**((:users:au:index Автор))** --- **((:matricese:optimize:distancee:torri_e:inverse English version))**
----
!!§!! Вспомогательная страница к разделу
☞
((algebra2:optimiz:distance:torri#обратная_задача ЗАДАЧА ФЕРМА-ТОРРИЧЕЛЛИ И ЕЕ РАЗВИТИЕ)).
----
==Обратная задача для обобщенной задачи Ферма-Торричелли==
~~TOC~~
**Задача.** Подобрать величины весов $ \{m_j\}_{j=1}^K $ так, чтобы минимум функции $ \displaystyle f(P)=\sum_{j=1}^K m_j |PP_j| $ находился в наперед заданной точке $ P_{\ast} \not\in \{P_j\}_{j=1}^K $.
===Плоский случай==
!!Т!! **Теорема** ((#источники [3])). //Пусть вершины треугольника// $ P_{1}P_2P_3 $ //пронумерованы против часовой стрелки. Тогда для значений//
$$
m_1^{\ast} = |P_{\ast}P_1| \cdot \left|
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
x_{\ast} & x_2 & x_3 \\
y_{\ast} & y_2 & y_3
\end{array}
\right|, \
m_2^{\ast} = |P_{\ast}P_2| \cdot \left|
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
x_1 & x_{\ast} & x_3 \\
y_1 & y_{\ast} & y_3
\end{array}
\right|,\
m_3^{\ast} = |P_{\ast}P_3| \cdot \left|
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
x_1 & x_2 & x_{\ast} \\
y_1 & y_2 & y_{\ast}
\end{array}
\right|
$$
//функция//
$$ F(x,y) = \sum_{j=1}^3 m_{j}^{\ast} \sqrt{(x-x_j)^2+(y-y_j)^2} $$
//имеет стационарную точкой точку// $ P_{\ast}=(x_{\ast},y_{\ast}) $. //Если последняя выбирается внутри треугольника//
$ P_{1}P_2P_3 $, //то величины// $ m_1^{\ast},m_2^{\ast},m_3^{\ast} $ //все положительны и//
$$
F(x_{\ast},y_{\ast})=\min_{(x,y)\in \mathbb R^2} F(x,y)=
\left|
\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 1\\
x_{\ast} & x_1 & x_2 & x_3 \\
y_{\ast} & y_1 & y_2 & y_3 \\
x_{\ast}^2+y_{\ast}^2 & x_1^2+y_1^2 & x_2^2+y_2^2 & x_3^2+y_3^2
\end{array}
\right| \ .
$$
**Доказательство**. Подставим выражения для весов в уравнения для частных производных функции $ F_{} $:
$$
\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x} &= \displaystyle \frac{m_1^{\ast}(x_{\ast}-x_1)}{\sqrt{(x_{\ast}-x_1)^{2}+(y_{\ast}-y_1)^2}}+\frac{m_2^{\ast}(x_{\ast}-x_2)}{\sqrt{(x_{\ast}-x_1)^{2}+(y_{\ast}-y_1)^2}}+ \frac{m_3^{\ast}(x_{\ast}-x_3)}{\sqrt{(x_{\ast}-x_3)^2+(y_{\ast}-y_3)^2}}, \\
\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y} &= \displaystyle \frac{m_1^{\ast}(y_{\ast}-y_1)}{\sqrt{(x_{\ast}-x_1)^{2}+(y_{\ast}-y_1)^2}}+\frac{m_2^{\ast}(y_{\ast}-y_2)}{\sqrt{(x_{\ast}-x_1)^{2}+(y_{\ast}-y_1)^2}}+ \frac{m_3^{\ast}(y_{\ast}-y_3)}{\sqrt{(x_{\ast}-x_3)^2+(y_{\ast}-y_3)^2}}.
