**((:matricese:optimize:distancee English version))** ==Вычисление расстояний между геометрическими объектами== Расстояние между точками $ X=(x_{1},\dots,x_n) $ и $ Y=(y_{1},\dots,y_n) $ из пространства $ \mathbb R^{n}_{} $ понимается в стандартной евклидовой метрике: $$ \sqrt{(x_1-y_1)^2+\dots+(x_n-y_n)^2} \ . $$ Для согласования дальнейших обозначений будем всегда считать точки пространства $ \mathbb R^{n}_{} $ векторами-__столбцами__. ~~TOC~~ ==Линейные многообразия== ===Расстояние от точки до линейного многообразия (плоскости) == **Задача.** Найти расстояние от точки $ X_{0} \in {\mathbb R}^{n} $ до ((:linear_space#линейные_многообразия линейного многообразия)) (плоскости) $ \mathbb M $ в $ {\mathbb R}^{n} $, заданного системой уравнений $$ \left\{ \begin{array}{ccc} c_{11}x_1+c_{12}x_2+\dots+c_{1n}x_n &=& h_1 \\ \dots & & \dots \\ c_{m1}x_1+c_{m2}x_2+\dots+c_{mn}x_n &=& h_m \end{array} \right. $$ или, в матричном виде $$ CX={\mathcal H} \quad npu \quad C=\left( \begin{array}{cccc} c_{11}& c_{12} & \dots & c_{1n} \\ \dots & & & \dots \\ c_{m1}& c_{m2} & \dots & c_{mn} \end{array} \right)_{m\times n} ,\ {\mathcal H} =\left( \begin{array}{c} h_1 \\ \vdots \\ h_m \end{array} \right),\ X=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) $$ При этом предполагается, что $ m\le n_{} $ и что ((algebra2:rank ранг)) матрицы $ C_{} $ равен $ m_{} $, то есть система уравнений совместна и определяемое ею ((:linear_space#linejnye_mnogoobrazija многообразие)) в $ {\mathbb R}^{n} $ является $ (n-m)_{} $-мерным. !!Т!! **Теорема 1.** ((#источники [1])). //Составим квадратную матрицу порядка// $ m+1_{} $: $$ M=\left( \begin{array}{cc} C\cdot C^{\top} & CX_0- {\mathcal H} \\ (CX_0- {\mathcal H})^{\top} & 0 \end{array} \right) $$ //Расстояние от точки// $ X_{0} $ //до линейного многообразия// $ \mathbb M $ //вычисляется по формуле// $$ d= \sqrt{-\frac{\det M}{\det(C\cdot C^{\top})}} \ . $$ **Доказательство** ☞ ((:algebra2:optimiz:distance:vspom3 ЗДЕСЬ)). !!=>!! Расстояние от точки $ X_{0}=(x_{10},\dots,x_{n0})^{\top} $ до гиперплоскости (или, в случае $ n=2 $, прямой) $$ c_1x_1+\dots+c_nx_n= h $$ равно $$ d= \frac{|c_1x_{10}+\dots+c_nx_{n0}-h|}{\sqrt{c_1^2+\dots+c_n^2}} \ . $$ Ближайшая к $ X_0 $ точка гиперплоскости: $$ X_{\ast}=X_0- \frac{c_1x_{10}+\dots+c_nx_{n0}-h}{c_1^2+\dots+c_n^2} \left(\begin{array}{c} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{array} \right) \, . $$ ---- Пусть теперь линейное многообразие (плоскость) задано параметрически $$ \mathbb M= \{ Y_0+\lambda_1 Y_1+\dots+\lambda_k Y_k \quad \mid \quad \{\lambda_1,\dots,\lambda_k\} \subset {\mathbb R} \} $$ при фиксированных столбцах $$ \{Y_0,Y_1,\dots,Y_k \}\subset {\mathbb R}^n \ . $$ Предположим, что эти столбцы ((algebra2:rank#ранг_системы_строк_столбцов линейно независимы)). Составим из них матрицы $$ L=\left[ Y_1|\dots|Y_k \right]_{n\times k} \quad u \quad \tilde L = \left[ Y_1|\dots|Y_k| X_0-Y_0 \right]_{n\times (k+1)} $$ (здесь $ |_{} $ означает ((:algebra2#конкатенация конкатенацию))). !!Т!! **Теорема 2.** //Расстояние// $ d_{} $ //от точки// $ X_{0} $ //до линейного многообразия// $ \mathbb M $ //вычисляется по формуле// $$ d=\sqrt{\frac{\det(\tilde L^{\top}\cdot \tilde L)}{\det( L^{\top}\cdot L)}} \ . $$ **Доказательство.** Утверждение теоремы 2 является частным случаем ((:euclid_space#вычисление_расстояния общего результата)) о вычислении расстояния от точки до линейного многообразия в евклидовом пространстве. ♦ На основании ((algebra/dets/binet_cauchy теоремы Бине-Коши)) * матрица $ \tilde L^{\top}\cdot \tilde L_{} $ имеет неотрицательный определитель при любых столбцах $ \{Y_0,Y_1,\dots,Y_{k} \} $; * матрица $ L^{\top}\cdot L_{} $ является положительно определенной если система столбцов $ \{Y_1,\dots,Y_{k} \} $ линейно независима. !!Т!! **Теорема 3.** Ближайшая к точке $ X_0 $ точка многообразия $ \mathbb M_{} $ (проекция точки на многообразие) определяется по формуле $$ X_{\ast}=Y_0+ L(L^{\top}\cdot L_{})^{-1} L^{\top} (X_0-Y_0) \, . $$ **Доказательство** ☞ ((:algebra2:optimiz:distance:vspom6 ЗДЕСЬ)). !!П!! **Пример.** Найти расстояние от точки $ X_{0}=(1,1,1,1)^{\top} $ до плоскости $$ \left\{\begin{array}{rrrrc} 3x_1&+x_2&-x_3&+x_4&=1 \\ x_1 & -2x_2&+x_3&+2x_4&=2. \end{array} \right. $$ **Решение.** __1-й способ__: применение теоремы 1. Имеем: $$ C=\left( \begin{array}{rrrr} 3 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 2 \end{array} \right), {\mathcal H}= \left( \begin{array}{r} 1 \\ 2 \end{array} \right), $$ $$ C\cdot C^{\top} = \left( \begin{array}{cc} 12 & 2 \\ 2 & 10 \end{array} \right),\ CX_0=\left( \begin{array}{r} 4 \\ 2 \end{array} \right), \ CX_0-{\mathcal H}=\left( \begin{array}{r} 3 \\ 0 \end{array} \right) \ , $$ $$ \frac{\left| \begin{array}{ccc} 12 & 2 & 3 \\ 2 & 10 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \end{array} \right|}{\left| \begin{array}{cc} 12 & 2 \\ 2 & 10 \end{array} \right|}=\frac{-90}{116}=-\frac{45}{58} \ . $$ __2-й способ__: применение теоремы 2. ((:algebra2:linearsystems#общее_решение Общее решение)) системы уравнений, задающей плоскость: $$ x_3=\frac{5}{3}x_1+\frac{4}{3}x_2, \ x_4=1-\frac{4}{3}x_1+\frac{1}{3}x_2 \ . $$ Таким образом, плоскость может быть представлена в параметрическом виде $$ Y_0+\lambda_1 Y_1 + \lambda_2 Y_2 \quad npu \quad Y_0 = \left( \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right),\ Y_1=\left( \begin{array}{r} 0 \\ 3 \\ 4 \\ 1 \end{array} \right),\ Y_2=\left( \begin{array}{r} 3 \\ 0 \\ 5 \\ -4 \end{array} \right) \ . $$ Имеем: $$ L= \left( \begin{array}{rr} 0 & 3 \\ 3 & 0 \\ 4 & 5 \\ 1 & -4 \end{array} \right), \ \tilde L =\left( \begin{array}{rrr} 0 & 3 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \\ 4 & 5 & 1 \\ 1 & -4 & 0 \end{array} \right), \ \frac{\left| \begin{array}{ccc} 26 & 16 & 7 \\ 16 & 50 & 8 \\ 7 & 8 & 3 \end{array} \right|}{\left| \begin{array}{cc} 26 & 16 \\ 16 & 50 \end{array} \right|}=\frac{810}{1044}=\frac{45}{58} \ . $$ Координаты ближайшей точки к $ X_{0} $: $$ X_{\ast}= \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)+\left( \begin{array}{rr} 0 & 3 \\ 3 & 0 \\ 4 & 5 \\ 1 & -4 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 26 & 16 \\ 16 & 50 \\ \end{array} \right)^{-1} \left(\begin{array}{rrrr} 0 & 3 & 4 & 1 \\ 3 & 0 & 5 & -4 \end{array} \right)\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)=\frac{1}{58} \left(\begin{array}{c} 16 \\ 37 \\ 76 \\ 49 \end{array}\right) \, . $$ **Ответ.** $ d=\sqrt{45/58} \approx 0.8808303295 $. ===Расстояние между линейными многообразиями (плоскостями) == Пусть линейные многообразия в $ {\mathbb R}^{n} $ заданы параметрически $$ \mathbb M_1=\{ X_0+ \lambda_1 X_1+\dots + \lambda_k X_k \ \mid \ \{\lambda_1,\dots,\lambda_k \} \subset \mathbb R \} ; $$ $$ \mathbb M_2=\{ Y_0+\mu_1Y_1+\dots+\mu_{\ell}Y_{\ell} \ \mid \ \{\mu_1,\dots,\mu_{\ell} \} \subset \mathbb R \} $$ при фиксированных столбцах $$ \{X_0,X_1,\dots,X_k,Y_0,Y_1,\dots,Y_{\ell}\}\subset {\mathbb R}^n . $$ Составим из этих столбцов матрицы $$ P=\left[ X_1|\dots|X_k| Y_1|\dots | Y_{\ell} \right]_{n\times (k+\ell)} \quad u \quad \tilde P = \left[ X_1|\dots|X_k| Y_1|\dots | Y_{\ell}| X_0-Y_0 \right]_{n\times (k+\ell+1)} $$ (здесь $ |_{} $ означает ((:algebra2#конкатенация конкатенацию))). !!