==Стационарные точки кулоновского потенциала==
~~TOC~~
**Задача.** Найти стационарные точки функции
$$
F(P)= \sum_{j=1}^K \frac{m_j}{\left|PP_j \right|} \ .
$$
Здесь $ \{P,P_1,\dots,P_K\} \subset \mathbb R^3 , \{ m_{j} \}_{j=1}^K \subset \mathbb R $.
Пусть в пространстве задана конфигурация
$$
\left\{
\begin{array}{c|c|c} P_1 & \dots & P_K \\
m_1 & \dots & m_K
\end{array}
\right\}
$$
из $ K_{} $ фиксированных (неподвижных) точечных заряженных частиц, которые воздействуют на пробный точечный единичный заряд, помещенный в точку $ P_{} $; при этом сила воздействия $ j_{} $-го заряда прямо пропорциональна величине заряда $ m_{j} $ и обратно пропорциональна расстоянию от этого заряда до пробного. Требуется найти точку $ P_{\ast} \in \mathbb R^{3}_{} $, при помещении в которую пробного заряда, последний будет неподвижен (находиться в положении равновесия).
Для случая плоскости и $ K=3 $ зарядов картинки с эквипотенциальными кривыми можно найти у Д.Х.Джинса ((#источники [3])).
**Гипотеза [Максвелл]** ((#источники [2])). Число стационарных точек кулоновского поля любой конфигурации $ K_{} $ стационарных зарядов в $ \mathbb R^{3} $ не превосходит $ (K-1)^2 $.
__Не доказана__[[По состоянию на 2020 г.]].
===Преобразование градиентной системы к алгебраическому виду==
Система уравнений для определения координат стационарных точек функции $ F(P) $ получается приравниванием градиента этой функции нулевому вектору:
$$
\frac{D\, F}{D\, P} = \mathbb O \ .
$$
Эта система явным образом содержит радикалы и, для того чтобы преобразовать ее к алгебраической, придется несколько раз возводить уравнения в квадрат.
Даже для простейших случаев такое //квадрирование// приводит к уравнениям очень больших степеней.
!!П!! **Пример.** Пусть $ P_1=(1,1), P_2=(5,1) , P_3=(2,6) $.
Проанализировать поведение множества стационарных точек функции
$$
F(x,y)=\frac{1}{\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}}+ \frac{m_2}{\sqrt{(x-5)^2+(y-1)^2}}+\frac{m_3}{\sqrt{(x-2)^2+(y-6)^2}}
$$
в зависимости от значений параметров $ m_2, m_3 $.
**Решение.** Градиентная система уравнений
$$
\begin{array}{rrr}
\displaystyle \frac{x-1}{\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}^3}& \displaystyle +\frac{m_2(x-5)}{\sqrt{(x-5)^2+(y-1)^2}^3}& \displaystyle +\frac{m_3(x-2)}{\sqrt{(x-2)^2+(y-6)^2}^3}=0\, , \\
\displaystyle \frac{y-1}{\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}^3}& \displaystyle +\frac{m_2(y-1)}{\sqrt{(x-5)^2+(y-1)^2}^3}& \displaystyle +\frac{m_3(y-6)}{\sqrt{(x-2)^2+(y-6)^2}^3}=0 \,
\end{array}
$$
может быть преобразована в алгебраическую в ходе следующей процедуры. Обозначим $ A_1, A_2 $ и $ A_3 $ слагаемые в любом из этих уравнений.
Последовательное возведение в степень по схеме
$$ A_1+A_2+A_3=0 \quad \Rightarrow \quad (A_1+A_2)^2=A_3^2 \quad \Rightarrow \quad (2\, A_1A_2)^2 = (A_3^2-A_1^2 - A_2^2)^2 $$
и последующее за этим приведение каждого уравнения к общему знаменателю, позволяет свести исходную систему
к алгебраической
$$
F_1(x,y,m_2,m_3)=0,\ F_2(x,y,m_2,m_3)=0 \ .
$$
Здесь $ F_{1} $ и $ F_{2} $ --- полиномы степени $ 28 $ по переменным $ x_{} $ и $ y_{} $ с коэффициентами порядков до $ 10^{19} $. Нахождение всех решений
этой системы --- даже для конкретных (фиксированных) значений параметров $ m_2 $ и $ m_3 $ --- становится вычислительно сложной задачей. А ведь требуется решить еще более
сложную задачу: проследить динамику этого множества при изменении параметров!
