!!§!! Вспомогательная страница к разделу
☞
((:algebra2:optimiz:distance:torri ЗАДАЧА ФЕРМА-ТОРРИЧЕЛЛИ И ЕЕ РАЗВИТИЕ))
==Задачи==
1.
((#источники [1])). Известно, что минимальная длина дерева Штейнера для вершин квадрата с длиной стороны $ 1_{} $ равна $ 1+ \sqrt{3} $. Показать, что в пространстве $ \mathbb R_{}^{n} $ для $ n_{} $-мерного куба с длиной стороны $ 1_{} $ существует дерево Штейнера длины
$$ 1 + \frac{2^n-1}{\sqrt{3}} \ . $$
2.
Можно ли обобщить численный ((:algebra2:optimiz:distance:torri#численное_решение метод Вайсфельда)) для задачи поиска стационарных точек ((:algebra2:optimiz:distance:torri#стационарные_точки_семейства_потенциалов кулоновского потенциала))? Исследуйте поведение последовательности
$$ \{ P^{(k)}=\Phi(P^{(k-1)}) \}_{k\in \mathbb N} \quad npu \quad
\Phi(P)=\left(\frac{m_1P_1}{|PP_1|^3}+\dots+\frac{m_KP_K}{|PP_K|^3} \right) \bigg/ \left(\frac{m_1}{|PP_1|^3}+\dots+\frac{m_K}{|PP_K|^3} \right) \ ,
$$
в зависимости от выбора $ P^{(0)} $.
3.
Найти координаты вершин и площадь максимального равностороннего треугольника, описанного вокруг треугольника $ P_{1}P_2P_3 $.
**Проверка.** Для $ P_1=(1,1),P_2=(3,5),P_3=(7,2) $ координаты вершин искомого треугольника
$$ \left(\frac{230-358\sqrt{3}}{229}, \frac{1023-63\sqrt{3}}{229} \right); \left(\frac{4812+529\sqrt{3}}{687}, \frac{3756+269\sqrt{3}}{687} \right) ; \left( \frac{3438+71\sqrt{3}}{687}, \frac{1008-2021\sqrt{3}}{687} \right) ; $$
площадь $ = 41/\sqrt{3}+22 $.
==Источники==
[1]. **Задача E 3321.** //The American Math. Monthly.// 1989, V. 96, N 4.