!!§!! Вспомогательная страница к разделу
☞
((:algebra2:optimiz:distance Вычисление расстояния между геометрическими объектами))
----
!!Т!! **Теорема.** //Пусть// $ X^{\top} A_{1} X =1 $ //и// $ X^{\top} A_{2} X =1 $ -- //квадрики в// $ {\mathbb R}^{n} $, //причем первая является эллипсоидом. Квадрики не пересекаются тогда и только тогда, когда матрица// $ A_{1}-A_{2} $ //является ((:2form#znakoopredelennost знакоопределенной)).//
**Доказательство. Необходимость.** Пусть существует точка $ X_0\in \mathbb R^n $ общая обеим поверхностям:
$$ X_0^{\top} A_1 X_0=1 \ u \ X_0^{\top} A_2 X_0=1 \quad \Rightarrow \quad
X_0^{\top} (A_1-A_2) X_0=0 \quad u \quad X_0\ne \mathbb O \ . $$
Следовательно матрица $ A_1-A_{2} $ не является знакоопределенной.
**Достаточность.** Пусть матрица $ A_1-A_{2} $ не является знакоопределенной. Тогда существует
точка $ X_0\in \mathbb R^n, X_0 \ne \mathbb O $ такая, что
$$ X_0^{\top} (A_1-A_2) X_0=0 \Rightarrow X_0^{\top} A_{1}X_0=X_0^{\top} A_2X_0 \ . $$
Последнее равенство останется справедливым и при домножении на константу
$$ t^2=\frac{1}{X_0^{\top}A_1X_0} $$
(выражение в знаменателе положительно поскольку, по предположению теоремы, $ X^{\top} A_{1} X =1 $ определяет эллипсоид). Тогда для точки $ X=tX_0 $ имеем
$$ X^{\top} A_1X=t^2X_0^{\top} A_1X_0=1 \quad u \quad X^{\top} A_2X=t^2X_0^{\top} A_2X_0=t^2X_0^{\top} A_1X_0=1 \ , $$
т.е. она принадлежит обеим квадрикам.
!!=>!! Если $ n $ четно и $ \det (A_2-A_1)<0 $, то эллипсоид $ X^{\top} A_{1} X =1 $ и квадрика
$ X^{\top} A_{2} X =1 $ пересекаются.
!!=>!! Если эллипсоид $ X^{\top} A_{1} X =1 $ касается квадрики $ X^{\top} A_{2} X =1 $ хотя бы в одной точке, то необходимо $ \det (A_2-A_1) = 0 $.
==Источник==
результата теоремы мне не известен. Содержится в качестве упражнения $ 1241 $ в
**Проскуряков И.В.** //Сборник задач по линейной алгебре.// М.Наука. 1974