♦
Попробуем получить альтернативную систему алгебраических уравнений. Рассмотрим в качестве стартовой градиентную систему уравнений для трехточечного кулоновского потенциала на плоскости:
$$
\left\{
\begin{array}{ccc}
m_1\frac{(x-x_1)}{|PP_1|^3}+m_2\frac{(x-x_2)}{|PP_2|^3}+m_3\frac{(x-x_3)}{|PP_3|^3}&=&0, \\
\\
m_1\frac{(y-y_1)}{|PP_1|^3}+m_2\frac{(y-y_2)}{|PP_2|^3}+m_3\frac{(y-y_3)}{|PP_3|^3}&=&0. \\
\end{array}
\right.
$$
Эта система является __линейной__ относительно величин $ m_1,m_2,m_3 $. Разрешим ее, например, по ((:algebra2:linearsystems#формулы_крамера формулам Крамера)).
!!Т!! **Теорема 1** ((#источники [?])).//Обозначим//
$$
S_1(x,y)=
\left|
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
x & x_2 & x_3 \\
y & y_2 & y_3
\end{array}
\right|,\
S_2(x,y)=
\left|
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
x_1 & x & x_3 \\
y_1 & y & y_3
\end{array}
\right|,\
S_3(x,y)=
\left|
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
x_1 & x_2 & x \\
y_1 & y_2 & y
\end{array}
\right| \, .
$$
//Любое решение системы//
$$ \partial F / \partial x = 0, \partial F / \partial y = 0 \ , $$
//отличное от// $ \{ P_j \} $, //удовлетворяет соотношению//
$$
m_1:m_2:m_3=|PP_1|^{3} S_1(x,y):|PP_2|^{3} S_2(x,y):|PP_3|^{3} S_3(x,y) \ .
$$
Фактически, последнее соотношение задает ((:algebra2:linearsystems#система_однородных_уравнений фундаментальную систему решений)) для системы линейных однородных уравнений.
!!=>!! Стационарные точки функции
$$ F(P) =\frac{m_1}{|PP_1|}+\frac{m_2}{|PP_2|}+\frac{m_3}{|PP_3|} $$
удовлетворяют системе алгебраических уравнений
$$
\left\{ \begin{array}{lll}
\widetilde F_1(x,y,m_1,m_2,m_3)&=m_2^2S_1^2(x,y) |PP_1|^{6} - m_1^2S_2^2(x,y) |PP_2|^{6} & =0, \\
\widetilde F_2(x,y,m_1,m_2,m_3)&=m_2^2S_3^2(x,y) |PP_3|^{6} - m_3^2S_2^2(x,y) |PP_2|^{6} & =0.
\end{array}
\right.
$$
Здесь $ \deg_{[x,y]} F_j(x,y,m_1,m_2,m_3)=8 $, что является существенным улучшением в сравнении с изначальным подходом, основанном на последовательном квадрировании.
Метод очевидным образом обобщается на случай $ 4 $-х зарядов в $ \mathbb R^{3} $, да и вообще на случай $ K=n+1 $ зарядов в $ \mathbb R^{n} $. Случай когда
число зарядов $ K_{} $ превышает размерность пространства больше чем на $ 1_{} $ рассматривается в той же идеологии, но с меньшим выигрышем относительно степени конечных алгебраических уравнений.
===Кулоновский потенциал: плоский случай==
Вооружившись новым методом сведения градиентной системы к алгебраической, вернемся к решению примера из предыдущего пункта.
!!П!! **Пример.**
Проанализировать поведение множества стационарных точек кулоновского потенциала
$$
F(x,y)=\frac{1}{\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}}+ \frac{m_2}{\sqrt{(x-5)^2+(y-1)^2}}+\frac{m_3}{\sqrt{(x-2)^2+(y-6)^2}}
$$
в зависимости от значений $ m_2, m_3 $, рассматриваемых в качестве параметров.