Т!! **Теорема.** //Расстояние между линейными многообразиями// $ \mathbb M_1 $ //и// $ \mathbb M_2 $ //вычисляется по формуле// $$ d=\sqrt{\frac{\det(\tilde P^{\top}\cdot \tilde P)}{\det( P^{\top}\cdot P)}} \ . $$ !!§!! На основании ((dets:gram#свойства_определителя_грама свойств определителя Грама)) имеем: $$ \det (P^{\top}\cdot P) > 0 \quad \iff \quad \mbox{ столбцы } \ \{X_1,\dots,X_k,Y_1,\dots,Y_{\ell} \} \ \mbox{ линейно независимы}; $$ $$ \det(\tilde P^{\top}\cdot \tilde P) \ge 0 \quad \mbox{ при } \forall \ \{X_0,X_1,\dots,X_k,Y_0,Y_1,\dots,Y_{\ell} \} \ . $$ !!П!! **Пример.** ((#источники [2])). Найти расстояние между плоскостями $$ \left( \begin{array}{r} 89 \\ 37 \\ 111 \\ 13 \\54 \end{array} \right) + \lambda_1 \left( \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \\ -1 \end{array} \right) + \lambda_2 \left( \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right) \quad \mbox{ и } \quad \left( \begin{array}{r} 42 \\ -16 \\ -39 \\ 71 \\3 \end{array} \right) + \mu_1 \left( \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + \mu_2 \left( \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right) \ . $$ **Решение.** $$ P^{\top}\cdot P=4\cdot E_{4 \times 4}, \quad \tilde P^{\top}\cdot \tilde P= \left(\begin{array}{ccccc} 4 & 0 & 0 & 0 & 107 \\ 0 & 4 & 0 & 0 & 103 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 93\\ 0 & 0 & 0 & 4 & -115 \\ 107 & 103 & 93 & -115 & 33483 \end{array} \right) \ . $$ **Ответ.** $ d=150_{} $. ==Квадратичные многообразия (квадрики) == В последующих пунктах, касающихся вычисления расстояний между геометрическими объектами, хотя бы один из которых представлен квадратным уравнением, используется следующая идеология решения. Первоначальной целью ставится построение **уравнения расстояний**, т.е. алгебраического уравнения от одной переменной, среди корней которого находится квадрат искомого расстояния. После нахождения этого корня, координаты ближайшей точки (или пары ближайших точек) находятся в виде рациональных функций от величины квадрата расстояния. Таким образом, мы "переворачиваем" традиционную схему решения оптимизационных задач: стационарные точки $ \rightarrow $ критические значения Такая реверсия традиционного подхода оправдана, с одной стороны, тем, что задача сводится к одномерной --- поиску корней полинома от одной переменной. Причем нас будет интересовать, как правило, единственный корень этого полинома --- минимальный положительный. С другой стороны, уравнение расстояний удается построить в результате чисто алгебраической процедуры: конечного числа элементарных алгебраических операций над коэффициентами уравнений, задающих многообразия. Алгоритм основан на аппарате исключения переменных в системах нелинейных алгебраических уравнений, и ключевым объектом в нем оказывается вычисление ((:dets:discrim дискриминанта полинома)) (от одной или двух переменных). ===Расстояние от точки до квадрики == !!Т!! **Теорема 1.** Пусть квадрика в $ {\mathbb R}^{n} $, //задана уравнением// $$ X^{\top}AX+2B^{\top}X-1=0 \ , (A=A^{\top}) \ . $$ //Квадрат расстояния до нее от не лежащей на ней точки// $$ X_{0} \in {\mathbb R}^{n}, \quad ( X_0^{\top}AX_0+2 B^{\top}X_{0}-1\ne 0 ) $$ //равен минимальному положительному корню уравнения расстояний// $$ {\mathcal F}(z)=0 \quad npu \quad {\mathcal F}(z)={\mathcal D}_{\mu} \left( \Phi(\mu,z) \right) \ . $$ //Здесь// $$ \Phi(\mu,z)=\det \left( \left[ \begin{array}{cc} A & B \\ B^{\top} & -1 \end{array} \right] + \mu \left[ \begin{array}{cc} -E & X_0 \\ X_0^{\top} & z-X_0^{\top}X_0 \end{array} \right] \right), $$ $ {\mathcal D}_{} $ // означает ((:dets:discrim дискриминант)) полинома// $ \Phi(\mu,z) $, //рассматриваемого относительно переменной// $ \mu_{} $,// а // $ E_{} $ --- //((:algebra2#типы_квадратных_матриц единичная матрица)) порядка// $ n_{} $. //Дополнительно предполагается, что указанный корень не является ((:polynomial#основная_теорема_высшей_алгебры кратным)).// !!=>!! ((#источники [3])). Квадрат расстояния от начала координат $ {\mathbb O} \in {\mathbb R}^{n} $ до квадрики в $ {\mathbb R}^{n} $, заданной уравнением $$ X^{\top}AX+2\,B^{\top}X-1=0 \ , $$ равен минимальному положительному корню уравнения расстояний $$ {\mathcal F}(z)=0, \quad npu \quad {\mathcal F}(z)={\mathcal D}_{\mu} \left( f(\mu)(\mu z-1)-B^{\top}q(A,\mu)B \right)\ , $$ и при условии, что указанный корень не является ((:polynomial#основная_теорема_высшей_алгебры кратным)). Здесь $ f(\mu_{})=\det (A-\mu E) $ --- ((:algebra2#характеристический_полином характеристический полином)) матрицы $ A_{} $, а $ q(A,\mu)_{} $ --- матрица ((:algebra2#Обращение_матрицы взаимная)) матрице $ A-\mu E_{} $. !!=>!! В частном случае $ B={\mathbb O}_{} $ (квадрика центрирована к началу координат), имеем: $$ {\mathcal F}(z)=\left[z^nf(1/z) \right]^2{\mathcal D}_{\mu}(f(\mu)) \ , $$ и расстояние от начала координат до квадрики оказывается равным $ 1/\sqrt{\lambda_{\max}^{}} $, где $ \lambda_{\max}^{} $ --- максимальное ((:algebra2:charpoly#собственные_числа собственное число)) матрицы $ A_{} $. !!П!! **Пример.** Найти расстояние от начала координат до эллипсоида $$ 7\,x_1^2+6\,x_2^2+5\,x_3^2-4\,x_1x_2-4\,x_2x_3-3\,x_1-4\,x_2+5\,x_3-18=0\ .$$ **Решение.** Здесь $$A = \left( {\begin{array}{rrr} \frac{7}{18} & -\frac{1}{9} & 0 \\ && \\ -\frac{1}{9} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{9} \\ && \\ 0 & -\frac{1}{9} & \frac{5}{18} \end{array}} \right),\quad B = \left( \begin{array}{r} -\frac{1}{12} \\ \\ -\frac{1}{9} \\ \\ \frac{5}{36} \end{array} \right) ,$$ $$ f(\mu)=\det (A-\mu E)=-\mu ^{3} + \mu ^{2} - \frac{11}{36} \mu + \frac {1}{36} $$ Матрица взаимная матрице $ A-\mu E_{} $: $$ q(A, \mu)= \left( \begin{array}{ccc} \mu ^{2} - \frac{11}{18} \mu + \frac{13}{162} & - \frac{1}{9} \mu + \frac{5}{162} & \frac{1}{81} \\ && \\ - \frac{1}{9} \mu + \frac{5}{162} & \mu^2 -\frac{2}{3}\mu+\frac{35}{324} & - \frac{1}{9} \mu +\frac{7}{162} \\ && \\ \frac{1}{81} & - \frac{1}{9} \mu + \frac{7}{162} & \mu ^{2} - \frac{13}{18}\mu+\frac{19}{162} \end{array} \right) \ . $$ $$ \Phi(\mu,z)=f(\mu)(\mu z-1)-B^{\top}q(A,\mu)B= $$ $$ =-z \mu ^{4} + (z+1) \mu ^{3} + \left(-\frac {11}{36} z - \frac{673}{648}\right) \mu ^{2} +\left( \frac {1}{36} z + \frac {241}{729} \right) \mu - \frac {1621}{52488} \ . $$ Воспользуемся ((:dets:discrim#детерминантные_представления детерминантным представлением дискриминанта)): $$ {\mathcal F}(z) = {\mathcal D}_{\mu} (\Phi(\mu,z)) = \frac{1}{16} \times $$ $$ \times \left| \begin{array}{cccccc} 4z & - 3z-3 & \frac{11}{18}z + \frac{673}{324} & - \frac{1}{36} z - \frac{241}{729} & 0 & 0 \\ &&&&& \\ 0 & 4z & - 3z-3 & \frac{11}{18} z + \frac{673}{324} & - \frac{1}{36} z - \frac{241}{729} & 0 \\ &&&&& \\ 0 & 0 & 4z & - 3z-3 & \frac{11}{18}z + \frac{673}{324} & - \frac{1}{36} z - \frac{241}{729} \\ &&&&& \\ 0 & 0 & - z - 1 & \frac{11}{18}z + \frac{673}{324} & - \frac{1}{12} z - \frac{241}{243} & \frac{1621}{13122} \\ &&&&& \\ 0 & - z - 1 & \frac{11}{18}z + \frac{673}{324} & - \frac{1}{12}z - \frac{241}{243} & \frac{1621}{13122} & 0 \\ &&&&& \\ - z - 1 & \frac{11}{18} z + \frac{673}{324} & - \frac{1}{12} z - \frac{241}{243} & \frac{1621}{13122} & 0 & 0 \end{array} \right| = $$ $$ =2^{-11}3^{-24} ( 38263752\,z^6-966487788\,z^5+9376985736\,z^4-43882396481\,z^3+$$ $$ +102982092872\,z^2-116747905827\,z+50898162294) \quad . $$ Вещественные корни уравнения расстояний: $$ z_1\approx 1.394685, \ z_2 \approx 5.701814, \ z_3 \approx 7.043941,\ z_4 \approx 7.590060 \ . $$ **Ответ.