!!§!! Вспомогательная страница к разделу
☞
((:algebra2:optimiz:distance:torri ЗАДАЧА ФЕРМА-ТОРРИЧЕЛЛИ И ЕЕ РАЗВИТИЕ))
Пусть точка $ P \in \mathbb R^n $ является решением системы уравнений
$$ \sum_{j=1}^K m_j \frac{PP_j}{|PP_j|}=\mathbb O_{n\times 1}\, . $$
Тогда она является точкой минимума функции $ F(P)=\sum_{j=1}^Km_j |PP_j| $.
Действительно, для $ \forall Y \in \mathbb R^n $ имеем на основании ((:euclid_space#svojstva теоремы Коши-Буняковского)) для
стандартного скалярного произведения $ \langle . , . \rangle $ векторов из $ \mathbb R^n $:
$$
\sum_{j=1}^K m_j |YP_j| \ge \sum_{j=1}^K m_j \frac{\langle YP_j, PP_j \rangle}{|PP_j|}=
$$
$$
=\sum_{j=1}^K m_j \frac{\langle YP+PP_j, PP_j \rangle}{|PP_j|}=\sum_{j=1}^K m_j|PP_j| + \sum_{j=1}^K m_j
\frac{\langle YP, PP_j \rangle}{|PP_j|}=
$$
Далее, на основании ((:euclid_space#opredelenija свойств))
2
и
3
скалярного произведения:
$$
=\sum_{j=1}^K m_j|PP_j| +\big\langle YP, \sum_{j=1}^K m_j \frac{PP_j}{|PP_j|} \big\rangle =\sum_{j=1}^K m_j|PP_j| \, .
$$