**Решение.** Cистема алгебраических уравнений из предыдущего пункта для нашего примера имеет вид
$$
\widetilde F_1(x,y,m_2,m_3)=0,\ \widetilde F_2(x,y,m_2,m_3)=0
$$
при
$$
\begin{array}{c}
\widetilde F_1(x,y,m_2,m_3)= \\
=m_2^2\,(5\,x+3\,y-28)^2(x^2+y^2-2\,x-2\,y+2)^3 -(5\,x-y-4)^2(x^2+y^2-10\,x-2\,y+26)^3 , \\
\widetilde F_2(x,y,m_2,m_3)= \\
=m_2^2\,(4\,y-4)^2(x^2+y^2-4\,x-12\,y+40)^3 -m_3^2\,(5\,x-y-4)^2(x^2+y^2-10\,x-2\,y+26)^3.
\end{array}
$$
Допустим, мы хотим исследовать динамику множества вещественных решений этой системы при различных фиксированных значениях $ m_2 $ и для произвольных значений $ m_3 $. Для получения неявного задания кривой
$$ \mathrm{H} (x,y,m_2) = 0 \ , $$
которая будет состоять из решений системы при всевозможных значениях $ m_3 $, мы должны исключить этот параметр из системы. Но он, фактически, уже исключен: первое уравнение от него не зависит! Иными словами, утверждается, что уравнение
$$ m_2^2\,(5\,x+3\,y-28)^2(x^2+y^2-2\,x-2\,y+2)^3 -(5\,x-y-4)^2(x^2+y^2-10\,x-2\,y+26)^3=0 $$
при каждом фиксированном значении $ m_{2}=m_{2\ast} $ определяет на плоскости $ (x,y) $ кривую, целиком состоящую из стационарных точек семейства кулоновских потенциалов
$$ \left\{ \frac{1}{\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}}+ \frac{m_{2\ast}}{\sqrt{(x-5)^2+(y-1)^2}}+\frac{m_3}{\sqrt{(x-2)^2+(y-6)^2}} \right\}_{m_3 \in \mathbb R} \ . $$
Изобразим несколько таких кривых на рисунке (числа на кривых обозначают величины $ m_2 $; ветви одинакового цвета соответствуют одинаковым значениям этого заряда).
{{ algebra2:optimiz:distance:torri:figure011.png |}}
Продолжим наше исследование с целью ответа на вопрос: сколько стационарных точек имеет рассматриваемый потенциал в зависимости от значений зарядов?
Вычислим ((:dets:resultant#исключение_переменных_в_системе_полиномиальных_уравнений результант)) полиномов по переменной $ x_{} $
$$
\mathcal Y(y,m_2,m_3)=\mathcal R_{x}(\tilde F_1,\tilde F_2) \ .
$$
Он факторизуется следующим образом:
$$
\mathcal Y(y,m_2,m_3)\equiv 2^{56}\cdot 5^4 \cdot 13^6 \cdot 17^6\, (y-1)^8(y-6)^4 m_2^{16} \mathcal Y_{34}(y,m_2,m_3), \ \deg_y \mathcal Y_{34} =34 \ .
$$
Выражение для полинома $ \mathcal Y_{34}(y,m_2,m_3) $ приведено[[На ссылочной странице он обозначен как $ \mathcal Y(y,m_2,m_3) $, т.е. без индекса $ 34 $.]]
☞
((:matricese:optimize:coulomb_e:vspom_1 ЗДЕСЬ)), и именно он отвечает за ординаты стационарных точек рассматриваемого потенциала.
Для любого набора значений параметров $ m_2 $ и $ m_3 $ возможно определить точное число вещественных корней этого полинома и локализовать их в идеологии символьных (аналитических) вычислений
(см. раздел
☞
((:polynomial:zero_local#локализация_корней_полинома ЛОКАЛИЗАЦИЯ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА))). Заметим, что нас интересуют только корни в интервале $ ]1,6[ $. Каждому из этих корней ставится в пару соответствующее значение абсциссы стационарной точки. Это соответствие можно оформить в виде явной функциональной зависимости $ x=r(y) $ при функции $ r_{} $ --- рациональной. Метод нахождения такого представления изложен в пункте
☞
((:dets:resultant#исключение_переменных_в_системе_полиномиальных_уравнений "Исключение переменных в системе полиномиальных уравнений")).