** $ d= \sqrt{z_1} \approx 1.180968 $. Нахождение точки на квадрике, ближайшей к заданной точке $ X_{0} $, возможно с помощью следующего результата. !!T!! **Теорема 2.** //При выполнении условий теоремы// 1, //координаты точки// $ X_{\ast} $ //квадрики, ближайшей к точке// $ X_{0} $ //находятся по формуле// $$ X_{\ast}=-A^{-1} B - \mu_{\ast} (A -\mu_{\ast}E)^{-1} (A^{-1} B+X_0)=(\mu_{\ast}E- A)^{-1} (B+\mu_{\ast} X_0)\ . $$ //Здесь// $ \mu_{\ast} $ //означает кратный корень полинома// $ \Phi(\mu,z_{\ast}) $, //где полином// $ \Phi(\mu,z) $ //берется из формулировки теоремы// 1, //а// $ z_{\ast}^{} $ //означает минимальный положительный корень уравнения расстояний//. Этот результат требует пояснений. Итак, поскольку дискриминант полинома $ \Phi(\mu,z_{\ast}) $ обращается в нуль, то у этого полинома --- как полинома по $ \mu_{} $ --- имеется кратный корень $ \mu =\mu_{\ast} $. Можно доказать ((#источники [4])), что при условии простоты корня $ z=z_{\ast} $ уравнения расстояний $ \mathcal F(z)=0 $ кратность корня $ \mu =\mu_{\ast} $ для полинома $ \Phi(\mu,z_{\ast}) $ будет равна ровно $ 2_{} $, и других кратных корней этот полином не имеет. Но тогда, выражение для $ \mu_{\ast}^{} $ может быть найдено в виде рациональной функции коэффициентов полинома $ \Phi(\mu,z_{\ast}) $. Последнее утверждение может быть доказано разными способами, и в качестве самого наглядного выберем тот, что основан на свойствах дискриминанта, например, на том, что изложено ☞ ((:dets:discrim#субдискриминанты ЗДЕСЬ)). !!=>!! При выполнении условия предыдущей теоремы, координаты точки $ X_{\ast}^{} $, ближайшей на квадрике к точке $ X_{0} $, являются рациональными функциями от квадрата расстояния. !!=>!! Точка $ X_{\ast} $ квадрики $ X^{\top}AX+2\,B^{\top}X-1=0 $, ближайшая к началу координат $ X_0= \mathbb O $, находится по формуле: $$ X_{\ast} = - \frac{1}{f(\mu_{\ast})} q(A,\mu_{\ast}) B \ . $$ Здесь $ f(\mu_{})=\det (A-\mu E) $ --- ((:algebra2#характеристический_полином характеристический полином)) матрицы $ A_{} $, $ q(A,\mu)_{} $ --- матрица ((:algebra2#Обращение_матрицы взаимная)) матрице $ A-\mu E_{} $, а $ \mu_{\ast} $ означает кратный корень уравнения $$f(\mu)(\mu z_{\ast}-1)-B^{\top}q(A,\mu)B=0 , $$ где $ z_{\ast}^{} $ --- величина квадрата расстояния от $ \mathbb O_{} $ до квадрики. !!П!! **Пример.** Найти ближайшую к началу координат точку эллипсоида из предыдущего примера. **Решение.** Подставляем $ z_{}=z_{\ast} \approx 1.394685 $ в ((:dets:discrim#субдискриминанты формулу для определения кратного корня)), т.е. в отношение двух конкретных миноров детерминантного представления дискриминанта: $$ \mu=-\frac{\left| \begin{array}{cccc} 4z & - 3z-3 & \frac{11}{18} z + \frac{673}{324} & 0 \\ &&& \\ 0 & 4z & - 3z-3 & - \frac{1}{36} z - \frac{241}{729} \\ &&& \\ 0 & - z - 1 & \frac{11}{18}z + \frac{673}{324} & \frac{1621}{13122} \\ &&& \\ - z - 1 & \frac{11}{18}z + \frac{673}{324} & - \frac{1}{12}z - \frac{241}{243} & 0 \end{array} \right|} {\left| \begin{array}{cccc} 4z & - 3z-3 & \frac{11}{18} z + \frac{673}{324} & - \frac{1}{36} z - \frac{241}{729} \\ &&& \\ 0 & 4z & - 3z-3 & \frac{11}{18}z + \frac{673}{324} \\ &&& \\ 0 & - z - 1 & \frac{11}{18}z + \frac{673}{324} & - \frac{1}{12}z - \frac{241}{243} \\ &&& \\ - z - 1 & \frac{11}{18}z + \frac{673}{324} & - \frac{1}{12}z - \frac{241}{243} & \frac{1621}{13122} \end{array} \right|} $$ получаем $ \mu_{\ast}^{} \approx 0.572670 $. Подставляем это значение в формулу для определения $ X_{\ast}^{} $ из последнего следствия: $$ X_{\ast}\approx \left(\begin{array}{r} 0.071171 \\ -0.867719 \\ 0.797924 \end{array} \right) \ . $$ **Проверка.** Если подставить вместо $ X_{\ast} $ его приближенное значение, то получим: $$ X_{\ast}^{\top} X_{\ast} \approx \mathbf{1.39468}4,\ X_{\ast}^{\top}AX_{\ast}+2\,B^{\top}X_{\ast}-1 \approx 2.9\cdot 10^{-5}\ , $$ и вектор $ {\mathbb O}X_{\ast} $ перпендикулярен эллипсоиду в точке $ X_{}=X_{\ast} $: $$ AX_{\ast}+B \approx \left(\begin{array}{r} 0.040757\\ -0.496917 \\ 0.456948 \end{array} \right)\approx \mu_{\ast} X_{\ast} \ . $$ Более подробный анализ уравнения расстояний для частных случаев плоскости $ \mathbb R^{2} $ и трехмерного пространства $ \mathbb R^{3} $ (в частности, почему существенно условие простоты минимального положительного корня, упомянутое в теореме 1) ☞ ((algebra2:optimiz:distance:appolonij ЗДЕСЬ)). ===Расстояние от линейного многообразия (плоскости) до квадрики == **Задача.** Найти расстояние от эллипсоида в $ {\mathbb R}^{n} $, заданного уравнением $$ X^{\top}AX+2B^{\top}X-1=0 \ , (A=A^{\top}) $$ до линейного многообразия (плоскости) в $ {\mathbb R}^{n} $, заданной системой уравнений $$ \left\{ \begin{array}{ccc} c_{11}x_1+c_{12}x_2+\dots+c_{1n}x_n &=& 0 \\ \dots & & \dots \\ c_{m1}x_1+c_{m2}x_2+\dots+c_{mn}x_n &=& 0 \end{array} \right. \ \iff \ CX={\mathbb O} \quad npu \quad C=\left( \begin{array}{cccc} c_{11}& c_{12} & \dots & c_{1n} \\ \dots & & & \dots \\ c_{m1}& c_{m2} & \dots & c_{mn} \end{array} \right)_{m\times n} $$ При этом предполагается, что $ m\le n_{} $ и что ранг матрицы $ C_{} $ равен $ m_{} $, т.е. определяемая системой плоскость в $ {\mathbb R}^{n} $ является $ (n-m)_{} $-мерной. !!Т!! **Теорема.** ((#источники [3])). //Необходимое и достаточное условие того, что линейное многообразие (плоскость) пересекает эллипсоид зависит от ((:2form#znakoopredelennost знакоопределенности))// //матрицы// $ A_{} $: $$0 \le \left| \begin{array}{lrc} A & B & C^{\top}\\ B^{\top} & -1 & {\mathbb O}\\ C & {\mathbb O} & \mathbb{O} \end{array} \right| \times \left\{ \begin{array}{l} (-1)^{m-1} \ \mbox{при} \ A\ \mbox{пол. определенной}, \\ (-1)^n \ \mbox{при} \ A\ \mbox{отр. определенной} \end{array} \right.$$ !!=>!! Условие равенства нулю определителя из теоремы является необходимым и достаточным для существования точки касания эллипсоида и плоскости. !!Т!! **Теорема.** ((#источники [3])). //Если условие предыдущей теоремы не выполняется, то квадрат расстояния от эллипсоида до плоскости совпадает с минимальным положительным корнем полинома// $$ {\mathcal F}(z) ={\mathcal D}_\mu \left( \mu^m \left| \begin{array}{ccc} A & B & C^{\top}\\ B^{\top} & -1 + \mu z & \mathbb{O}\\ C & \mathbb{O} & \frac{1}{\mu} C \cdot C^{\top} \end{array} \right| \right), $$ //в предположении, что этот корень не является кратным. Здесь// $ {\mathcal D}_{} $ --- //((:dets:discrim дискриминант)) полинома, рассматриваемого относительно переменной// $ \mu_{} $. !!