==Ортогональная матрица== ~~TOC~~ матрица --- это квадратная вещественная матрица $ P_{} $, удовлетворяющая равенству: $$ P \cdot P^{\top} = E \ , $$ здесь $ E_{} $ --- единичная матрица того же порядка, а $ {}^{\top} $ означает ((#транспонирование транспонирование)). Иными словами, строки матрицы $ P_{} $ удовлетворяют условию $$ P^{[j]}\cdot \left( P^{[k]} \right)^{\top} = p_{j1}p_{k1}+p_{j2}p_{k2} + \dots + p_{jn}p_{kn}= \delta_{jk} \ , $$ где $ \delta_{jk}^{} $ --- ((:algebra2:notations#символ_кронекера символ Кронекера)). Если скалярное произведение строк $ X=(x_1,x_2,\dots,x_{n}) $ и $ Y=(y_1,y_2,\dots,y_{n}) $ задается ((:euclid_space#определения стандартным способом)): $$ \langle X,Y \rangle=x_1y_1+x_2y_2+\dots+x_ny_n \ , $$ то определение ортогональной матрицы оправдано тем, что ее строки оказываются взаимно ортогональными. К тому же, они все имеют "единичную длину": сумма квадратов элементов любой строки равна $ 1 $. Как следствие имеем, что любой элемент ортогональной матрицы не превышает $ 1 $ по модулю: $ | p_{jk} | \le 1 $. В литературе под ортогональной матрицей иногда понимают и матрицу с комплексными элементами, удовлетворяющую соотношению $ P \cdot P^{\top} = E $. Тогда для матрицы из приведенного выше случая используют название //вещественная ортогональная матрица//. Чаще, однако, используется другое обобщение понятия ортогональной матрицы на комплексные матрицы --- см. ((:algebra2/hermite#svojstva унитарные матрицы)). !!П!! **Пример.** Матрицы $$ \left( \begin{array}{rr} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right) \, , \ \left( \begin{array}{rrr} 2/3 & -1/3 & 2/3 \\ 2/3 & 2/3 & -1/3 \\ -1/3 & 2/3 & 2/3 \end{array} \right) \, , \ \left( \begin{array}{rrrr} 1/2 & 1/2 & 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 & 1/2 & -1/2 \\ 1/2 & 1/2 & -1/2 & -1/2 \\ 1/2 & -1/2 & -1/2 & 1/2 \end{array} \right) $$ --- ортогональные. Последняя получена из ((:algebra2#ortogonalnaja матрицы Адамара)) четвертого порядка. Вообще, умножение любой матрицы Адамара порядка $ n $ на $ 1/\sqrt{n} $ дает ортогональную матрицу. !!П!! **Пример.** Матрица ((:mapping/operator#matrica_operatora_otrazhenija_operatora_xausxoldera оператора (зеркального) отражения)) (оператора Хаусхолдера) в $ \mathbb R^n $ относительно плоскости $ c_1x_1+\dots+c_nx_n =0 $ является ортогональной. !!П!! **Пример.** Единичная матрица --- ортогональная. Вообще, любая диагональная матрица, элементы диагонали которой равны либо $ +1 $ либо $ -1 $ являются ортогональными. Ортгональными будут и матрицы, полученные из них произвольной перестановкой столбцов (или строк). Одно из подмножеств таких матриц имеют специальное название. !!П!! **Пример.