Так, к примеру, выбору $ m_2=2, m_3=2 $ соответствует случай ровно двух стационарных точек соответствующего потенциала:
$$ \mathfrak S_1 \approx (2.666216,\, 1.234430),\ \mathfrak S_2 \approx (2.744834,\, 3.244859) ; $$
выбору же $ m_2=2, m_3=4 $ --- случай четырех стационарных точек:
$$ \mathfrak S_1 \approx (1.941246,\, 2.552370) , \mathfrak S_2 \approx (2.655622,\, 1.638871) ,\ \mathfrak S_3 \approx (3.330794,\ 2.826444),
$$
и
$$ \mathfrak N \approx (2.552939,\, 2.271691) \ . $$
Случай наличия ровно трех стационарных точек у кулоновского потенциала является исключительным, практически невероятным при случайном выборе параметров. Соотношение, гарантирующее такой исключительный случай, представляет интерес как граница
на плоскости параметров $ (m_2,m_3) $ между множеством значений, которые соответствуют случаю двух стационарных точек и тем множеством значений, что соответствуют случаю наличия четырех стационарных точек. Для получения этой границы --- т.е. **бифуркационных значений** для параметров --- следует выяснить условия когда у полинома $ \mathcal Y_{34}(y,m_2,m_3) $, рассматриваемого относительно переменной $ y_{} $, меняется число вещественных корней. Для этой цели мы должны вычислить ((:dets:discrim дискриминант)) этого полинома по переменной $ y_{} $:
$$
\mathcal D_y( \mathcal Y_{34}(y,m_2,m_3)) \ .
$$
Это выражение является полиномом от параметров $ m_2,m_3 $, который факторизуется следующим образом:
$$ \Xi^2(m_2,m_3) \Psi(m_2,m_3) \quad npu \quad \deg \Xi=444, \deg \Psi =48 \ . $$
Обращение его в нуль возможно в результате двух принципиально различных сценариев. Условие $ \Xi(m_2,m_3)=0 $ соответствует ситуации, когда две __различные__ стационарные точки функции $ F_{}(x,y) $ имеют одинаковую ординату. Уравнение же
$$ \Psi(m_2,m_3)=0 $$
соответствует случаю, когда две различные стационарные точки сливаются в одну вырожденную (т.е. обе их координаты становятся одинаковыми). Таким образом, уравнение
неявным образом задает на плоскости $ (m_2,m_3) $ ((:dets:discrim#вещественность_корней дискриминантную кривую)), точки которой соответствуют потенциалам с ровно тремя стационарными точками.
Выражение для полинома $ \Psi(m_2,m_3) $ крайне громоздко: его полное разложение см.
☞
((:matricese:optimize:coulomb_e:vspom_1 ЗДЕСЬ)); оно содержит $ 325 $ мономов (полином является четным по обеим переменным). Укажем здесь только старшие и младшие члены его разложения:
$$
\Psi(m_2,m_3)=
$$
$$
=3^{36}(169\,m_2^2+192\,m_2m_3+64\,m_3^2)^5(169\,m_2^2 -192\,m_2m_3+64\,m_3^2)^5(28561\,m_2^4+19968\,m_2^2m_3^2+4096\,m_3^4)^7 $$
$$ + \dots + $$
$$ + 2^2\cdot 3^{31} \cdot 17^{40} (5545037166327\, m_2^4-161882110764644\,m_2^2m_3^2+1656772227072\,m_3^4) $$
$$ + 2^3\cdot 3^{36}\cdot 17^{44} (51827\,m_2^2+28112\,m_3^2)+ 3^{36}\cdot 17^{48} \ . $$
Удивительной кажется сама возможность получения этого выражения, но еще более удивителен тот факт, что удается определить геометрию кривой
$ \Psi(m_2,m_3)=0 $.
{{ algebra2:optimiz:distance:torri:stability_param1.png |}}
На плоскости параметров кривая $ \Psi(m_2,m_3)=0 $ выделяет четыре области вида "наконечник копья". Условие
$$ \Psi(m_2,m_3)<0 $$
задает точки плоскости параметров, лежащие внутри "наконечников". Это условие является необходимым для наличия $ 4_{} $ стационарных точек у кулоновского потенциала; оно, тем не менее, не является достаточным.