=>!! Если строки матрицы $ C_{} $ ((:euclid_space#ортогонализация ортонормированны)), то преобразованием определителя в теореме можно понизить его порядок: выражение под знаком дискриминанта можно преобразовать в $$\left| \begin{array}{cc} A-\mu C^{\top} C & B \\ B^{\top} & -1+\mu z \end{array} \right|.$$ !!П!! **Пример.** Найти расстояние от оси $ {\mathbb O}x_{1} $ до эллипсоида $$ 7\, x_1^2+6\, x_2^2 +5\, x_3^2 -4\,x_1x_2-4\,x_2x_3-37\,x_1-12\,x_2+3\,x_3+54=0 \ . $$ **Решение.** Здесь $$ A= \left( \begin{array}{rrr} -\frac{7}{54} & \frac{1}{27} & 0 \\ &&\\ \frac{1}{27} & -\frac{1}{9} & \frac{1}{27} \\ &&\\ 0 & \frac{1}{27} & -\frac{5}{54} \end{array} \right), \ B=\left( \begin{array}{r} \frac{37}{108} \\ \\ \frac{1}{9} \\ \\ -\frac{1}{36} \end{array} \right) $$ и можно взять $$ C= \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \ . $$ Матрица $ A_{} $ отрицательно определена, условие пересечения прямой и эллипсоида не выполняется: $$ \left| \begin{array}{ccc} A & B & C^{\top}\\ B^{\top} & -1 & {\mathbb O}\\ C & {\mathbb O} & \mathbb{O} \end{array} \right| \times (-1)^3 = - \frac{143}{11664} < 0 \ . $$ Имеем, на основании следствия: $$ \left| \begin{array}{cc} A-\mu C^{\top} C & B \\ B^{\top} & -1+\mu z \end{array} \right|=\left| \begin{array}{cccc} -\frac{7}{54} & \frac{1}{27} & 0 & \frac{37}{108} \\ &&&\\ \frac{1}{27} & -\frac{1}{9}-\mu & \frac{1}{27} & \frac{1}{9} \\ &&&\\ 0 & \frac{1}{27} & -\frac{5}{54}-\mu & -\frac{1}{36} \\ &&&\\ \frac{37}{108} & \frac{1}{9} & -\frac{1}{36} & -1 + \mu z \end{array} \right| = $$ $$ =-\frac{7}{54}z \mu^3+\left(-\frac{73}{2916}z+\frac{143}{11664}\right)\mu^2+\left(-\frac{1}{972}z-\frac{1069}{314928}\right)\mu-\frac{1621}{4251528} $$ и дискриминант полученного полинома по переменной $ \mu_{} $ равен $$ {\mathcal F}(z)=2^{-16}3^{-30} \left(1331935488\,z^4-38807307008\,z^3+245988221152\,z^2-1086769525104\,z+61289436065 \right) $$ Положительные корни последнего полинома: $ z_1 \approx 0.057128,\ z_2 \approx 22.545607_{} $. **Ответ.** $ d_{} = \sqrt{z_1} \approx 0.239015 $. Как правило, степень полинома $ {\mathcal F}(z)_{} $ равна $ 2m_{} $, т.е. удвоенному количеству линейных уравнений, задающих плоскость. В частном случае $ m=1_{} $ получаем квадратное уравнение: !!=>!! Расстояния в $ {\mathbb R}^{n} $ от гиперплоскости $$ c_1x_1+\dots+c_nx_n = h \ \iff \ CX=h $$ до ближайшей и до самой дальней точек эллипсоида $$ X^{\top}AX+2B^{\top}X-1=0 \ , (A=A^{\top}) $$ совпадают с модулями корней полинома: $$ {\mathcal F}(Z)=\left| \begin{array}{ccc} A & B & C^{\top}/|C|\\ B^{\top} & -1 & Z-h/|C|\\ C/|C| & Z-h/|C| & 0 \end{array} \right| \ . $$ Здесь $ |C|=\sqrt{c_1^2+\dots+c_n^{2}} $ и предполагается, что поверхности не пересекаются. !!П!! **Пример.** Найти расстояние от прямой $ 2\, x_1- x_{2}=0 $ до эллипса $$ 7\,x_1^2-4\,x_1x_2 + 6\, x_2^2-47\, x_1 -24\, x_{2} +124 = 0 .$$ **Решение.** Здесь $$ {\mathcal F}(Z)=\left| \begin{array}{ccc} A & B & C^{\top}/|C| \\ B^{\top} & -1 & Z-h/|C| \\ C/|C| & Z-h/|C| & 0 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{cccc} -\frac{7}{124} & \frac{1}{62} & \frac{47}{248} & \frac{2}{\sqrt{5}} \\ &&& \\ \frac{1}{62} & - \frac{3}{62} & \frac{3}{31} &- \frac{1}{\sqrt{5}} \\ &&& \\ \frac{47}{248} & \frac{3}{31} & -1 & Z \\ &&& \\ \frac{2}{\sqrt{5}} & - \frac{1}{\sqrt{5}} & Z & 0 \end{array} \right| = $$ $$ =-\frac{1}{307520}\left(760\,Z^2+1592\sqrt{5}\, Z+2383 \right) $$ и корни этого полинома: $$ -\frac{199}{190}\sqrt{5}\pm \frac{1}{76} \sqrt{13570} \ . $$ {{ :algebra2:optimiz:ellipse_line.png?400 |}} Координаты ближайших точек на прямой и эллипсе соответственно $$ \approx \left( \begin{array}{c} 2.128155 \\ 4.256311 \end{array} \right) \quad \mbox{и} \quad \approx \left( \begin{array}{c} 2.851943 \\ 3.894417 \end{array} \right) \, . $$ **Ответ.** $$ d = \left| -\frac{199}{190}\sqrt{5}+ \frac{1}{76} \sqrt{13570} \right| \approx 0.809219_{} \ . $$ ===Расстояние между квадриками == !!Т!! **Теорема.** //Пусть// $ X^{\top} A_{1} X =1 $ //и// $ X^{\top} A_{2} X =1 $ -- //квадрики в// $ {\mathbb R}^{n} $, //причем первая является эллипсоидом. Квадрики не пересекаются тогда и только тогда, когда матрица// $ A_{1}-A_2 $ //является ((:2form#znakoopredelennost знакоопределенной)).// **Доказательство** ☞ ((algebra2:optimiz:distance:vspom2 ЗДЕСЬ)). !!Т!! **Теорема.** ((#источники [3,4])). //Если выполняется условие предыдущей теоремы, то квадрат расстояния между // $$ \mbox{эллипсоидом} \ X^{\top} A_{1} X =1\ \mbox{и квадрикой}\ X^{\top} A_{2} X =1 $$ //совпадает с минимальным положительным корнем уравнения расстояний// $$ {\mathcal F}(z)=0 \quad npu \quad {\mathcal F}(z)={\mathcal D}_{\lambda} \left( \Phi(\lambda,z) \right) \ . $$ //Здесь// $$ \Phi(\lambda,z)=\det (\lambda A_1 + (z- \lambda) A_2 - \lambda (z-\lambda) A_1 A_2), $$ $ {\mathcal D}_{} $ --- //((:dets:discrim дискриминант)) полинома рассматриваемого относительно переменной// $ \lambda_{} $. //Дополнительно предполагается, что указанный корень не является ((:polynomial#основная_теорема_высшей_алгебры кратным)).// !!П!! **Пример.** Найти расстояние между эллипсами $$10\,x_1^2-12\,x_1x_2+8\,x_2^2=1 \qquad u \qquad x_1^2+x_1x_2+x_2^2=1 \ . $$ **Решение.** Здесь $$ A_1= \left( \begin{array}{rr} 10 & - 6 \\ -6 & 8 \end{array} \right), \quad A_2= \left( \begin{array}{rr} 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 1 \end{array} \right) $$ и матрица $ A_{1}-A_2 $ положительно определена. Следовательно эллипсы не пересекаются. $$ \Phi(\lambda,z)=\det (\lambda A_1 + (z- \lambda) A_2 - \lambda (z-\lambda) A_1 A_2)= $$ $$ =33\,\lambda^4+\left(-66z+\frac{149}{2}\right)\lambda^3+\left(33\,z^2-61\,z+\frac{83}{4}\right)\lambda^2+\left(-\frac{27}{2}z^2+\frac{45}{2}z\right)\lambda+\frac{3}{4}\,z^2 $$ и дискриминант этого полинома по переменной $ \lambda_{} $ равен $$ {\mathcal F}(z)=\frac{3}{16}z^2 ({\scriptstyle 936086976}\, z^6-{\scriptstyle 10969697376}\,z^5+ {\scriptstyle 50706209664}\, z^4 -{\scriptstyle 115515184664}\, z^3+{\scriptstyle 130176444432}\, z^2 -{\scriptstyle 59826725574}\,z+{\scriptstyle 2866271785}) \ . $$ Положительные корни уравнения расстояний $ {\mathcal F}(z)=0 $: $$ z_1 \approx 0.053945666,\ z_2 \approx 1.3340583883,\ z_3 \approx 1.95921364,\ z_4 \approx 2.8785867381 \ . $$ **Ответ.** $ d_{}= \sqrt{z_1} \approx 0.23226206 $. Как правило, степень полинома $ {\mathcal F}(z)_{} $ из последней теоремы (после отбрасывания постороннего множителя $ z^{n(n-1)}_{} $) равна $ n(n+1)_{} $. Нахождение координат ближайших точек на квадриках (обеспечивающих найденное расстояние) возможно по алгоритму: 1. Если $ z=z_{\ast} $ --- корень полинома $ {\mathcal F}(z) $, то это значит, что полином $$ \Phi(\lambda, z_{\ast}) = \det ( \lambda A_1 +(z_{\ast}-\lambda)A_2 - \lambda (z_{\ast}-\lambda) A_2A_1) $$ имеет кратный корень $ \lambda_{} = \lambda_{\ast} $. При выполнении условий теоремы, этот корень будет единственным второй кратности и его можно выразить в виде рациональной функции от $ z_{\ast} $ с помощью ((:dets:discrim#субдискриминанты субдискриминантов)). 