** Матрица $ P_{} $ называется **матрицей перестановки** если в любой ее строке и любом ее столбце в точности один элемент равен $ 1_{} $ при всех остальных равных $ 0_{} $. Она тесно связана с понятием ((:basics:combinatorics#перестановки перестановки элементов)). Пусть имеются различные числа[[Все последующие рассуждения будут справедливы и для элементов любой природы, для которых умножение на $ 0_{} $ и $ 1_{} $ определяется как для чисел.]] $ \{\alpha_1,\dots, \alpha_n\} $. Любое их упорядочивание называется перестановкой. Если имеются две перестановки одного и того же набора чисел, записываемые в виде векторов-строк: $$ (x_1,\dots,x_{n}) \quad \mbox{и} (y_1,\dots,y_n) \, ,$$ то они связаны между собой посредством умножения на матрицу перестановки $ P_{} $ порядка $ n_{} $: $$ (y_1,\dots,y_n) =(x_1,\dots,x_n)P \ . $$ Так, к примеру, если $ (y_1,y_2,y_3,y_4)=(x_2,x_4,x_3,x_1) $, то $$(y_1,y_2,y_3,y_4)=(x_1,x_2,x_3,x_4) \left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \ . $$ !!Т!! **Теорема.** //Если матрица// $ P_{} $ --- //ортогональная, то и матрица// $ P_{}^{\top} $ --- //ортогональная, т.е. у ортогональной матрицы взаимно ортогональны не только строки, но и столбцы:// $$ P^{\top} P = E \, $$ !!Т!! **Теорема.** //Если ((:mapping:operator#матрица_оператора линейный оператор)) в// $ \mathbb R^n $ //задан ортогональной матрицей, то он сохраняет скалярное произведение. Иными словами, инвариантными остаются длины векторов и углы между ними.// **Доказательство.** Пусть столбцы $ X=(x_1,x_2,\dots,x_{n})^{\top}, Y=(y_1,y_2,\dots,y_{n})^{\top} $ связаны соотношением $ X=PY $ при ортогональной матрице $ P_{n\times n} $. Если $$ Y_1 = PX_1, \ Y_2=PX_2 $$ то $$ \langle Y_1,Y_2 \rangle=Y_1^{\top}Y_2 = X_1^{\top} P^{\top}P X_2 = X_1^{\top} X_2= \langle X_1,X_2 \rangle \, . $$ ♦ ===Произведение== !!Т!! **Теорема.** //Произведение ортогональных матриц является ортогональной матрицей//. Как правило, ортогональные матрицы не коммутируют. ===Определитель== !!Т!! **Теорема.** //Определитель ортогональной матрицы равен либо// $ +1 $ //либо// $ (-1) $. **Доказательство.** В равенстве $ P \cdot P^{\top} = E $ переходим к определителям $ \left(\det P \right) \left(\det P^{\top} \right) = \left( \det P \right)^2=1 $. ♦ !!=>!! Для ортогональной матрицы $ P $ обратная матрица всегда существует и совпадает с ей транспонированной: $$ P^{-1}=P^{\top} \, . $$ !!=>!! Множество ортогональных матриц одинакового порядка образует ((:gruppe#определение_группы группу)) относительно операции умножения. !!?!! Будет ли эта группа коммутативной, т.е. абелевой? !!Т!! **Теорема.** //((:algebra2:dets#миноры_и_алгебраические_дополнения Алгебраическое дополнение)) любого элемента ортогональной матрицы с точностью до знака совпадает с этим элементом//: $$ P_{jk} = p_{jk} \det P \, . $$ !!=>!! Для ортогональности квадратной матрицы $ A_{} $ необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен либо $ 1 $ либо $ (-1) $, и для каждого ее элемента было выполнено равенство из предыдущей теоремы. ===Норма== !!Т!! **Теорема.