!!§!! Вспомогательная страница к разделу
☞
((:polynomialm ПОЛИНОМ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ))
----
==Критические случаи при поиске максимума и минимума полинома==
!!П!! **Пример 1.** Полином $ f(x,y)=-x^4 y^2 - x^2 y - y^{2} $ ограничен сверху, но не достигает своего максимального значения.
((:polynomialm#однородный_полином Старшая форма)) $ f_{6}(x,y)=-x^2 y^4 $ является лишь знакоотрицательной, но не отрицательно определенной. Система $ \partial f_{} / \partial x = 0, \partial f / \partial y = 0 $ имеет единственное решение: $ (x,y)=(0,0) $ при $ f(0,0)=0_{} $. Тем не менее, конечный $ \sup f(x,y) =1/4 $ "достигается" на бесконечности:
$$ f(x,y)-\frac{1}{4} = -y^2-x^4 \left( y+\frac{1}{2x^2} \right)^2 \le 0 \ , $$
$$ \lim_{k \to \infty}f \left( k, -\frac{1}{2k^2} \right) =\lim_{k \to
\infty} \left( \frac{1}{4}-\frac{1}{4k^4} \right) =\frac{1}{4} \ . $$
Графики ((:polynomialm#экстремумы_полинома линий уровня)) функции $ f_{} $, т.е. кривых $ f(x,y)=c $ при различных значениях константы $ c_{} $:
{{ algebra2:optimiz:topog_excase.gif |}}
!!П!! **Пример 2.**((#источники [1])) Имеет ли полином
$$ f(x,y)=x^2-2xy^2+x^4+y^4+xy^5 $$
локальный минимум в точке $ (0_{},0) $?
**Решение.** Здесь \\
младшая форма $ f_2=x^{2} $ --- знакопостоянна; \\
$ f_2+f_3=x^2-2xy^{2} $ --- функция знакопеременная; \\
$ f_2+f_3+f_4=x^2-2xy^2+x^4+y^{4} $ --- функция знакоопределенная; \\
а сама же функция $ f_{} $ --- неопределенная в окрестности $ (0,0_{}) $, т.е. в этой точке она не имеет экстремума.
==Источники==
[1]. **Малкин И.Г.** //Теория устойчивости движения.// М.Наука,1966