2. Столбец координат $ X_{\ast}^{} $ точки первой квадрики, удовлетворяет тогда однородной системе уравнений $$ ( \lambda_{\ast} A_1 +(z_{\ast}-\lambda_{\ast})A_2 - \lambda_{\ast} (z_{\ast}-\lambda_{\ast}) A_2A_1) X = \mathbb O \ , $$ которая имеет бесконечное множество решений, ((algebra2:linearsystems#система_однородных_уравнений поскольку)) определитель ее матрицы равен нулю. Из этого бесконечного множества мы выделяем те решения, что удовлетворяют условию $ X^{\top}A_{1}X=1 $. При выполнении условий теоремы таких решений будет два (что соответствует симметрии задачи, см. рисунок). {{ :algebra2:optimiz:distel_el_c.jpg?400 |}} Аналогично, столбец координат $ Y_{\ast}^{} $ точки на второй квадрике $ Y^{\top}A_{2}Y=1_{} $ будет решением системы уравнений $$ ( \lambda_{\ast} A_1 +(z_{\ast}-\lambda_{\ast})A_2 - \lambda_{\ast} (z_{\ast}-\lambda_{\ast}) A_1A_2) Y = \mathbb O \ . $$ Заметим, что матрицы рассматриваемых линейных систем различаются лишь транспонированием. Для нахождения решений воспользуемся ((:algebra2:linearsystems#система_однородных_уравнений одним из результатов)) теории систем линейных уравнений. Составим столбец из ((:algebra2:dets#миноры_и_алгебраические_дополнения алгебраических дополнений)) к элементам какой-либо __строки__ матрицы $$ M= \lambda_{\ast} A_1 +(z_{\ast}-\lambda_{\ast})A_2 - \lambda_{\ast} (z_{\ast}-\lambda_{\ast}) A_2A_1 \ . $$ Тогда вектор $ X_{\ast}^{} $ отличается от этого столбца лишь множителем, который определится из условия $ X^{\top}A_{1}X=1_{} $. Аналогично, для получения столбца координат $ Y_{\ast}^{} $ возьмем столбец из алгебраических дополнений к элементам какого-либо __столбца__ той же матрицы $ M_{} $ и домножим его на константу, чтобы обеспечить выполнение условия $ Y^{\top}A_{2}Y=1_{} $. 3. Получившиеся пары $ X_{\ast},Y_{\ast}^{} $ надо согласовать: они должны подчиняться условию $$ (X_{\ast}-Y_{\ast})^{\top}(X_{\ast}-Y_{\ast})=z_{\ast} \ . $$ !!П!! **Пример.** Найти ближайшие точки эллипсов из предыдущего примера. **Решение.** Для найденного значения $ z_{\ast}=z_1 \approx 0.053945666_{} $ определитель матрицы $$ M=\left( \begin{array}{cc} 7\,\lambda^2+(-7z+9)\lambda+z & -2\lambda^2+(2\,z-\frac{13}{2})\lambda+\frac{1}{2}z \\ & \\ -\lambda^2+(z-\frac{13}{2})\lambda+\frac{1}{2}z & 5\lambda^2+(-5z+7)\lambda+z \end{array} \right) $$ как полином по $ \lambda_{} $ будет иметь кратный корень. Этот корень определяем[[Аналогично тому, как это было сделано в примере из ☞ ((#расстояние_от_точки_до_квадрики ПУНКТА))]] с помощью субдискриминантов в виде: $$ \lambda=-\frac{-725274\,z^5+1455894\,z^4+\frac{11286981}{2}z^3-\frac{26486523}{2}z^2+\frac{42000075}{8}z} {17591706\,z^4-109992894\,z^3+\frac{450450691}{2}z^2-\frac{315606253}{2}z+\frac{77466805}{8}} \ . $$ Подстановка сюда $ z=z_{\ast}^{} $ даст $ \lambda_{\ast} \approx -0.13576051_{} $. Далее, при найденных значениях $ z_{} $ и $ \lambda_{} $ система линейных уравнений $$ MX=\mathbb O_{2\times 1} $$ должна иметь бесконечное множество решений относительно вектора $ X_{2\times 1}^{} $. Одно из этих решений может быть построено (см. упражнение ☞ ((:algebra2:linearsystems#система_однородных_уравнений ЗДЕСЬ)) ) с помощью алгебраических дополнений к элементам, например, второй строки матрицы $ M_{} $: $$ \left( \begin{array}{c} 2\lambda^2-(2\,z-\frac{13}{2})\lambda-\frac{1}{2}z \\ \\ 7\,\lambda^2+(-7z+9)\lambda+z \end{array} \right) \quad \begin{array}{c} \longrightarrow \\ z=z_{\ast}, \lambda= \lambda_{\ast} \end{array} \quad X=\left( \begin{array}{c} -0.8579069 \\ \\ -0.9876166 \end{array} \right) \ . $$ Любое другое решение получается домножением полученного на произвольную константу ("растяжением" вектора). Воспользуемся этим, чтобы добиться выполнения условия $ X^{\top}A_{1} X =1_{} $. $$ X_{\ast}=\frac{1}{\sqrt{X^{\top}A_1 X}} X \approx \left( \begin{array}{c} -0.3838312 \\ -0.4418639 \end{array} \right) \ . $$ Аналогично, для нахождения точки на другом эллипсе, мы решаем систему $$ M^{\top}Y=\mathbb O_{2\times 1} \ , $$ представив ее решение опять-таки с помощью алгебраических дополнений к элементам второго столбца матрицы $ M_{} $: $$ \left( \begin{array}{c} \lambda^2-(z-\frac{13}{2})\lambda-\frac{1}{2}z \\ \\ 7\,\lambda^2+(-7z+9)\lambda+z \end{array} \right) \quad \begin{array}{c} \longrightarrow \\ z=z_{\ast}, \lambda= \lambda_{\ast} \end{array} \quad \left( \begin{array}{c} -0.8836615 \\ \\ -0.9876166 \end{array} \right) \quad \Rightarrow \quad Y_{\ast} \approx \left( \begin{array}{c} -0.5449964 \\ \\ -0.6091105 \end{array} \right) \ . $$ **Ответ.** $ \pm (0.3838312,\, 0.4418639)_{} $ и $ \pm (0.5449964,\, 0.6091105)_{} $ соответственно (знаки должны быть согласованы). **Проверка.** Если в ответе взять знак $ +_{} $: $$ X_{\ast}-Y_{\ast} = \left( \begin{array}{c} -0.1611652 \\ -0.1672466 \end{array} \right)= \lambda_{\ast} A_1X_{\ast}=(\lambda_{\ast}-z_{\ast})A_2Y_{\ast},\quad (X_{\ast}-Y_{\ast})^{\top}(X_{\ast}-Y_{\ast})\approx \mathbf{0.0539456}4 \ . $$ !!Т!! **Теорема.** ((#источники [3,4])).//Пусть// $$ X^{\top} A_{1}X+2\,B^{\top}_1X-1=0 \ \mbox{и} \ X^{\top} A_{2}X+2\,B^{\top}_2X-1=0 $$ --- //квадрики в// $ {\mathbb R}^{n}_{} $, //причем первая является эллипсоидом. Квадрики пересекаются тогда и только тогда, когда среди вещественных корней полинома// $$ \Theta (z) = {\mathcal D}_\lambda \left( \det \left( \left[ \begin{array}{cc} A_2 & B_2\\ B_2^{\top} & -1-z \end{array} \right] - \lambda \left[ \begin{array}{cc} A_1 & B_1\\ B_1^{\top} & -1 \end{array} \right] \right) \right) $$ //имеются числа разных знаков или нуль. Здесь// $ {\mathcal D}_{} $ --- //((:dets:discrim дискриминант)) полинома рассматриваемого относительно переменной// $ \lambda_{} $. Условие теоремы проверяется чисто алгебраически, т.е. без привлечения численных методов нахождения корней полинома. См. следствие к теореме Йоахимшталя ☞ ((polynomial:zero_local#ганкелевы_матрицы_в_теории_локализации_корней ЗДЕСЬ)). !!=>!! Для того, чтобы существовала точка касания квадрик $$ X^{\top} A_{1}X+2\,B^{\top}_1X-1=0 \ \mbox{и} \ X^{\top} A_{2}X+2\,B^{\top}_2X-1=0 $$ необходимо и достаточно, чтобы было выполнено условие $$ {\mathcal D}_\lambda \left( \det \left( \left[ \begin{array}{cc} A_2 & B_2\\ B_2^{\top} & -1 \end{array} \right] - \lambda \left[ \begin{array}{cc} A_1 & B_1\\ B_1^{\top} & -1 \end{array} \right] \right) \right) =0 \ . $$ !!Т!! **Теорема.** ((#источники [3,4])). //Если не выполняется условие предыдущей теоремы, то квадрат расстояния между// $$ \mbox{эллипсоидом} \quad X^{\top} A_{1}X+2\,B^{\top}_1X-1=0 \quad \mbox{ и квадрикой } \quad X^{\top} A_{2}X+2\,B^{\top}_2X-1=0 $$ //совпадает с минимальным положительным корнем полинома// $$ {\mathcal F}(z) = $$ $$ ={\mathcal D}_{\mu_1, \mu_2} \left( \det \left( \mu_1 \left[ \begin{array}{cc} A_1 & B_1\\ B_1^{\top} & -1 \end{array} \right] + \mu_2 \left[ \begin{array}{cc} A_2 & B_2\\ B_2^{\top} & -1 \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{cc} A_2 A_1 & A_2 B_1\\ B_2^{\top} A_1 & B_2^{\top}B_1 - \mu_1 \mu_2 z \end{array} \right] \right) \right), $$ //в предположении, что этот корень не является кратным. Здесь// $ {\mathcal D}_{} $ --- //((:dets:discrim дискриминант)) полинома рассматриваемого относительно переменных// $ \mu_{1}, \mu_{2} $. !!