** //((:norm_space#норма_матрицы Евклидова норма)) ортогональной матрицы порядка// $ n $ //равна// $ \sqrt{n} $; //((:norm_space#норма_матрицы спектральная норма)) произвольной ортогональной матрицы равна// $ 1_{} $. ===Теорема Кэли== Произвольная матрица порядка $ n_{} $ задается $ n^2 $ параметрами --- своими элементами, симметричная матрица того же порядка --- $ n(n+1)/2 $ элементами, кососимметричная --- $ n(n-1)/2 $ элементами. Сколько параметров надо задать, чтобы определить ортогональную матрицу? Какова размерность подмножества ортогональных матриц во множестве всех матриц? Для ответа на эти вопросы проанализируем условия ортогональности $ P^{\top}P=E $. Для случая ортогональной матрицы порядка $ n=3 $ эти условия перепишем в виде системы $$ \begin{array}{cc} p_{11}^2+p_{21}^2+p_{31}^2=1, & p_{11}p_{12}+p_{21}p_{22}+p_{31}p_{32}=0, \\ p_{12}^2+p_{22}^2+p_{32}^2=1, & p_{13}p_{12}+p_{23}p_{22}+p_{33}p_{32}=0, \\ p_{13}^2+p_{23}^2+p_{33}^2=1, & p_{11}p_{13}+p_{21}p_{23}+p_{31}p_{33}=0 \end{array} $$ квадратных уравнений относительно $ 9 $ ее элементов. Можно ожидать, что какие-то $ 3 $ элемента могут быть выбраны произвольными, а остальные определятся из полученной системы уравнений. А в общем случае ортогональная матрица может быть задана $ n(n-1)/2 $ параметрами. Обратим внимание, что такое же количество параметров задает и произвольную кососимметричную матрицу. Возникает подозрение, что эти два типа матриц завязаны друг на друга. !!Т!! **Теорема [Кэли]**. //Любая матрица// $ P $ //такая, что// $$ \det P =1, \det (P+E)\ne 0 $$ //будет ортогональной тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде произведения// $$ P=(E+S)(E-S)^{-1} \ , $$ //где// $ E $ --- //единичная, а// $ S $ --- //некоторая ((:algebra2:skewsym кососимметричная матрица))//. **Доказательство.** Если $ S $ --- кососимметричная, т.е. $ S^{\top}=-S $, то $$ P^{\top} = \left((E+S)(E-S)^{-1}\right)^{\top} = \left((E-S)^{\top}\right)^{-1}(E+S)^{\top}=(E+S)^{-1}(E-S) \, . $$ $$ P^{\top} P= (E+S)^{-1}(E-S)(E+S)(E-S)^{-1}=(E+S)^{-1}(E+S)(E-S)(E-S)^{-1}= E , $$ поскольку матрицы $ E-S $ и $ E+S $ коммутируют. Обратные к матрицам $ E-S $ и $ E+S $ всегда существует поскольку характеристический полином $ \det (S- \lambda E) $ кососимметричной матрицы ((:algebra2:skewsym#характеристический_полином не имеет вещественных корней)) ( кроме, возможно, $ \lambda=0 $). Обратно, если $ P $ --- ортогональная, т.е. $ P^{-1}=P^{\top} $, то в качестве матрицы $ S $ можно взять матрицу $$ S=(P+E)^{-1} (P-E) \, . $$ Докажем, что матрица $ S $ кососимметричная. Имеем: $$ S=E-2(P+E)^{-1} \quad \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow S^{\top} = E-2\left((P+E)^{-1}\right)^{\top}=E-2\left((P+E)^{\top}\right)^{-1}=E-2\left(P^{\top}+E\right)^{-1}= $$ $$ =E-2\left(P^{-1}+E\right)^{-1}=E-2\,P \left(E+P\right)^{-1} \quad \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \quad S+S^{\top}=2\, E -2(P+E)^{-1}-2\,P \left(E+P\right)^{-1}= \mathbb O \, . $$ ♦ !!=>!! Произвольная ортогональная матрица $ P_{} $ может быть представлена в виде произведения $$ P=J(E+S)(E-S)^{-1} \ , $$ где $ E $ --- единичная, $ S $ --- кососимметричная, а $$ J = \left(\begin{array}{cccc} \varkappa_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \varkappa_2 & \dots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \varkappa_n \end{array} \right) $$ --- диагональная матрица, на диагонали которой стоят числа $ +1 $ или $ -1 $. !!Т!! **Теорема [Родриг].