\end{array}
\right.
$$
Получаем
$$
(x_{\ast}-x_1)\left|
\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
x_{\ast} & x_2 & x_3 \\
y_{\ast} & y_2 & y_3
\end{array}
\right|+
(x_{\ast}-x_2)
\left|
\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
x_1 & x_{\ast} & x_3 \\
y_1 & y_{\ast} & y_3
\end{array}
\right|+
(x_{\ast}-x_3)
\left|
\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
x_1 & x_2 & x_{\ast} \\
y_1 & y_2 & y_{\ast}
\end{array}
\right| \ ,
$$
$$
(y_{\ast}-y_1)\left|
\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
x_{\ast} & x_2 & x_3 \\
y_{\ast} & y_2 & y_3
\end{array}
\right|+
(y_{\ast}-y_2)
\left|
\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
x_1 & x_{\ast} & x_3 \\
y_1 & y_{\ast} & y_3
\end{array}
\right|+
(y_{\ast}-y_3)
\left|
\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
x_1 & x_2 & x_{\ast} \\
y_1 & y_2 & y_{\ast}
\end{array}
\right| \ .
$$
Нужно показать, что оба выражения равны $ 0_{} $. Воспользуемся для доказательства некоторыми свойствами определителя. Представим первую сумму в виде определителя $ 4 $-го порядка:
$$
\left|
\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 1\\
x_{\ast} & x_1 & x_2 & x_3 \\
y_{\ast} & y_1 & y_2 & y_3 \\
0 & x_{\ast}-x_1 & x_{\ast}-x_2 & x_{\ast}-x_3
\end{array}
\right|
$$
(см. ☞ ((:algebra2:dets#элементарные_свойства_определителя разложение определителя)) по последней строке).
Теперь прибавим к последней строке вторую:
$$
\left|
\begin{array}{llll}
1 & 1 & 1 & 1\\
x_{\ast} & x_1 & x_2 & x_3 \\
y_{\ast} & y_1 & y_2 & y_3 \\
x_{\ast} & x_{\ast} & x_{\ast} & x_{\ast}
\end{array}
\right| \ ;
$$
величина определителя не изменится (свойство
6
☞
((:algebra2:dets#элементарные_свойства_определителя ЗДЕСЬ))).
У получившегося определителя две строки пропорциональны, следовательно (свойства
3
и
4
☞
((:algebra2:dets#элементарные_свойства_определителя ЗДЕСЬ))) он равен $ 0_{} $. Для второй суммы доказательство аналогично.
Оценим теперь $ F(x_{\ast},y_{\ast}) $:
$$
F(x_{\ast},y_{\ast}) =
$$
$$
=
\left[(x_{\ast}-x_1)^2+(y_{\ast}-y_1)^2 \right] \left|
\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
x_{\ast} & x_2 & x_3 \\
y_{\ast} & y_2 & y_3
\end{array}
\right|
+ \left[(x_{\ast}-x_2)^2+(y_{\ast}-y_2)^2 \right]
\left|
\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
x_1 & x_{\ast} & x_3 \\
y_1 & y_{\ast} & y_3
\end{array}
\right|+
$$
$$
+ \left[(x_{\ast}-x_3)^2+(y_{\ast}-y_3)^2 \right]
\left|
\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
x_1 & x_2 & x_{\ast} \\
y_1 & y_2 & y_{\ast}
\end{array}
\right| \ .
$$
Для того, чтобы показать эквивалентность этого выражения определителю четвертого порядка из теоремы, разобьем его на $ x_{} $- и $ y_{} $-части. Оставим сначала только члены, содержащие букву $ x_{} $ в квадратных скобках предыдущей формулы:
$$
(x_{\ast}-x_1)^2
\left|
\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
x_{\ast} & x_2 & x_3 \\
y_{\ast} & y_2 & y_3
\end{array}
\right|
+ (x_{\ast}-x_2)^2
\left|
\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
x_1 & x_{\ast} & x_3 \\
y_1 & y_{\ast} & y_3
\end{array}
\right|
+ (x_{\ast}-x_3)^2
\left|
\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
x_1 & x_2 & x_{\ast} \\
y_1 & y_2 & y_{\ast}
\end{array}
\right| \ .
$$
По аналогии с доказательством первой части теоремы, представим эту линейную комбинацию в виде определителя четвертого порядка:
$$
\left|
\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 1\\
x_{\ast} & x_1 & x_2 & x_3 \\
y_{\ast} & y_1 & y_2 & y_3 \\
0 & (x_{\ast}-x_1)^2 & (x_{\ast}-x_2)^2 & (x_{\ast}-x_3)^2
\end{array}
\right| \ .