Только одна из четырех полученных областей соответствует случаю наличия $ 4_{} $ стационарных точек --- она расположена внутри ветви кривой, изображенной на нижнем рисунке:
{{ algebra2:optimiz:distance:torri:green031.png |}}
Для контроля укажу одну из точек на этой ветви: $ m_2 \approx 1.842860, m_3 \approx 4.157140 $. Такому набору зарядов соответствует потенциал $ F_{}(x,y) $, имеющий следующие стационарные точки:
$$ \mathfrak{S}_{\mathfrak N}=(2.691693, 1.930238),\ \mathfrak S_2=(1.821563, 2.558877), \mathfrak S_3=(3.374990, 2.739157) \ ; $$
при этом $ \mathfrak{S}_{\mathfrak N} $ является вырожденной стационарной точкой типа седло-узел.
Для обозначения стационарных точек выше использовались разные буквы --- $ \mathfrak S $ и $ \mathfrak N $. Эти обозначения соответствуют различным топологическим типам этих точек --- седлового и узлового соответственно. В последнем случае стационарная точка определяет минимум кулоновского потенциала.
Таким образом, последняя кривая (зеленая) определяет границу **области устойчивости в плоскости параметров**, т.е. область любая точка которой задает потенциал $ 1/|PP_1|+m_2/|PP_2|+m_3/|PP_3| $, имеющий одну устойчивую стационарную точку. Эту область будем обозначать $ {\color{DarkGreen}{\mathbb P} } $. Она может быть задана системой алгебраических неравенств. Одно из них уже получено выше --- это неравенство $ \Psi(m_2,m_3)<0 $. Остальные неравенства системы можно выбрать линейными: их роль заключается в выделении конкретной ветви кривой $ \Psi(m_2,m_3)=0 $. Например, можно взять их задающими внутренность треугольника $ M_1M_2M_3 $, где
точки
$$ M_1 \approx (1.812918 , 2.575996), M_2 \approx (2.886962 , 5.667175), M_3 \approx (1.236728, 3.556856) $$
--- угловые точки для последней ветви.
♦
====Кулоновский потенциал: устойчивость==
!!Т!! **Теорема 2.** //Если существует точка минимума кулоновского потенциала//
$$
F(P)=\frac{m_1}{|PP_1|}+\frac{m_2}{|PP_2|} + \frac{m_3}{|PP_3|} \, ,
$$
//то она находится в области//
$ {\color{Red}{ \mathbb S} } \subset \mathbb R^2 $ //треугольника// $ P_1P_2P_3 $, //определяемой неравенством//
$$
\Phi(x,y) > \frac{2}{9} S^2 \ .
$$
Здесь
$$ S=\left|
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
x_1 & x_2 & x_3 \\
y_1 & y_2 & y_3
\end{array}
\right| ,
$$
//а//
$$
\Phi(x,y) = \frac{S_1(x,y)S_2(x,y)S_3(x,y)}{|PP_1|^2 |PP_2|^2 |PP_3|^2} \sum_{j=1}^3 S_j(x,y) |PP_j|^2 \equiv
$$
$$
\equiv
\frac{S_1(x,y)S_2(x,y)S_3(x,y)}{|PP_1|^2 |PP_2|^2 |PP_3|^2}
\left|
\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 1\\
x& x_1 & x_2 & x_3 \\
y& y_1 & y_2 & y_3 \\
x^2+y^2 & x_1^2+y_1^2 & x_2^2+y_2^2 & x_3^2+y_3^2
\end{array}
\right| \ ,
$$
$$
S_1(x,y)=
\left|
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
x & x_2 & x_3 \\
y & y_2 & y_3
\end{array}
\right|,\
S_2(x,y)=
\left|
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
x_1 & x & x_3 \\
y_1 & y & y_3
\end{array}
\right|,\
S_3(x,y)=
\left|
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
x_1 & x_2 & x \\
y_1 & y_2 & y
\end{array}
\right| \, .
$$
//Обратно, любая точка// $ P_{\ast}=(x_{\ast},y_{\ast}) $, //лежащая в// $ {\color{Red}{\mathbb S} } $,
//является точкой минимума для кулоновского потенциала//
$$
F_{\ast}(P)= \sum_{j=1}^3 \frac{m_j^{\ast}}{|PP_j|} \quad npu \quad
\{m_j^{\ast}= S_j(x_{\ast},y_{\ast}) |P_{\ast}P_j|^3 \}_{j=1}^3 \, . $$
!!П!! **Пример.** Найти область $ {\color{Red}{\mathbb S} } $ из теоремы $ 2 $ для треугольника $ P_1P_2P_3 $ при $ P_1=(1,1), P_2=(5,1) , P_3=(2,6) $.
