!!⊗!! Страница --- в разработке; начало работ --- 06.04.2022, окончание --- ??.??.????
==Расстояние в пространстве матриц ==
~~TOC~~
Везде в настоящем разделе норма векторов --- ((:norm_space#primery евклидова)), норма матриц --- ((:norm_space#norma_matricy Фробениуса)):
$$ \| A_{m\times n} \|:= \sqrt{\sum_{j,k} |a_{jk}|^2} \ .$$
Характеристический полином квадратной матрицы $ A $ будем обозначать $ f_A(\lambda):=\det(A-\lambda E) $.
В различных приложениях существенны три критические расстояния от матрицы $ A \in \mathbb R^{n\times n} $ до многообразий в $ \mathbb R^{n\times n} $:
(а)
до множества вырожденных матриц:
$$ \det B=0 \, ; $$
(б)
до множества $ \mathbb D $ матриц, имеющих кратные собственные числа:
$$ \mathbb D= \{B \in \mathbb R^{n\times n} \mid \ \mathcal D_{\lambda} (f_B(\lambda))=0 \} \, . $$
Здесь $ \mathcal D $ --- ((:dets:discrim дискриминант)).
(в)
до множества матриц, каждая из которых имеет пару собственных чисел разных знаков.
Последняя задача обычно ставится для устойчивых по Раусу-Гурвицу матриц $ A $, т.е. для таких матриц, у которых характеристический полином $ f_A(\lambda) $ ((:dets/resultant#ustojchivost_polinoma устойчив)) (по Раусу-Гурвицу). В этом случае искомое расстояние называется **расстоянием до неустойчивости** или **радиусом устойчивости**[[(англ.) stability radius]].
===Матричная коррекция Тихонова==
**Задача.** Для заданных матрицы $ A \in \mathbb R^{m\times n} $ и столбцов $ \mathcal B \in \mathbb R^m $ и $ X_0 \in \mathbb R^n $ таких, что
$$ AX_0 \ne \mathcal B, X_0 \ne \mathbb O $$
требуется построить матрицу $ H \in \mathbb R^{m\times n} $ минимальной нормы такую, что
$$ (A+H)X_0 = \mathcal B \, . $$
Задача эквивалентна поиску матрицы $ \widetilde H $ минимальной нормы, удовлетворяющей системе уравнений
$$
\widetilde H X_0 = \mathcal B \, .
$$
!!T!! **Теорема**. //Единственным решением поставленной задачи является матрица ((:algebra2/rank#matricy_ranga_1 ранга 1))//
$$
H_{\ast}=\frac{1}{\|X_0\|^2} \left( \mathcal B - AX_0\right)X_0^{\top} \, .
$$
//При этом//
$$
\| H_{\ast} \|= \frac{\|\mathcal B - AX_0\|}{\|X_0\|} \, .
$$
===Расстояние до вырожденности==
!!Т!! **Теорема.** //Расстояние от невырожденной матрицы// $ A $ //до многообразия// $ \det B=0 $ //равно минимальному ((:algebra2/svd#singuljarnoe_razlozhenie сингулярному числу)) матрицы// $ A $, //т.е.// $ \sqrt{z_{\ast}} $, где $ z_{\ast} $ --- //минимальный положительный корень уравнения//
$$ \det(A^{\top}A-zE)=0 \, . $$
Возмущение:
$$ \mathfrak E_{\ast}=-AV_{\ast}V_{\ast}^{\top} $$
где столбец $ V_{\ast} $ --- левый сингулярный вектор матрицы $ A $, т.е. собственный вектор матрицы $ A^{\top}A $ единичной длины:
$$ A^{\top}A V_{\ast} = z_{\ast} V_{\ast}, \ \|V_{\ast}\|=1 \, . $$
!!=>!! Расстояние от матрицы $ A $ до ближайшей матрицы $ B $, имеющей вещественное собственное число $ \lambda_0 $, равно минимальному сингулярному числу матрицы $ A-\lambda_0 E $.
!!=>!! Расстояние от симметричной матрицы $ A $ до многообразия $ \det B=0 $ равно $ |\lambda_1| $, где $ \lambda_1 $ --- ближайшее к $ 0 $ собственное число матрицы $ A $.
===Расстояние до множества ортогональных матриц==
**Задача.** Для матрицы $ A $ найти ближайшую ортогональную матрицу.
Задача известна как **ортогональная задача Прокруста**[[Orthogonal Procrustes problem]] --- по имени персонажа древнегреческого мифа.
===Расстояние до множества матриц с кратными собственными числами==
==Источники ==
Higham N.J. Matrix Nearness Problems and Applications. 1989 {{ :users:au:share:higham.pdf |}}
**Тихонов А.Н.** //О приближенных системах линейных алгебраических уравнений.// Журнал выч.мат. и матем. физ. 1980, Т.20, N 6, c. 1373-1383.