$$
Прибавим к последней строке первую строку, умноженную на $ (-x_{\ast}^2) $ и вторую, умноженную на $ 2\, x_{\ast} $:
$$
\left|
\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 1\\
x_{\ast} & x_1 & x_2 & x_3 \\
y_{\ast} & y_1 & y_2 & y_3 \\
x_{\ast}^2 & x_1^2 & x_2^2 & x_3^2
\end{array}
\right| \ .
$$
Аналогично доказывается равенство
$$
(y_{\ast}-y_1)^2 \left|
\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
x_{\ast} & x_2 & x_3 \\
y_{\ast} & y_2 & y_3
\end{array}
\right|
+ (y_{\ast}-y_2)^2 \left|
\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
x_1 & x_{\ast} & x_3 \\
y_1 & y_{\ast} & y_3
\end{array}
\right|
+(y_{\ast}-y_3)^2
\left|
\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
x_1 & x_2 & x_{\ast} \\
y_1 & y_2 & y_{\ast}
\end{array}
\right| =
\left|
\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 1\\
x_{\ast} & x_1 & x_2 & x_3 \\
y_{\ast} & y_1 & y_2 & y_3 \\
y_{\ast}^2 & y_1^2 & y_2^2 & y_3^2
\end{array}
\right| \ .
$$
Линейное свойство определителя доказывает справедливость выражения для $ F(x_{\ast},y_{\ast}) $ из теоремы.
♦
===Геометрический смысл величин из теоремы==
Величина
$$
\left|
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
x_{\ast} & x_2 & x_3 \\
y_{\ast} & y_2 & y_3
\end{array}
\right|
$$
равна ((:algebra2:dets#геометрические_приложения_определителя удвоенной площади треугольника)) $ P_{\ast} P_2P_3 $.
{{ algebra2:optimiz:distance:torri:inverse1.jpg |}}
Равенства
$$
(x_{\ast}-x_1)\left|
\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
x_{\ast} & x_2 & x_3 \\
y_{\ast} & y_2 & y_3
\end{array}
\right|+
(x_{\ast}-x_2)
\left|
\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
x_1 & x_{\ast} & x_3 \\
y_1 & y_{\ast} & y_3
\end{array}
\right|+
(x_{\ast}-x_3)
\left|
\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
x_1 & x_2 & x_{\ast} \\
y_1 & y_2 & y_{\ast}
\end{array}
\right|=0 \ ,
$$
$$
(y_{\ast}-y_1)\left|
\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
x_{\ast} & x_2 & x_3 \\
y_{\ast} & y_2 & y_3
\end{array}
\right|+
(y_{\ast}-y_2)
\left|
\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
x_1 & x_{\ast} & x_3 \\
y_1 & y_{\ast} & y_3
\end{array}
\right|+
(y_{\ast}-y_3)
\left|
\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
x_1 & x_2 & x_{\ast} \\
y_1 & y_2 & y_{\ast}
\end{array}
\right|=0 \ ,
$$
появившиеся в доказательстве теоремы, эквивалентны известному геометрическому свойству ((#источники [1])):
$$ \overrightarrow{P_{\ast}P_1} \cdot S_{_{\triangle P_{\ast}P_2P_3}}+\overrightarrow{P_{\ast}P_2} \cdot S_{_{\triangle P_{\ast}P_3P_1}}+\overrightarrow{P_{\ast}P_3} \cdot S_{_{\triangle P_{\ast}P_1P_2}}=\overrightarrow{\mathbb O} \ . $$
Геометрический смысл определителя
$$
\left|
\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 1\\
x_{\ast} & x_1 & x_2 & x_3 \\
y_{\ast} & y_1 & y_2 & y_3 \\
x_{\ast}^2+y_{\ast}^2 & x_1^2+y_1^2 & x_2^2+y_2^2 & x_3^2+y_3^2
\end{array}
\right|
$$
связан с величиной
$$
h=-\frac{1}{S} \left|
\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 1\\
x_{\ast} & x_1 & x_2 & x_3 \\
y_{\ast} & y_1 & y_2 & y_3 \\
x_{\ast}^2+y_{\ast}^2 & x_1^2+y_1^2 & x_2^2+y_2^2 & x_3^2+y_3^2
\end{array}
\right| \quad npu \quad S=
\left|
\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1\\
x_1 & x_2 & x_3 \\
y_1 & y_2 & y_3
\end{array}
\right| ,
$$
известной как **степень точки** $ P_{\ast} $ **относительно окружности**, проходящей через точки $ P_1, P_2 $ и $ P_3 $ (описанной окружности треугольника) ((#источники [2])).