**Решение.** Здесь $ S=20 $ и
$$
\Phi(x,y)=\frac{16(28-5\,x-3\,y)(5\,x-y-4)(y-1)(-52+30\,x+32\,y-5\,x^2-5\,y^2)}{((x-1)^2+(y-1)^2)((x-5)^2+(y-1)^2)((x-2)^2+(y-6)^2)} \ .
$$
Область $ {\color{Red}{\mathbb S} } $ располагается внутри овала алгебраической кривой $ 6_{} $-го порядка, изображенного на рисунке (полная картина кривой, со всеми овалами,
☞
((:polynomialm:problems:vspom1 ЗДЕСЬ)))
{{ algebra2:optimiz:distance:torri:attraction_domain2.png |}}
Можно ожидать, что точка на самой этой кривой будет соответствовать таким значениям зарядов $ m_1,m_2 $ и $ m_3 $, которые гарантируют ее вырожденность. Так оно и оказывается: при фиксированном значении $ m_1=1 $, существует взаимно-однозначное соответствие между точками этой кривой и кривой $ \Psi(m_2,m_3)=0 $ из предыдущего пункта. Например, точке $ (2.691693, 1.930238) $, отмеченной на последнем рисунке, соответствуют значения параметров
$ m_1=1, m_2 \approx 1.842860, m_3 \approx 4.157140 $, которые определяют точку на дискриминантной кривой в пространстве параметров (она отмечена на зеленом "наконечнике копья" в предыдущем пункте).
♦
====Кулоновский потенциал: области устойчивости==
Исследование качественной картины траекторий динамической системы обыкновенных дифференциальнызх уравнений (ОДУ)
$$
d\, X / d\, t = \mathbf F (X; \mathbf A), \ X=(x_1,\dots,x_n) \in \mathbb R^n \, ,
$$
включая анализ зависимости этой картнины от вектора параметров $ \mathbf A $, входящего в состав правой части этой системы --- известная задача теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории оптимального управления. В рассмотренных выше пунктах эта проблема рассматривалась для частного случая существования и расположения на плоскости асимптотически устойчивого положения равновесия.
Обобщая, поставленная задача для системы ОДУ формулируется следующим образом: нас интересует максимально возможное множество $ {\color{DarkGreen}{\mathbb P} } $ в параметрическом пространстве $ \mathbb R^m $ такое, что при любой специализации вектора $ \mathbf A $ в этом множестве существует хотя бы одно асимптотически устойчивое положение равновесия системы.
С другой стороны, нас интересует допустимое местоположение этого положения равновесия --- в смысле нахождения такого множества $ {\color{Red}{\mathbb S} } $ в координатном пространстве
(пространстве состояний) $ \mathbb R^n $, любая точка которого может быть сделана асимптотически устойчивым положением равновесия системы ОДУ при подходящей специализации $ \mathbf A \in {\color{DarkGreen}{\mathbb P} } $. Оба этих множества $ {\color{DarkGreen}{\mathbb P} } $ и $ {\color{Red}{\mathbb S} } $ будем называть **областямми устойчивости** в соответствующих пространствах.
Эти определения не следует путать с понятием //области асиптотической устойчивости// ("области притяжения") конкретного положения равновесия конкретной системы ОДУ (при фиксированном значении вектора параметров).
Для частного случая когда вектор-функция $ \mathbf F $ является градиентом некоторой функции $ F $, зависящей от параметров, задача эквивалентна поиску условий существований и определения местоположений точек минимума функции. Для кулоновского потенциала $ F(P) = 1/|PP_1|+m_2/|PP_2|+m_3/|PP_3|, P:=(x,y) $ при фиксированных $ \{P_j\} $ и параметров $ m_2, m_3 $ получили области устойчивости на соответствующих плоскостях
{{ algebra2:optimiz:distance:torri:par-phys3.png |}}
Границами этих областей оказались кривые $ \Psi(m_2,m_3)=0 $ и $ \Phi(x,y) - 2/9 S^2=0 $. Первая из них (изображена на левом рисунке) задает значения параметров $ m_2, m_3 $, при прохождении которых принципиально меняется качественная картина семейства линий уровня потенциала $ F(x,y)=const $ (происходит слияние стационарных точек друг с другом с последующим их исчезновением --- если мы двигаемся изнутри области $ {\color{DarkGreen}{\mathbb P} } $ наружу). Такие значения параметров называются **бифуркационными**.
