!!§!! Вспомогательная страница к пункту ((:algebra2:optimiz:distance#расстояние_от_точки_до_линейного_многообразия_плоскости
РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ЛИНЕЙНОГО МНОГООБРАЗИЯ))
----
!!Т!! **Теорема.** //Ближайшая к точке// $ X_{0} $// точка многообразия//
$$
\mathbb M= \{ Y_0+\lambda_1 Y_1+\dots+\lambda_k Y_k \quad \mid \quad
\{\lambda_1,\dots,\lambda_k\} \subset {\mathbb R} \}
$$
//при фиксированных линейно независимых столбцах//
$$ \{Y_0,Y_1,\dots,Y_k \}\subset {\mathbb R}^n$$
//определяется по формуле//
$$
X_{\ast}=Y_0+ L(L^{\top}\cdot L_{})^{-1} L^{\top} (X_0-Y_0) \, .
$$
//Здесь//
$$
L=\left[ Y_1|\dots|Y_k \right]_{n\times k} \, ,
$$
//а// $ |_{} $ //означает ((:algebra2#конкатенация конкатенацию))//.
**Доказательство.** На основании ((:algebra2:optimiz:distance#расстояние_от_точки_до_линейного_многообразия_плоскости теоремы 2)) расстояние $ d_{} $ от точки $ X_{0} $ до многообразия $ \mathbb M_{} $ вычисляется по формуле
$$
d=\sqrt{\frac{\det(\tilde L^{\top}\cdot \tilde L)}{\det( L^{\top}\cdot L)}} \ .
$$
где
$$
\tilde L = \left[ Y_1|\dots|Y_k| X_0-Y_0 \right]_{n\times (k+1)} \, .
$$
Докажем, что $ (X_{\ast}-Y_0)^{\top}(X_{\ast}-Y_0)=d^2 $. Имеем:
$$
d^2=\frac{\det(\tilde L^{\top}\cdot \tilde L)}{\det( L^{\top}\cdot L)}=
$$
$$
=\frac{1}{\det( L^{\top}\cdot L)} \left| \begin{array}{ccccc}
Y_1^{\top}Y_1 & Y_1^{\top}Y_2 & \dots & Y_1^{\top}Y_k & Y_1^{\top}(X_0-Y_0) \\
Y_2^{\top}Y_1 & Y_2^{\top}Y_2 & \dots & Y_2^{\top}Y_k & Y_2^{\top}(X_0-Y_0) \\
\dots & & & & \dots \\
Y_k^{\top}Y_1 & Y_k^{\top}Y_2 & \dots & Y_k^{\top}Y_k & Y_k^{\top}(X_0-Y_0) \\
(X_0-Y_0)^{\top}Y_1 & (X_0-Y_0)^{\top}Y_2 & \dots & (X_0-Y_0)^{\top}Y_k & (X_0-Y_0)^{\top}(X_0-Y_0) \\
\end{array}
\right|=
$$
применяем формулу вычисления ((:algebra2:dets#вычисление_определителей_блочных_матриц окаймленного определителя)):
$$
=(X_0-Y_0)^{\top}(X_0-Y_0)-
$$
$$
-\left((X_0-Y_0)^{\top}Y_1 , (X_0-Y_0)^{\top}Y_2 , \dots , (X_0-Y_0)^{\top}Y_k \right)
\left( L^{\top}\cdot L \right)^{-1} \left(
\begin{array}{c}
Y_1^{\top}(X_0-Y_0) \\
Y_2^{\top}(X_0-Y_0) \\
\dots \\
Y_k^{\top}(X_0-Y_0)
\end{array}
\right)=
$$
$$
=(X_0-Y_0)^{\top}(X_0-Y_0)-(X_0-Y_0)^{\top}L\left( L^{\top}\cdot L \right)^{-1}L^{\top}(X_0-Y_0) =
$$
$$
=(X_0-Y_0)^{\top}(E-L \left(L^{\top}\cdot L\right)^{-1}L^{\top} ) (X_0-Y_0)=
$$
$$
=(X_0-Y_0)^{\top}\left(E-L \left(L^{\top}\cdot L\right)^{-1}L^{\top} \right)^2(X_0-Y_0)=
(X_{\ast}-Y_0)^{\top}(X_{\ast}-Y_0) \, .
$$
Принадлежность точки $ X_{\ast} $ многообразию $ \mathbb M_{} $ устанавливается по аналогии с доказательством теоремы, приведенной
☞
((:mapping:operator#матрица_оператора_проектирования ЗДЕСЬ)).
♦
Матрица $ (L^{\top}\cdot L_{})^{-1} L^{\top} $ из формулировки теоремы является ((:algebra2/inverse/p_inverse#proisxozhdenie псевдообратной)) для матрицы $ L_{} $.