Если обозначить через $ C_{} $ центр этой окружности, то
$$
h=|CP_{\ast}|^2-|CP_j|^2 \quad npu \ j \in \{1,2,3\} \ ,
$$
и если $ P_{\ast} $ лежит внутри треугольника, то эта величина отрицательна.
===Пространственный случай==
Как аналитика, так и иллюстрирующие ее геометрические соображения позволяют немедленно обобщить полученные результаты для случая $ \mathbb R^3 $ и $ K=4 $ точек. Пусть точки $ \{P_j=(x_{j},y_j,z_j) \}_{j=1}^4 $ некомпланарны и пронумерованы таким образом, чтобы выполнялось условие:
$$
V=\left|
\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 1 \\
x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\
y_1 & y_2 & y_3 & y_4 \\
z_1 & z_2 & z_3 & z_4
\end{array}
\right| > 0 \ .
$$
!!Т!! **Теорема** ((#источники [3])). //Положим//
$$
m_1^{\ast}=
|P_{\ast}P_1|\cdot \left|
\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 1 \\
x_{\ast} & x_2 & x_3 & x_4 \\
y_{\ast} & y_2 & y_3 & y_4 \\
z_{\ast} & z_2 & z_3 & z_4
\end{array}
\right|,\
m_2^{\ast}=
|P_{\ast}P_2|\cdot \left|
\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 1 \\
x_1 & x_{\ast} & x_3 & x_4 \\
y_1 & y_{\ast} & y_3 & y_4 \\
z_1 & z_{\ast} & z_3 & z_4
\end{array}
\right|,\ \dots ;
$$
//т.е.// $ m_j^{\ast}=|P_{\ast}P_j| V_j $, //где значение// $ V_j $ //равно определителю, полученному из определителя// $ V_{} $ //заменой//
$ j $//-го столбца на//[[$ {}^{\top} $ означает ((:algebra2#транспонирование транспонирование)).]] $ \left[1,x_{\ast},y_{\ast},z_{\ast} \right]^{\top} $. //При таких значениях весов функция//
$$ F(x,y,z) = \sum_{j=1}^4 m_{j}^{\ast}\sqrt{(x-x_j)^2+(y-y_j)^2+(z-z_j)^2} $$
//имеет своей стационарной точкой// $ P_{\ast}=(x_{\ast},y_{\ast},z_{\ast}) $.
//Если// $ P_{\ast} $ //лежит внутри тетраэдра// $ P_1P_2P_3P_4 $ //то значения// $ \{m_{j}^{\ast} \} $// все положительны и//
$$
F(x_{\ast},y_{\ast},z_{\ast})=\min_{(x,y,z)\in \mathbb R^3} F(x,y,z)
$$
$$
=-\
\left|
\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
x_{\ast} & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\
y_{\ast} & y_1 & y_2 & y_3 & y_4 \\
z_{\ast} & z_1 & z_2 & z_3 & z_4 \\
x_{\ast}^2+y_{\ast}^2+z_{\ast}^2 & x_1^2+y_1^2+z_1^2 & x_2^2+y_2^2+z_2^2 & x_3^2+y_3^2+z_3^2 & x_4^2+y_4^2+z_4^2
\end{array}
\right| \ .