** //Любая ортогональная матрица// $ P_{3\times 3} $ //с определителем равным// $ + 1 $ //может быть представлена в виде// $$ P=\frac{1}{1+a^2+b^2+c^2} \left[ \begin{array}{ccc} 1-a^2-b^2+c^2 & 2(a-bc) & 2(ac+b) \\ -2(a+bc) & 1-a^2+b^2-c^2 & 2(c-ab) \\ 2(ac-b) & -2(ab+c) & 1+a^2-b^2-c^2 \end{array} \right] $$ //при некоторых вещественных значениях параметров// $ a,b,c $. **Доказательство** следует из ((#теорема_кэли теоремы Кэли)) при $$ S=\left( \begin{array}{ccc} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{array} \right) \, . $$ ♦ ===Выражение через экспоненциал кососимметричной матрицы== !!Т!! **Теорема.** //Матрица// $ A $ //с определителем, равным// $ 1 $,// представима в виде// $$ A=e^S $$ //с кососимметричной матрицей// $ S $// тогда и только тогда, когда она ортогональна//. **Доказательство достаточности**. Для кососимметричной матрицы $ S $: $$\left(\exp(S) \right)^{\top}= \left(E+S+\frac{S^2}{2}+ \frac{S^3}{3!}+\dots \right)^{\top}= $$ $$=E-S+\frac{S^2}{2}- \frac{S^3}{3!}+\dots = \exp(-S)= (\exp (S))^{-1} \, . $$ ♦ ====Ортогональная матрица третьего порядка== В пространстве $ \mathbb R^3 $ со стандартным скалярным произведением линейное преобразование $$ X=PY $$ с ортогональной матрицей $ P_{3\times 3} $ с определителем равным $ +1 $ определяет операцию поворота твердого тела вокруг неподвижной точки, закрепленной в начале координат $ X=\mathbb O $. !!Т!! **Теорема [Эйлер].** //Произвольное вращение твердого тела вокруг неподвижной точки, закрепленной в начале координат, задается ортогональной матрицей// $$ P= \left(\begin{array}{ccc} \cos \varphi \cos \psi - \cos \theta \sin \varphi \sin \psi & -\cos \varphi \sin \psi - \cos \theta \sin \varphi \cos \psi & \sin \varphi \sin \theta \\ \sin \varphi \cos \psi + \cos \theta \cos \varphi \sin \psi & -\sin \varphi \sin \psi + \cos \theta \cos \varphi \cos \psi & -\cos \varphi \sin \theta \\ \sin \psi \sin \theta & \cos \psi \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right) \, . $$ **Доказательство.** Матрицу $ P $ можно представить в виде произведения $$ P= \left(\begin{array}{rrr} \cos \varphi & - \sin \varphi & 0 \\ \sin \varphi & \cos \varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & - \sin \theta \\ 0 & \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{rrr} \cos \psi & - \sin \psi & 0 \\ \sin \psi & \cos \psi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) $$ трех ортогональных матриц. Первая матрица определяет вращение вокруг оси $ Oz $ на угол $ \varphi $. ====Ортогональная матрица четвертого порядка: кватернионы== Матрица $$ \left(\begin{array}{rrrr} x_0 & -x_1 & -x_2 & -x_3 \\ x_1 & x_0 & -x_3 & x_2 \\ x_2 & x_3 & x_0 & -x_1 \\ x_3 & -x_2 & x_1 & x_0 \end{array} \right) $$ является ортогональной если $ \sqrt{x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2}=1 $. Если не накладывать последнего условия, то множество подобных матриц $$ \{ x_0 E +x_1 \mathbf I +x_2 \mathbf J + x_3 \mathbf K \ \mid \ (x_0,x_1,x_2,x_3) \in \mathbb R^4 \} \ $$ при $$ E=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right), \ \mathbf I = \left(\begin{array}{rrrr} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right), \ \mathbf J = \left(\begin{array}{rrrr} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{array} \right), \ $$ $$ \mathbf K= \left(\begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $$ оказывается замкнутым относительно операций сложения и умножения. Это множество тесно связано со множеством гиперкомплексных чисел, известных как ((:gruppe#алгебра кватернионы)). ===Характеристический полином, собственные числа== !!Т!! **Теорема.** //((:algebra2:charpoly#собственное_число Собственные числа)) ортогональной матрицы// $ P_{} $ //все равны// $ 1_{} $ //по абсолютной величине (модулю). ((:algebra2:charpoly Характеристический полином))// $$ \det (P-\lambda E) $$ //ортогональной матрицы нечетного порядка всегда имеет корнем// $ \lambda=+1 $ //или// $ \lambda=-1 $. //Если характеристический полином не имеет корнем// $ \lambda= +1 $ //или же ((:polynomial#основная_теорема_высшей_алгебры кратность)) этого корня --- четная, то этот полином является ((:polynomial:reciprocal#возвратный_полином возвратным)). Если же кратность корня// $ \lambda=+1 $ //--- нечетная, то частное// $$ \frac{\det (P-\lambda E)}{\lambda-1} $$ //является возвратным полиномом.// **Доказательство.** Если $$ P\mathfrak X=\lambda_{\ast} \mathfrak X \quad npu \quad \lambda_{\ast} \in \mathbb C, \mathfrak X\in \mathbb C^n, \mathfrak X \ne \mathbb O \ , $$ то $$ \mathfrak X^{\top}P^{\top}=\lambda_{\ast} \mathfrak X^{\top} \quad \Rightarrow \quad \overline{\mathfrak X}^{\top}P^{\top}=\overline{\lambda_{\ast} } \overline{\mathfrak X}^{\top} $$ при $ \overline{ \ .} $ означающем комплексное сопряжение. Тогда $$ \left(\overline{\mathfrak X}^{\top}P^{\top} \right) P\mathfrak X = \overline{\lambda_{\ast} } \lambda_{\ast} \overline{\mathfrak X}^{\top} \mathfrak X $$ или $$ \overline{\mathfrak X}^{\top} {\mathfrak X} = \overline{\lambda_{\ast}} \lambda_{\ast} \overline{\mathfrak X}^{\top} {\mathfrak X} \quad \iff \quad (|\lambda_{\ast} |^2-1) \left( |x_1|^2+|x_2|^2+\dots + |x_n|^2\right) =0 \, . $$ Следовательно, $ |\lambda_{\ast} |=1 $. Если порядок матрицы нечетен, то хотя бы одно из ее собственных чисел вещественно, но тогда оно равно $ +1 $ или $ (-1) $. Если $ \lambda_{\ast} $ является мнимым собственным числом ортогональной матрицы $ P $, то и $ \overline{\lambda_{\ast}} $ также является ее собственным числом. Таким образом, все мнимые собственные числа ортогональной матрицы можно разбить на пары $ \{\lambda_{\ast}, \overline{\lambda_{\ast}} \} $, и соответствующие линейные множители характеристического полинома перемножатся в виде $$ (\lambda-\lambda_{\ast})(\lambda-\overline{\lambda_{\ast}})\equiv \lambda^2- 2\,\mathfrak{Re}(\lambda_{\ast}) \lambda +|\lambda_{\ast}|^2 \equiv \lambda^2- 2\,\mathfrak{Re}(\lambda_{\ast}) \lambda + 1 $$ т.е. в виде возвратного полинома. Линейный полином $ \lambda+1 $ и квадратный полином $ (\lambda-1)^2 $ являются возвратными. Произведение возратных полиномов будет возвратным полиномом. ♦ !!П!! **Пример.