П!! **Пример.** Найти расстояние между эллипсами $$-\frac{1}{2}\,x_1^2+\frac{1}{2}\,x_1x_2-\frac{3}{2}\,x_2^2+\frac{5}{2}\,x_1+4\,x_2=1 $$ и $$-\frac{1}{84}\,x_1^2-\frac{4}{189}\,x_2^2-\frac{1}{3}\, x_1=1 \ . $$ **Решение.** Здесь $$ A_1= \left( \begin{array}{rr} -\frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ \\ \frac{1}{4} & -\frac{3}{2} \end{array} \right), \quad B_1=\left( \begin{array}{c} \frac{5}{4} \\ \\ 2 \end{array} \right), \quad A_2= \left( \begin{array}{cc} -\frac{1}{84} & 0 \\ \\ 0 & -\frac{4}{189} \end{array} \right),\quad B_2=\left( \begin{array}{r} -\frac{1}{6} \\ \\ 0 \end{array} \right) \ . $$ Проверяем сначала условия пересечения поверхностей. $$ \Theta (z) = {\mathcal D}_\lambda \left(-\begin{array}{c} \frac{157}{32} \end{array} \lambda^3-\left\{ \begin{array}{c} \frac{4315}{3024} \end{array} + \begin{array}{c} \frac{11}{16}z \end{array} \right\}\lambda^2+\left\{-\begin{array}{c} \frac{11}{2646} \end{array} + \begin{array}{c} \frac{43}{1512} \end{array} z \right\}\lambda- \begin{array}{c} \frac{1}{3969}\end{array} z + \begin{array}{c} \frac{4}{11907} \end{array}\right)= $$ $$ =\begin{array}{c}\frac{1}{{\scriptstyle 9219465541730304}} \end{array} ({\scriptstyle 505118694465}\,z^4-{\scriptstyle 1023679248858}\,z^3- {\scriptstyle 7568287236783}\,z^2+ {\scriptstyle 33720131260536}\,z +{\scriptstyle 34005894083152})\ . $$ Полином имеет ((:dets:discrim#вещественность_корней два вещественных корня)), оба отрицательны. Эллипсы не пересекаются. Далее, $$ \Psi(\mu_1,\mu_2,z)=\det \left( \mu_1 \left[ \begin{array}{cc} A_1 & B_1\\ B_1^{\top} & -1 \end{array} \right] + \mu_2 \left[ \begin{array}{cc} A_2 & B_2\\ B_2^{\top} & -1 \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{cc} A_2 A_1 & A_2 B_1\\ B_2^{\top} A_1 & B_2^{\top}B_1 - \mu_1 \mu_2 z \end{array} \right] \right) = $$ $$ =\frac{11}{16}z\mu_1^3 \mu_2+\frac{43}{1512}z\mu_1^2\mu_2^2+\frac{1}{3969}z\mu_1\mu_2^3+ \frac{157}{32}\mu_1^3-\frac{4315}{3024}\mu_1^2\mu_2+ $$ $$ +\frac{275}{12096}z\mu_1^2\mu_2+\frac{11}{2646}\mu_1\mu_2^2+\frac{2}{3969}z\mu_1\mu_2^2+\frac{4}{11907}\mu_2^3+\frac{3925}{24192}\mu_1^2+ $$ $$ +\frac{11}{63504}z\mu_1\mu_2-\frac{619}{31752}\mu_1\mu_2+\frac{8}{11907}\mu_2^2+\frac{157}{127008}\mu_1+\frac{11}{47628}\mu_2 \ . $$ Вычисляем дискриминант этого полинома по переменным $ \mu_{1} $ и $ \mu_{2} $, представив соответствующий результант $$ {\mathcal R}_{\mu_1,\mu_2}\left(\frac{\partial \Psi}{\partial \mu_1}, \frac{\partial \Psi}{\partial \mu_2}, \Psi \right) $$ в виде определителя матрицы Безу[[Пока не написал теорию вычисления дискриминанта полинома от двух переменных - предлагаю принять на веру все нижеследующее]]: $$ \mathfrak B= \left( \begin{array}{cccc} -{\scriptstyle 949850}\,z-{\scriptstyle 38319304} & -{\scriptstyle 76994841}\,z+ {\scriptstyle 29798905836} & \dots & \\ {\scriptstyle 179712037934}\,z^2-{\scriptstyle 6628863332080}\,z-{\scriptstyle 18668859390944800} & & \dots & \\ \dots &&& \dots \\ & & & \end{array} \right) $$ Выражения для элементов первой и последней строк ☞ ((algebra2:optimiz:distance:vspom1 ЗДЕСЬ)). $$ {\mathcal F}(z) =\det (\mathfrak B) \equiv 3869893(20090\,z+3526681)^2 \times $$ $$ \times ({\scriptstyle 12866891832025}\,z^{12}-{\scriptstyle 2445505463588880}\,z^{11}-{\scriptstyle 10867111637549652716}\,z^{10}-{\scriptstyle 3123865087697933253136}\,z^9+ $$ $$ +{\scriptstyle 1561852119815441835822424}\,z^8+{\scriptstyle 1041845279230362476059640640}\,z^7+{\scriptstyle 302844249329911871856294474624}\,z^6+ $$ $$ +{\scriptstyle 50781476668832773753935668661952}\,z^5+{\scriptstyle 2215513880036430404751762329796624}\,z^4- $$ $$ -{\scriptstyle 646131957386364232922218724008039168}\,z^3-{\scriptstyle 99189074464451279399168578577559865856}\,z^2- $$ $$ -{\scriptstyle 5789019527920299026625801973715386789888}\,z+{\scriptstyle 60730952901233749068462660878127980941312}) $$ Первый сомножитель по $ z_{} $ является "посторонним"[[Всегда будет наличествовать квадрат некоторого полинома по $ z_{} $, который следует отбрасывать - потом поясню откуда берется.]] и отбрасывается. Положительные корни второго сомножителя: $$ 9.0183982802, \ 121.59673276,\ 582.35840496,\ 1031.42118655 $$ **Ответ.** $ d \approx \sqrt{9.0183982802} \approx 3.00306481 $. Нахождение ближайших точек на квадриках (обеспечивающих найденное расстояние) возможно по следующему алгоритму. 1. После нахождения (с необходимой точностью) минимального положительного корня $ z_{\ast}^{} $ полинома $ {\mathcal F}(z) $, установим соответствующие ему значения $ \mu_{1}^{} $ и $ \mu_{2}^{} $. Соответствие понимается в том смысле, что при $ z=z_{\ast}^{} $ дискриминант полинома $$ \Psi(\mu_1,\mu_2,z)=\det \left( \mu_1 \left[ \begin{array}{cc} A_1 & B_1\\ B_1^{\top} & -1 \end{array} \right] + \mu_2 \left[ \begin{array}{cc} A_2 & B_2\\ B_2^{\top} & -1 \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{cc} A_2 A_1 & A_2 B_1\\ B_2^{\top} A_1 & B_2^{\top}B_1 - \mu_1 \mu_2 z \end{array} \right] \right) $$ --- как полинома по переменным $ \mu_{1},\mu_{2} $ --- обращается в нуль, то есть этот полином обладает кратным корнем, который мы обозначим $ (\mu_{1\ast},\mu_{2\ast}) $. Этот корень может быть найден в виде рациональной функции от $ z_{\ast}^{} $ с помощью миноров матрицы Безу. Если матрица Безу $ \mathfrak B_{} $ порядка $ N_{} $ построена для мономиального базиса, в котором первые три монома имеют вид $ 1,\mu_1, \mu_{2} $, то, обозначив $ {\mathfrak B}_{N1}, {\mathfrak B}_{N2}, {\mathfrak B}_{N3}^{} $ ((:algebra2/dets#миноры_и_алгебраические_дополнения алгебраические дополнения)) элементов ее последней строки, будем иметь $$ \mu_{1\ast} = \frac{\mathfrak B_{N2}}{\mathfrak B_{N1}};\ \mu_{2\ast} = \frac{\mathfrak B_{N3}}{\mathfrak B_{N1}} \ . $$ 2. Составим матрицу $$ M= \mu_{1\ast} A_1+\mu_{2\ast}A_2-A_2A_1 \ . $$ Тогда координатные столбцы ближайших точек на квадриках вычисляются по формулам: $$ X_{\ast}=M^{-1} (A_2B_1-\mu_{1\ast} B_1-\mu_{2\ast}B_2),\ Y_{\ast}=(M^{-1})^{^{\top}} (A_1B_2 - \mu_{1\ast} B_1-\mu_{2\ast}B_2). $$ !!П!! **Пример.** Найти ближайшие точки эллипсов из предыдущего примера. **Решение.** Подставляем найденное значение квадрата расстояния $ z=z_{\ast}^{} $ в формулы для определения компонент кратного корня: $$ \mu_1=\frac{\mathfrak B_{9,2}}{\mathfrak B_{9,1}}\equiv -\frac{2}{21} \frac{p_2(z)}{p_1(z)},\ \mu_2=\frac{\mathfrak B_{9,3}}{\mathfrak B_{9,1}}\equiv -\frac{1099}{8} \frac{p_3(z)}{p_1(z)} $$ при $$ p_1(z)={\scriptstyle 30581063813712982235616866861258531260075854083860480}+\dots +{\scriptstyle 42267948346218643456100}\,z^{13} \ , $$ $$ p_2(z)={\scriptstyle 6423295122838229007549546733287643446036432415004672}+\dots + {\scriptstyle 10295520700745795900000}\,z^{13} $$ и $$ p_3(z)={\scriptstyle 11528328181753695140063436659475618124233172074496}+\dots +{\scriptstyle 303317089743521700}\,z^{13} \ . $$ (Полные представления ☞ ((algebra2:optimiz:distance:vspom1 ЗДЕСЬ)).) В результате, получаем: $$ \mu_{1\ast}\approx 0.0420933593 ,\ \mu_{2\ast}\approx 0.5932113733 \ . $$ Матрица $ M_{} $: $$ M=\mu_{1\ast} A_1+\mu_{2\ast}A_2-A_2A_1= \left(\begin{array}{rr} -0.0340611008 & 0.0134995303 \\ 0.0158143451 & -0.1074408089 \end{array} \right) $$ и по указанным выше формулам получаем **Ответ.