$$
**Доказательств**о полностью аналогично доказательству для ((#плоский_случай плоского случая)).
Геометрический смысл величин $ V,\{V_j\}, F(x_{\ast},y_{\ast},z_{\ast}) $ также аналогичен смыслу соответствующих величин для плоского случая. Величина $ V_{} $ равна шестикратному объему тетраэдра $ P_1P_2P_3P_4 $. Величина
$$
-\frac{1}{V}\
\left|
\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
x_{\ast} & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\
y_{\ast} & y_1 & y_2 & y_3 & y_4 \\
z_{\ast} & z_1 & z_2 & z_3 & z_4 \\
x_{\ast}^2+y_{\ast}^2+z_{\ast}^2 & x_1^2+y_1^2+z_1^2 & x_2^2+y_2^2+z_2^2 & x_3^2+y_3^2+z_3^2 & x_4^2+y_4^2+z_4^2
\end{array}
\right|
$$
известна как **степень точки** $ P_{\ast} $ **относительно сферы** ((#источники [2])), описанной вокруг тетраэдра;
она равна
$$ |CP_{\ast}|^2-|CP_j|^2 \quad npu \ j\in \{1,2,3,4 \} \ , $$
где $ C_{} $ означает центр описанной сферы.
Если точка $ P_{\ast} $ лежит внутри тетраэдра, то эта величина отрицательна.
===Многомерный случай==
!!Т!! **Теорема** ((#источники [4])). //Пусть точки// $ \{P_j=(x_{j1},\dots,x_{jn})\}_{j=1}^{n+1} $ //некомпланарны и пронумерованы таким образом, что выполняется условие//
$$
V=
\left|
\begin{array}{llll}
1 & 1 & \dots & 1\\
x_{11} & x_{21} & \dots & x_{n+1,1} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
x_{1n} & x_{2n} & \dots & x_{n+1,n}
\end{array}
\right| > 0 \ .
$$
//Обозначим// $ V_j $ //определитель, получающийся заменой// $ j_{} $//-го столбца определителя// $ V_{} $ //на столбец// $ \left[1,x_{\ast 1},\dots,x_{\ast n} \right]^{\top} $.
//Тогда для значений весов//
$$
\left\{m_j^{\ast} = |P_{\ast}P_j| V_j \right\}_{j=1}^{n+1}
$$
//функция//
$$
F(P) = \sum_{j=1}^{n+1} m_{j}^{\ast} |PP_j|
$$
//имеет своей стационарной точкой точку// $ P_{\ast}=(x_{\ast 1},\dots,x_{\ast n}) $. //Если// $ P_{\ast} $ //лежит внутри симплекса// $ P_1P_2\dots P_{n+1} $, //то все
значения// $ \{ m_j^{\ast} \} $ //положительны и//
$$
F(P_{\ast})= \displaystyle \sum_{j=1}^{n+1} V_j |P_{\ast}P_j|^2
=-
\left|
\begin{array}{lllll}
1 & 1 & \dots & 1 & 1 \\
x_{11} & x_{21} & \dots & x_{n+1,1} & x_{\ast 1} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
x_{1n} & x_{2n} & \dots & x_{n+1,n} & x_{\ast n} \\
\displaystyle \sum_{\ell=1}^n x_{1\ell}^2 & \displaystyle \sum_{\ell=1}^n x_{2\ell}^2 & \dots & \displaystyle \sum_{\ell=1}^n x_{n+1,\ell}^2 & \displaystyle \sum_{\ell=1}^n x_{\ast\ell}^2
\end{array}
\right| \ .
$$
==Источники==
[1].** Прасолов В.В.** //Задачи по планиметрии. Часть 2.// М.Наука. 1991, с. 10
[2]. **Uspensky J.V.** //Theory of Equations.// New York. McGraw-Hill. 1948
[3]. **Uteshev A.Yu.** //Analytical Solution for the Generalized Fermat-Torricelli Problem//. Amer.Math.Monthly. V. **121**, N 4, 318-331, 2014. Текст
☞
((http://www.apmath.spbu.ru/ru/staff/uteshev/publ/publ1.pdf ЗДЕСЬ))
[4]. **Uteshev A.Yu., Yashina M.V.** //Stationary Points for the Family of Fermat-Torricelli-Coulomb-like potential functions//. Proc. 15th Workshop CASC (Computer Algebra in Scientific Computing), Berlin 2013. Springer. Lecture Notes in Computer Science. V.8136 , 2013, P. 412-426.