В нашем примере эти значения оказались лежащими на овале алгебраической кривой.
В случае же общей системы ОДУ (даже с полиномиальными правыми частями) алгебраичности границ не следует ожидать. Тем не менее, при дополнительном предположении о невырожденности положений равновесия (за исключением, возможно, множества меры нуль в пространстве параметров) подход допускает обобщение. Подробнее см. ((#источники [7])).
==Пространственный случай==
!!Т!! **Теорема 3 [Ирншоу].** //Всякая равновесная конфигурация точечных зарядов в// $ \mathbb R^{3} $ //неустойчива, если на них кроме кулоновских сил ничто не действует.//
==Обобщенный потенциал==
**Задача.** Найти стационарные точки функции
$$
F(P)= \sum_{j=1}^K m_j\left|PP_j \right|^L \ .
$$
Здесь $ \{P,P_1,\dots,P_K\} \subset \mathbb R^n , \{ m_{j} \}_{j=1}^K \subset \mathbb R $, и $ L \ne 0 $ --- произвольное вещественное число.
Рассмотрим сначала случай $ K=n+1 $. Координаты искомых стационарных точек удовлетворяют градиентной системе
$$
\frac{D\, F}{D\, P} = \mathbb O \quad \iff \quad
\partial F / \partial x_1=0, \dots, \partial F / \partial x_n=0 \, .
$$
Эта система линейная и однородная относительно $ \{m_j\}_{j=1}^{n+1} $. Тогда можно определить ее ((:algebra2:linearsystems#система_однородных_уравнений фундаментальную систему решений)).
!!T!! **Теорема 4** ((#источники [4,6])). //Пусть точки// $ \{P_j=(x_{j1},\dots,x_{jn})\}_{j=1}^{n+1} $ //таковы, что выполнено неравенство//
$$
V=
\left|
\begin{array}{llll}
1 & 1 & \dots & 1\\
x_{11} & x_{21} & \dots & x_{n+1,1} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
x_{1n} & x_{2n} & \dots & x_{n+1,n}
\end{array}
\right| > 0 \, .
$$
//Обозначим// $ V_j $ //определитель, получаемый заменой// $ j $//го столбца определителя// $ V $ //столбцом// $ \left[1,x_{ 1},\dots,x_{n} \right]^{\top} $. //Тогда любое решение градиентной системы будет решением системы//
$$
m_1 : m_2 : \dots : m_{n+1}= |PP_1|^{2-L} V_1 : |PP_2|^{2-L} V_2 : \dots : |PP_{n+1}|^{2-L} V_{n+1} \, .
$$
Для случая плоскости ( $ n=2 $) получаем следующий вариант этого соотношения:
$$
m_1 : m_2 : m_3= |PP_1|^{2-L} S_1 : |PP_2|^{2-L} S_2 : |PP_3|^{2-L} S_3 \, .
$$
Здесь
$$
S_1(x,y):=
\left|
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
x & x_2 & x_3 \\
y & y_2 & y_3
\end{array}
\right|,\
S_2(x,y):=
\left|
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
x_1 & x & x_3 \\
y_1 & y & y_3
\end{array}
\right|,\
S_3(x,y):=
\left|
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
x_1 & x_2 & x \\
y_1 & y_2 & y
\end{array}
\right| \, .
$$
и, очевидно
$$
S_1(x,y)+S_2(x,y)+S_3(x,y) \equiv S:=\left|
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
x_1 & x_2 & x_3 \\
y_1 & y_2 & y_3
\end{array}
\right| \, .
$$
Его можно использовать и для анализа поведения множества стационарных точек функции в зависимости от изменения показателя $ L $.
