!!§!! Вспомогательная страница к пункту
☞
((:algebra2:optimiz:distance#расстояние_от_точки_до_линейного_многообразия_плоскости
РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ЛИНЕЙНОГО МНОГООБРАЗИЯ))
----
!!Т!! **Теорема** ((#источники [1])). //Расстояние от точки// $ X_{0} \in {\mathbb R}^{n} $ //до ((:linear_space#линейные_многообразия линейного многообразия)) в// $ {\mathbb R}_{}^{n} $, //заданного системой уравнений//
$$
\left\{
\begin{array}{ccc}
c_{11}x_1+c_{12}x_2+\dots+c_{1n}x_n &=& h_1 \\
\dots & & \dots \\
c_{m1}x_1+c_{m2}x_2+\dots+c_{mn}x_n &=& h_m
\end{array}
\right. \quad \iff
$$
$$
\iff \quad CX={\mathcal H} \quad npu \quad
C=\left(
\begin{array}{cccc}
c_{11}& c_{12} & \dots & c_{1n} \\
\dots & & & \dots \\
c_{m1}& c_{m2} & \dots & c_{mn}
\end{array}
\right)_{m\times n} ,\
{\mathcal H} =\left(
\begin{array}{c}
h_1 \\ \vdots \\ h_m
\end{array}
\right),\
X=\left(
\begin{array}{c}
x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n
\end{array}
\right)
$$
//вычисляется по формуле//
$$
d= \sqrt{-\frac{\det \left(
\begin{array}{cc}
C\cdot C^{\top} & CX_0- {\mathcal H} \\
(CX_0- {\mathcal H})^{\top} & 0
\end{array}
\right)
}{\det(C\cdot C^{\top})}} \ .
$$
//Здесь предполагается, что// $ \operatorname{rank}(C)=m
♦