** $$ X_{\ast}\approx \left(\begin{array}{r} -0.4824707833 \\ 1.1065143947 \end{array} \right),\ Y_{\ast}\approx \left( \begin{array}{r} -3.46262940675\\ 0.73630788509 \end{array} \right)\ . $$ {{ algebra2:optimiz:ellipses_noncentral.jpg |}} **Проверка.** $$ (X_{\ast}-Y_{\ast})^{\top}(X_{\ast}-Y_{\ast})\approx \mathbf{9.018398280}3\ , $$ $$ X_{\ast}^{\top}A_1X_{\ast}+2B_1^{\top}X_{\ast}-1 \approx 1\cdot 10^{-9}\ , \ Y_{\ast}^{\top}A_2Y_{\ast}+2B_2^{\top}Y_{\ast}-1\approx -3\cdot 10^{-10}\ , $$ и вектор $ X_{\ast}-Y_{\ast}^{} $ перпендикулярен обоим эллипсам в соответствующих ближайших точках: $$ A_1X_{\ast}+B_1= \left(\begin{array}{r} 1.767863990 \\ 0.219610712 \end{array} \right)=\mu_{2\ast} (X_{\ast}-Y_{\ast}), \ A_2Y_{\ast}+B_2= \left(\begin{array}{r} -0.1254448880 \\ -0.0155832356 \end{array} \right)=-\mu_{1\ast} (X_{\ast}-Y_{\ast}) \ . $$ Как правило, степень полинома $ {\mathcal F}(z)_{} $ из последней теоремы (после отбрасывания постороннего множителя) равна $ 2n(n+1)_{} $. Коэффициенты этого полинома могут быть чудовищны. !!П!! **Пример.** Найти расстояние между эллипсоидами $$ 7\,x_1^2+6\,x_2^2+5\,x_3^2-4\,x_1x_2-4\,x_2x_3-37\,x_1-12\,x_2+3\,x_3+54=0$$ и $$ 189\,x_1^2+x_2^2+189\,x_3^2+2\,x_1x_3-x_2x_3-27=0\ .$$ **Решение.** Здесь $$ \mathcal F (z)= \underbrace{\scriptstyle{891807829233048602 \dots 129270962946048}}_{146} \, z^{24} + \dots + \underbrace{\scriptstyle{11195843896426573542 \dots 420939042193186989409}}_{189} $$ **Ответ.** $ d \approx \sqrt{1.3537785005} \approx 1.1635198754_{} $ ==Алгебраические кривые и многообразия== ===Расстояние от точки до плоской алгебраической кривой == **Задача.** Пусть алгебраическая кривая задана уравнением $$ \Phi(x,y)=0 \ . $$ Здесь $ \Phi_{}(x,y) $ --- отличный от константы полином от $ x_{} $ и $ y_{} $ с вещественными коэффициентами. Требуется найти расстояние до этой кривой от начала координат. Здесь возникает проблема, которую для рассмотренных выше случаев удавалось либо обойти, либо же сравнительно дешево решить: это проблема //существования// решения. Дело в том, что уравнение может не иметь вещественных решений, то есть не определять никакой кривой на плоскости $ \mathbb R^{2} $. Будем решать задачу сначала для частного случая --- пусть полином $ \Phi_{}(x,y) $ является __четным__ по переменной $ y_{} $. Геометрически это означает, что кривая (если она существует) будет зеркально симметричной относительно оси $ \mathbb Ox $. А с аналитической точки зрения такой полином можно представить в виде полинома $$ F(x,Y) \equiv \Phi_{}(x,y) \quad npu \quad Y=y^2 \ . $$ !!Т!! **Теорема 1 ((#источники [6])).** //Пусть// $ \Phi_{}(x,y) \equiv \Phi_{}(x,-y) $. //Уравнение// $ \Phi_{}(x,y)=0 $ //не имеет вещественных решений если одновременно выполняются два условия:// **a)** //уравнение// $ \Phi(x,0)=0 $ //не имеет вещественных решений;// **б)** //уравнение// $$ \mathcal F(z)=\mathcal D_x( F(x,z-x^2))=0 $$ //не имеет положительных решений.// //Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то квадрат расстояния от начала координат до кривой// $ \Phi(x_{},y)=0 $ //равен либо квадрату минимального по модулю вещественного корня уравнения// $ \Phi(x,0)=0 $, //либо же минимальному положительному корню уравнения// $ \mathcal F(z)= 0 $, //при условии, что последний не является кратным. Здесь// $ {\mathcal D}_{} $ --- //((:dets:discrim дискриминант)) полинома, рассматриваемого относительно переменной// $ x_{} $. !!П!! **Пример.** Найти расстояние от начала координат до кривой $$ \Phi(x,y)=x^6-5\,x^4y^2-y^6-6\,x^5+6\,xy^4+10\,y^4+25\,x-45=0 \ . $$ **Решение.** Уравнение $$ \Phi(x,0)=x^6-6\,x^5+25\,x-45=0 $$ имеет вещественные корни $ \mu_1\approx -1.621919 $ и $ \mu_2 \approx 5.986387 $. {{ algebra2:optimiz:alg_curve111.png |}} Далее, $$ F(x,Y)=x^6-5\,x^4Y-Y^3-6\,x^5+6\,xY^2+10\,Y^2+25\,x-45 $$ и полином $$ \mathcal F(z)=\mathcal D_x (F(x,z-x^2))= {\scriptstyle 124422592}\,z^{15}-{\scriptstyle 1996675968}z^{14}-{\scriptstyle 26107738048}\,z^{13}+{\scriptstyle 270691240064}\,z^{12}+ {\scriptstyle 1462429768576}z^{11} $$ $$ -{\scriptstyle 31070151855680}z^{10}+ {\scriptstyle 104850679100160}\,z^9+{\scriptstyle 106422502370800}\,z^8-{\scriptstyle 1956603249193600}\,z^7+{\scriptstyle 1683409252901600}\,z^6+ $$ $$ +{\scriptstyle 3565828983027500}z^5 -{\scriptstyle 23058839076745500}\,z^4+{\scriptstyle 30272455856370000}\,z^3+{\scriptstyle 28139412928130000}\,z^2-{\scriptstyle 97452805338000000}\, z+ $$ $$ +{\scriptstyle 171049864407603125} $$ имеет минимальный положительный корень равный $ \lambda \approx 1.965293 $. Поскольку $ \sqrt{\lambda} < |\mu_1| $, то получаем **Ответ.** $ d \approx 1.334155 $. Понятно как решать задачу и в случае четности полинома $ \Phi_{}(x,y) $ по переменной $ x_{} $. Но как решить задачу в общем случае --- когда свойства четности нет ни по одной из переменных? --- Надо эту четность "сделать". Рассмотрим полином $$ \tilde F(x,Y) \equiv \Phi_{}(x,y) \Phi_{}(x,-y) \quad npu \quad Y=y^2 \ . $$ !!Т!! **Теорема 2 ((#источники [6])).** //Уравнение// $ \Phi_{}(x,y)=0 $ //не имеет вещественных решений если одновременно выполняются два условия:// **a)** //уравнение// $ \Phi(x,0)=0 $ //не имеет вещественных решений;// **б)** //уравнение// $$ \widetilde{\mathcal F}(z)=\mathcal D_x( \widetilde{F} (x,z-x^2))=0 $$ //не имеет положительных решений.// //Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то квадрат расстояния от начала координат до кривой// $ \Phi(x_{},y)=0 $ //равен либо квадрату минимального по модулю вещественного корня уравнения// $ \Phi(x,0)=0 $, //либо же минимальному положительному корню уравнения// $ \widetilde{\mathcal F}(z)= 0 $, //при условии, что последний не является кратным. Здесь// $ {\mathcal D}_{} $ --- //((:dets:discrim дискриминант)) полинома, рассматриваемого относительно переменной// $ x_{} $. !!П!! **Пример.** Найти расстояние от начала координат до кривой $$ \begin{array}{lll} \Phi(x,y) & = & 32\,x^4y+64\,x^2y^3+32\,y^5-16\,x^4-96\,x^2y^2-80\,y^4+ \\ && +48\,x^2y+80\,y^3+120\,x^2-576\,xy+56\,y^2+160\,x-118\,y+71=0 \ . \end{array} $$ {{ algebra2:optimiz:alg_curve2.jpg |}} **Решение.