!!T!! **Теорема 5** ((#источники [6])). //Для произвольной фиксированной конфигурации//
$$
\left\{ \begin{array}{c|c|c}
P_1 & P_2 & P_3 \\
m_1 & m_2 & m_3
\end{array}
\right\}
$$
(//точки// $ P_1,P_2,P_3 $ //неколлинеарны и пронумерованы против часовой стрелки, т.е.// $ S>0 $)
//стационарные точки функции// $ F(P)=\sum_{j=1}^3 m_j\left|PP_j \right|^L $ //лежат на кривой//
$$
\left(\log \left|PP_2 \right| - \log \left|PP_3 \right| \right) \log \frac{S_1}{m_1}+
\left(\log \left|PP_3 \right| - \log \left|PP_1 \right| \right) \log \frac{S_2}{m_2}
+
$$
$$
+
\left(\log \left|PP_1 \right| - \log \left|PP_2 \right| \right) \log \frac{S_3}{m_3}
=0
$$
//Здесь логарифм берется по произвольному основанию.//
**Доказательство.** Результат получается исключением $ L $ из системы
$$
\left\{
\begin{array}{lc}
\log S_2/m_2- \log S_1/ m_1-(2-L) \left(\log \left|PP_1 \right| - \log \left|PP_2 \right| \right)&=0, \\
\log S_2/ m_3- \log S_1/m_1-(2-L) \left(\log \left|PP_1 \right| - \log \left|PP_3 \right| \right)&=0.
\end{array}
\right.
$$
♦
!!П!! **Пример.** Для $ P_1=(1,1),P_2=(5,1), P_3=(2,6) $ стационарные точки потенциала
$$|PP_1|^L+|PP_2|^L + |PP_3|^L $$
при различных значениях показателя $ L $ лежит на кривой
{{ algebra2:optimiz:distance:torri:num1d1c.png |}}
Кривая проходит через практически все значимые точки треугольника $ P_1P_2P_3 $, а именно: вершины ( $ L \to 1 $), середины сторон ( $ L \to - \infty $), центроид ($ L=2 $), центр описанной окружности ($ L \to \pm \infty $), и ((:algebra2:optimiz:distance:torri#геометрическое_решение точку Ферма-Торричелли)) ($ L=1 $).
Точки кривой
$$
\left( \frac{8}{3} \pm \frac{\sqrt{-6 + \sqrt{61}}}{3}, \frac{8}{3} \mp \frac{\sqrt{6 + \sqrt{61}}}{3} \right) \approx \left\{ (3.1151, \ 1.4279); (2.2181, 3.9054) \right\},
$$
соответствующие предельным положениям стационарных точек при $ L\to 0 $, являются стационарными точками для логарифмического потенциала $ \log |PP_1| + \log |PP_2| + \log |PP_3| $ (или, что то же для потенциала $ |PP_1| \cdot |PP_2| \cdot |PP_3| $).
Бифуркационные значения для показателя $ L $ получаются из условия существования кратного решения системы
$$
\left\{
\begin{array}{lc}
\log S_2/m_2- \log S_1/ m_1-(2-L) \left(\log \left|PP_1 \right| - \log \left|PP_2 \right| \right)&=0, \\
\log S_2/ m_3- \log S_1/m_1-(2-L) \left(\log \left|PP_1 \right| - \log \left|PP_3 \right| \right)&=0,
\end{array}
\right.
$$
относительно неизвестных $ x $ и $ y $. Это условие эквивалентно обращению в нуль якобиана левых частей уравнений. Этот якобиан оказывается равным
$$ \frac{(L-2)^2 }{S_1S_2S_3}\left[\Phi(x,y) - \frac{1-L}{(L-2)^2}S^2 \right] \, , $$
где функция $ \Phi(x,y) $ определена в теореме $ 2 $ (и выражение, стоящее в $ \left[ \cdot \right] $, обнаружится в следующей теореме). Разрешив полученную (неалгебраическую!) систему, получим два бифуркационных значений для
$ L $, именно $ L_1 \approx -13.5023 $ и $ L_2 \approx 0.7948 $ (изображены на верхнем рисунке). Еще одним бифуркационным значением является $ L=1 $. Когда $ L $ стремится к этому значению слева три стационарные точки из четырех стремятся к вершинам $ P_1,P_2 $ и $ P_3 $ (четвертная --- к точке Ферма-Торричелли). Указанные три бифуркационных значения для $ L $ делят вещественную ось значений этого показателя на области с различными количествами стационарных точек рассматриваемого потенциала. Потенциал имеет четыре стационарные точки при $ L
♦