!!§!! Вспомогательная страница к разделу
☞
((algebra2:optimiz:distance:torri ЗАДАЧА ФЕРМА-ТОРРИЧЕЛЛИ И ЕЕ РАЗВИТИЕ)).
----
Представление решения обобщенной задачи Ферма, альтернативное приведенному
☞
((:algebra2:optimiz:distance:torri#аналитическое_решение_обобщенной_задачи_ферма-торричелли ЗДЕСЬ)). Более громоздкий вид, но удалось удалить множитель $ S_{} $ из знаменателей представлений для координат $ x_{\ast} $ и $ y_{\ast} $ стационарной точки.
!!Т!!** Теорема.** //Обозначим величину угла треугольника// $ P_1P_2P_{3} $ //при вершине// $ P_{j} $ //через// $ \alpha_j $. // Если нарушено// $ j $-//е из трех условий//
$$
\ m_2^2+m_3^2+2\, m_2m_3 \cos \alpha_1 > m_1^2 , \ \ m_1^2+m_3^2+2\, m_1m_3 \cos \alpha_2 > m_2^2,\ m_1^2+m_2^2+2\, m_1m_2 \cos \alpha_3 > m_3^2\, ,
$$
//то минимум функции//
$$ F(x,y) = m_1 \sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2}+m_2 \sqrt{(x-x_2)^2+(y-y_2)^2}+m_3 \sqrt{(x-x_3)^2+(y-y_3)^2} $$
//достигается в вершине// $ P_{j}=(x_j,y_j) $. //Если все неравенства выполняются, то// $ \min F(x,y) $ //достигается в точке// $ P_{\ast} $ //с координатами//:
$$
x_{\ast}=\frac{\sigma}{d}(k_{x,1}+k_{x,2}) \operatorname{sign} (S) + \frac{1}{4\sigma d} \mathbf{M}^{\top} \mathbf X \mathbf L,\quad
y_{\ast}=
-\frac{\sigma}{d}(k_{y,1}+k_{y,2}) \operatorname{sign} (S) + \frac{1}{4\sigma d} \mathbf{M}^{\top} \mathbf Y \mathbf L,
$$
//при//
$$
F(x_{\ast},y_{\ast})=\min_{(x,y)} F(x,y)=\sqrt{d} \ .
$$
//Здесь//
$$
d= 2\, |S| \sigma + \frac{1}{2}\left[m_1^2(r_{12}^2+r_{13}^2-r_{23}^2)+
m_2^2(r_{23}^2+r_{12}^2-r_{13}^2)+m_3^2(r_{13}^2+r_{23}^2-r_{12}^2) \right] \ ;
$$
$$
r_{j\ell}=\sqrt{(x_j-x_{\ell})^2+(y_j-y_{\ell})^2}=|P_jP_{\ell}| \quad npu \ \{j,\ell\} \subset \{1,2,3\} \ ;
$$
$$
S=x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1-x_1y_3-x_3y_2-x_2y_1=\left|
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
x_1 & x_2 & x_3 \\
y_1 & y_2 & y_3
\end{array}
\right| \ ;
$$
$$
\sigma= \frac{1}{2} \sqrt{-m_1^4-m_2^4-m_3^4+2\,m_1^2m_2^2+2\,m_1^2m_3^2+2\,m_2^2m_3^2} \ ;
$$
$$
k_{x,1}=
\left|
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
y_1 & y_2 & y_3 \\
y_1^2 & y_2^2 & y_3^2
\end{array}
\right| \ ,
k_{x,2}=
\left|
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
x_1 & x_2 & x_3 \\
x_1y_1 & x_2y_2 & x_3y_3
\end{array}
\right| \ ,
$$
$$
k_{y,1}=
\left|
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
x_1 & x_2 & x_3 \\
x_1^2 & x_2^2 & x_3^2
\end{array}
\right| \ ,
k_{y,2}=
\left|
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
y_1 & y_2 & y_3 \\
x_1y_1 & x_2y_2 & x_3y_3
\end{array}
\right| \ ;
$$
$$
\mathbf X=
\left(
\begin{array}{ccc}
x_1-x_2-x_3 & x_3 & x_2 \\
x_3 & -x_1+x_2-x_3 & x_1 \\
x_2 & x_1 & -x_1-x_2+x_3
\end{array}
\right), \
$$
$$
\mathbf Y=
\left(
\begin{array}{ccc}
y_1-y_2-y_3 & y_3 & y_2 \\
y_3 & -y_1+y_2-y_3 & y_1 \\
y_2 & y_1 & -y_1-y_2+y_3
\end{array}
\right) \ ;
$$
$$
\mathbf M = \left(\begin{array}{c} m_1^2 \\ m_2^2 \\ m_3^2 \end{array} \right) , \mathbf L= |S| \cdot \mathbf M + 2\, \sigma \, \mathbf R, \ \mathbf R=
\left(\begin{array}{c} r_{23}^2 \\ r_{13}^2 \\ r_{12}^2 \end{array} \right) \ .
$$
!!П!! **Пример.** Для конфигурации
$$
\left\{\begin{array}{c|c|c}
P_{1}=(2,6) & P_{2}=(1,1) & P_{3}=(5,1) \\
m_{1}=3 & m_{2}=5 & m_{3}=4
\end{array} \right\} \ .
$$
точка $ P_{\ast} $ имеет координаты
$$
x_{\ast} = \frac{751}{485} \approx 1.5484,\ y_{\ast}= \frac{647}{485} \approx 1.3340
$$
при
$$
F(x_{\ast},y_{\ast})=\min F(x,y) = \sqrt{970} \approx 31.1448 \ .
$$
♦
!!П!! **Пример.** Для конфигурации
$$
\left\{\begin{array}{c|c|c}
P_{1}=(39,57) & P_{2}=(22,42) & P_{3}=(42,75) \\
m_{1}=18 & m_{2}=41 & m_{3}=52
\end{array} \right\} \ .
$$
точка $ P_{\ast} $ имеет координаты
$$
x_{\ast} = \frac{296577529815837}{9297789607234} +\frac{357441196078431}{6020318770684015} \sqrt{7511} \approx 37.0432 \ , $$
$$
y_{\ast} =
\frac{271001243105952}{4648894803617} +\frac{432306390086253}{12040637541368030}\sqrt{7511} \approx 61.4053
$$
при
$$
F(x_{\ast},y_{\ast})=\min F(x,y) = \sqrt{3068047+3915\sqrt{7511}} \approx 1845.8994 \ .
$$
♦
====Источники==
[1]. **Уланов Е.А., Утешев А.Ю.** //Аналитическое решение обобщенной задачи Ферма-Торричелли-Штейнера./// / Процессы управления и устойчивость: Труды 42-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. А. С. Ерёмина, Н. В. Смирнова. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2011. С. 201–206.