** Опуская промежуточные выкладки, привожу только выражение для дискриминанта: $$ \widetilde{\mathcal F}(z) \equiv \widetilde{\mathcal F}_1(z) \widetilde{\mathcal F}_2^2(z) $$ при $$ \widetilde{\mathcal F}_1(z) = {\scriptstyle 87241523200}\,z^{15}-{\scriptstyle 244343373824}\,z^{14}+ {\scriptstyle 6135125901312}\,z^{13}-{\scriptstyle 99762334334976}\,z^{12}+{\scriptstyle 122650759266304}\,z^{11}- $$ $$ -{\scriptstyle 2018722496380928}\,z^{10} +{\scriptstyle 36775841922285568}\,z^9+{\scriptstyle 83476886207856640}\,z^8-{\scriptstyle 125448251244072960}\,z^7-{\scriptstyle 3659244138715855872}\,z^6- $$ $$ -{\scriptstyle 16653164114254566912}\,z^5-{\scriptstyle 39789124482714260608}\,z^4+{\scriptstyle 21724179049244829584}\,z^3-{\scriptstyle 2250891598084946580}\,z^2+{\scriptstyle 484733011031273132}\,z- $$ $$ -{\scriptstyle117947376101831257} $$ и $$ \widetilde{\mathcal F}_2(z) =4096\,z^6+18432\,z^5+18176\,z^4-1501440\,z^3+305136\,z^2+2195912\,z+709721 \, . $$ Полином $ \widetilde{\mathcal F}_1(z) $ имеет три вещественных корня: $ \lambda_1 \approx 0.208349,\ \lambda_2 \approx 0.360823,\ \lambda_3 \approx 6.480707 $. Вещественные корни $ \Phi(x,0) $: $ \mu_1 \approx -1.835484, \mu_2 \approx 3.306151 $. {{ algebra2:optimiz:alg_curve3.jpg |}} Сомножитель $ \widetilde{\mathcal F}_2^2(z) $ я отбросил как "посторонний", т.е. его корни --- все они кратные --- не сравнивал по величине с $ \lambda_1 $ и $ \mu_1^2 $. Откуда, собственно, этот сомножитель взялся? Будет ли он присутствовать и в общем случае, т.е. можно ли в полиноме $ \widetilde{\mathcal F} $ из теоремы $ 2 $ выделить сомножитель в виде квадрата некоторого другого полинома? --- Для того, чтобы угадать происхождение этого множителя всё же вычислим его положительные корни: $ \xi_1 \approx 1.483677, \xi_2 \approx 5.553837 $. Теперь изобразим на последнем рисунке окружности $ x^2+y^2= \xi_{1,2} $: {{ algebra2:optimiz:alg_curve4.jpg |}} Окружности прошли через точки пересечения кривых $ \Phi_{}(x,y) = 0 $ и $ \Phi_{}(x,-y) =0 $. **Гипотеза.** Разложим полином $ \Phi_{}(x,y) $ по степеням $ y_{} $ и выделим четные и нечетные слагаемые по этой переменной: $$ \Phi_{}(x,y) \equiv F_1(x,Y)+ y F_2(x,Y) \qquad npu \quad Y=y^2 \ . $$ С точностью до постоянного сомножителя, имеет место тождество $$ \widetilde{\mathcal F}_2(z) \equiv \mathcal R_x(F_1(x,z-x^2),F_2(x,z-x^2)) \ . $$ Здесь $ \mathcal R_{} $ --- ((:dets:resultant результант)) полиномов, рассматриваемых относительно переменной $ x_{} $. **Ответ.** $ d \approx 0.456453 $. ==Расстояние в пространстве матриц == до некоторых критических многообразий: * до многообразия вырожденных матриц; * до многообразия матриц, имеющих собственное число на мнимой оси $ \mathfrak{Re}(z)=0 $ комплексной плоскости; * до многообразия матриц, имеющих кратные собственные числа ☞ ((:algebra2/optimiz/distance/matrix_dist ЗДЕСЬ)). ===Разные задачи == ====Обобщенная задача Ферма-Торричелли== **Задача**. Пусть на плоскости заданы три точки $ P_1=(x_1,y_1),P_2=(x_2,y_2),P_3=(x_3,y_3) $, не лежащие на одной прямой. Определить координаты точки $ P_{\ast}=(x_{\ast},y_{\ast}) $, решающей задачу оптимизации: $$ \min_{(x,y)} F(x,y) \quad \mbox{ для } \quad F(x,y)= \sum_{j=1}^3m_j \sqrt{(x-x_j)^2+(y-y_j)^2} \ . $$ Здесь числа $ m_1,m_2,m_3 $ предполагаются положительными и в дальнейшем называются //весами//. Задача известна под различными названиями: //(обобщенная) задача Ферма-Торричелли-Штейнера//, //задача Вебера//, //задача об оптимальном расположении (узловой) станции//[[(//Нем.//) Problem des Knotenpunktes ((#источники [4])).]], //задача о трёх заводах.// !!П!! **Пример.** В точках $ P_{1},P_2,P_3 $ расположены источники полезных ископаемых: железной руды, угля и воды соответственно. Известно, что для производства одной тонны стали необходимо иметь $ m_{1} $ тонн руды, $ m_2 $ тонн угля и $ m_3 $ тонн воды. В предположении, что стоимость перевозки одной тонны груза не зависит от его природы, где следует расположить сталелитейное производство так, чтобы минимизировать транспортные издержки? !!§!! ''Подробное обсуждение этой задачи (и к ней примыкающих)'' ☞ ((:algebra2:optimiz:distance:torri ЗДЕСЬ)). ====Задача о точке Лемуана-Греба== **Задача.** Найти точку плоскости, cумма квадратов расстояний от которой до сторон треугольника, лежащего в этой же плоскости, минимальна. В русскоязычной литературе ((#источники [5])) иногда называется задачей Кэзи[[**Casey** John (1820-1891) --- английский математик. Биография ☞ ((http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Biographies/Casey.html ЗДЕСЬ))]], однако в других источниках атрибуция приведенной задачи Кэзи не подтверждена. См. краткое описание истории задачи ☞ ((http://sunsite.utk.edu/math_archives/.http/hypermail/historia/dec99/0085.html ЗДЕСЬ)). **Решение.** Пусть $ d_1, d_2,d_3 $ --- расстояния от точки $ P_{} $ плоскости до сторон треугольника с длинами $ D_1, D_2, D_3 $ соответственно. Воспользуемся ((:numtheory:divispascal:vspom2 тождеством Лагранжа)): $$ (d_1^2+ d_2^2+d_3^2)(D_1^2+ D_2^2+D_3^2)\equiv $$ $$ \equiv (d_1D_1+ d_2D_2+d_3D_3)^2+(d_1D_2-d_2D_1)^2+(d_2D_3-d_3D_2)^2+ (d_1D_3-d_3D_1)^2 \ . $$ Величина $ d_1D_1+ d_2D_2+d_3D_3 $ является постоянной, не зависящей от координат точки $ P_{} $: $$ d_1D_1+ d_2D_2+d_3D_3 =2S \ , $$ где $ S_{} $ --- площадь данного треугольника. Следовательно $ \min (d_1^2+d_2^2+d_3^2) $ достигается при условиях $$ d_1D_2-d_2D_1=0,\ d_2D_3-d_3D_2=0,\ d_1D_3-d_3D_1=0 \ , $$ то есть когда $$ \frac{d_1}{D_1}=\frac{d_2}{D_2}=\frac{d_3}{D_3} \ . $$ Определяемая этими соотношениями точка называется **точкой Лемуана**[[**Lemoine** Emile (1840-1912) --- французский математик. Биография ☞ ((http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Biographies/Lemoine.html ЗДЕСЬ)).]] или **точкой Греба**[[**Grebe** Ernst Wilhelm (1804-1874) --- немецкий учитель математики.]]; в ней пересекаются ((http://school-collection.edu.ru/catalog/res/703de2d4-b6d4-4324-8bae-bb8e70027486/view/?_fromRegGuid=3a573833-5fb1-f532-a6df-5e0d9a858974 симедианы)) треугольника. Интересна параллель этой задачи с решаемой в пункте ☞ ((#расстояние_от_точки_до_линейного_многообразия_плоскости РАССТОЯНИЕ ДО ПЛОСКОСТИ)): в трехмерном пространстве найти ближайшую к началу координат точку плоскости $ D_1x+D_2y+D_3z=2 S $. Решением будет точка с координатами $ (d_1,d_2,d_3) $. ====Еще некоторые задачи== !!§!! ''Построение прямой на плоскости, сумма квадратов расстояний до которой от заданных точек минимальна'' ☞ ((:interpolation#аппроксимация_в_случае_недостоверности_данных ЗДЕСЬ)) ==Задачи учебные== ☞ ((:algebra2:optimiz:distance:problems ЗДЕСЬ)). ==Источники== [1]. **Чезаро Э.** ((:references#чезаро Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления бесконечно малых.)) c.360-361 [2]. **Икрамов Х.Д.** //Задачник по линейной алгебре//. М.Наука. 1975 ((:algebra2:optimiz:distance:vspom4 .)) [3]. **Uteshev A.Yu.**, **Yashina M.V.** //Distance Computation from an Ellipsoid to a Linear or a Quadric Surface in))// $ {\mathbb R}^{n} $. Lect.Notes Comput. Sci. 2007. V.4770. P.392-401 [4]. **Uteshev A.Yu., Yashina M.V.** //Metric Problems for Quadrics in Multidimensional Space.// J.Symbolic Computation, 2015, Vol. **68**, Part I, P. 287-315. Текст ☞ ((http://www.apmath.spbu.ru/ru/staff/uteshev/publ/publ12.pdf ЗДЕСЬ)) (pdf) [5]. **Попов Г.Н.** //Сборник исторических задач по элементарной математике.// М.-Л.ГТТИ.1932 [6]. **Uteshev A.Yu.**, **Goncharova M.V.** //Metric problems for algebraic manifolds: Analytical approach.// Constructive Nonsmooth Analysis and Related Topics (dedicated to the memory of V.F. Demyanov) (CNSA), 2017, IEEE, http://ieeexplore.ieee.org/document/7974027/