство:
$$
| \det(A) | \cdot \operatorname{Sp}(A\cdot A^{\top} +| \det(A) |\cdot E)= \det(A\cdot A^{\top} +| \det(A) |\cdot E) \ .
$$
3.
Доказать, что для того, чтобы равенство $ \operatorname{Sp} (A^{\top}A)= \operatorname{Sp} (A^2 ) $ выполнялось для матрицы $ A\in \mathbb R^{n\times n} $ необходимо и достаточно, чтобы она была симметричной: $ A=A^{\top} $.
4.
Верно ли равенство
$$ \operatorname{Sp} (ABC)=\operatorname{Sp} (BAC) \ ? $$
Здесь $ A,B,C $ --- квадратные матрицы одинакового порядка.
5.
Для квадратных матриц $ A $ и $ B $ одинаковых порядков, их **коммутатором** или **скобкой Якоби** называется
матрица
$$ [A,B]:=AB-BA \, . $$
Показать справедливость следующего равенства
$$ [A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=\mathbb O \, . $$