** Найти характеристический полином и спектр матрицы $$ P= \left(\begin{array}{rrrrrrrr} -\sqrt{2}/4 & \sqrt{2}/4 & 1/2 & \sqrt{3}/6 & -\sqrt{6}/12 & -1/2 & \sqrt{3}/6 & \sqrt{6}/12 \\ -\sqrt{2}/4 & -\sqrt{2}/4 & 1/2 & -\sqrt{3}/6 & \sqrt{6}/12 & 1/2 & \sqrt{3}/6 & \sqrt{6}/12 \\ -\sqrt{2}/4 & \sqrt{2}/4 & 0 & 0 & \sqrt{6}/4 & 0 & -\sqrt{3}/3 & \sqrt{6}/12 \\ -\sqrt{2}/4 & -\sqrt{2}/4 & 0 & \sqrt{3}/3 & \sqrt{6}/12 & 0 & 0 & -\sqrt{6}/4 \\ \sqrt{2}/4 & -\sqrt{2}/4 & 1/2 & -\sqrt{3}/6 & \sqrt{6}/12 & -1/2 & -\sqrt{3}/6 & -\sqrt{6}/12 \\ \sqrt{2}/4 & \sqrt{2}/4 & 1/2 & \sqrt{3}/6 & -\sqrt{6}/12 & 1/2 & -\sqrt{3}/6 & -\sqrt{6}/12 \\ \sqrt{2}/4 & -\sqrt{2}/4 & 0 & \sqrt{3}/3 & \sqrt{6}/12 & 0 & 0 & \sqrt{6}/4 \\ \sqrt{2}/4 & \sqrt{2}/4 & 0 & 0 & \sqrt{6}/4 & 0 & \sqrt{3}/3 & -\sqrt{6}/12 \end{array} \right) \, . $$ **Решение.** Имеем: $$ \det(P- \lambda E)= $$ $$ =\lambda^8+\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\lambda^7+\left(\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}}{6} -\frac{5 \sqrt{2}}{12}-\frac{\sqrt{6}}{3}\right)\lambda^6 + $$ $$ +\left(-\frac{5 \sqrt{3}}{12}+\frac{\sqrt{6}}{3}-\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{2}}{3}\right)\lambda^5+ $$ $$ +\left(\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{6}}{6}+\frac{11\sqrt{3}}{12}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\lambda^4+\left(-\frac{5 \sqrt{3}}{12}+\frac{\sqrt{6}}{3}-\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{2}}{3}\right)\lambda^3+ $$ $$ +\left(\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}}{6} -\frac{5 \sqrt{2}}{12}-\frac{\sqrt{6}}{3}\right)\lambda^2+\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\lambda+1 \ , $$ т.е. действительно полином является возвратным. Теоретически, его корни можно найти в радикалах, поскольку согласно алгоритму, изложенному ((:polynomial:reciprocal#возвратный_полином ЗДЕСЬ)), эта задача сводится к решению уравнения $ 4 $-й степени: $$ -12\,w^4+(6+4\sqrt{3}-6\sqrt{2})w^3+(44-2\sqrt{3}+5\sqrt{2}+4\sqrt{2}\sqrt{3})w^2+ $$ $$ +(-9-7\sqrt{3}+14\sqrt{2}-4\sqrt{6})w-20-7\sqrt{3}-4\sqrt{2}-6\sqrt{6}=0 \, . $$ Но я ограничусь здесь приближенными значениями $$ \lambda_{1,2}\approx -0.907626 \pm 0.419779 \mathbf i, \ \lambda_{3,4}\approx -0.503048\pm 0.864258 \mathbf i , $$ $$ \lambda_{5,6}\approx 0.602940 \pm 0.797785 \mathbf i, \ \lambda_{7,8}\approx 0.992855 \pm 0.119324 \mathbf i \, . $$ {{ algebra2:orth_eigenvals.png |}} ♦ ====Вещественная жорданова нормальная форма== !!Т!! **Теорема.** //Для любой ортогональной матрицы// $ P $ //существует ортогональная же матрица// $ Q $ //такая, что// $$Q^{\top} P Q= P_{\mathfrak J} \ , $$ //где матрица// $ P_{\mathfrak J} $ --- //блочно-диагональная, имеющая на диагонали клетки первого порядка вида// $$ [+1] \quad \mbox{ и/или } \ [-1] \, $$ //и/или клетки второго порядка вида// $$ \left[ \begin{array}{rr} \cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{array} \right] \quad \mbox{ при } \ \varphi \ne k \pi, k \in \mathbb Z \, . $$ ==Применения== ===QR-разложение матрицы== !!Т!! **Теорема [о QR-разложении].** //Для любой вещественной неособенной матрицы// $ A_{n\times n}^{} $ //существует вещественные ортогональная матрица// $ Q_{n\times n} $ //и ((:algebra2#треугольная верхнетреугольная)) матрица// $ R_{n\times n} $, //такие, что// $$ A=Q \cdot R \, . $$ Этот результат является следствием ((:euclid_space#матричный_формализм_алгоритма_грама-шмидтаqr-разложение алгоритма ортогонализации Грама-Шмидта)) столбцов матрицы $ A_{} $. Результат может быть обобщен и на случай неквадратной вещественной матрицы $ A_{m\times n}^{}, n ===Сингулярное разложение матрицы== !!Т!! **Теорема (о сингулярном разложении)**. //Для матрицы// $ A \in \mathbb R^{m\times n} $, $ \operatorname{rank} (A)=\mathfrak r $ //существует представление ее в виде произведения// $$ A=U \Sigma V^{\top} \, . $$ Схематически при $ mn $: {{ :algebra2:svd_matrix21r.png?800 |}} //Здесь// * $ U \in \mathbb R^{m\times m} $ //и// $ V \in \mathbb R^{n\times n} $ --- //((:algebra2:ort_matrix ортогональные матрицы))//; * //матрица// $ \Sigma \in \mathbb R^{m\times n} $ //имеет ненулевыми только элементы// $ \sigma_{jj}=\sigma_j $ при $ j\in \{1,\dots, \mathfrak r \} $: $$ \Sigma=\left( \begin{array}{cccc|c} \sigma_1 & & & & \\ & \sigma_2 & & &\mathbb O_{{\mathfrak r}\times (n-{\mathfrak r})}\\ & &\ddots& & \\ & & & \sigma_{\mathfrak r} & \\ & & & & \\ \hline &\mathbb O_{(m-{\mathfrak r})\times {\mathfrak r}} & & & \mathbb O_{(m-{\mathfrak r})\times (n-{\mathfrak r})} \end{array} \right) $$ //Числа// $ \sigma_1, \sigma_2,\dots,\sigma_{\mathfrak r} $ //расположены в порядке неубывания//: $$ \sigma_1\ge \sigma_2 \ge \dots \ge \sigma_{\mathfrak r} > 0 $$ //и равны арифметическим квадратным корням из ((:algebra2:charpoly#собственное_число ненулевых собственных чисел)) матрицы// $ A \cdot A^{\top} $ $$ \{\sigma_j= |\lambda_j| \}_{j=1}^{\mathfrak r} $$ //где// $ \lambda_1^2, \lambda_2^2,\dots, \lambda_{\mathfrak r}^2 $ --- // корни уравнения// $$ \det ( A \cdot A^{\top}-\lambda E) =0 \, . $$ * //Столбцы матрицы// $ U $ //являются ((:algebra2:charpoly#собственный_вектор собственными векторами)) матрицы// $ A \cdot A^{\top} $: $$ U= \left[ U_{[1]}| U_{[2]}|\dots | U_{[m]} \right],\ npu \ ( A \cdot A^{\top}-\lambda_j^2 E) U_{[j]} = \mathbb O_{m\times 1} \, . $$ * //cтолбцы матрицы// $ V $ //являются ((:algebra2:charpoly#собственный_вектор собственными векторами)) матрицы// $ A^{\top} \cdot A $: $$ V= \left[ V_{[1]}|V_{[2]}|\dots | V_{[n]} \right],\ npu \ ( A^{\top} A -\lambda_j^2 E) V_{[j]} = \mathbb O_{n\times 1} \, . $$ !!§!! Подробнее ☞ ((:algebra2:svd ЗДЕСЬ)). ==Задачи== ☞ ((:algebra2:ort_matrix:problems ЗДЕСЬ)) ==Источники== [1]. **Rodrigues O.** //Des lois géométriques qui régissent les déplacements d'un système solide dans l'espace, et de la variation des coordonnées provenant de ces déplacements considérés indépendamment des causes qui peuvent les produire.// Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 1840. V. 5, 380--440 [2]. **Проскуряков И.В.** //Сборник задач по линейной алгебре.// М.Наука. 1974; задача N 896, задача 1570.