==Обозначения==
=== Для множеств==
$ \operatorname{Card} $ --- используется для обозначения количества элементов в конечном множестве:
$$ \operatorname{Card}(\{1,3,8,\pi\})=4 \ . $$
**Разностью** двух множеств[[(//англ.//) Relative complement of $ \mathbb B $ with respect to $ \mathbb A $]] $ \mathbb A $ и $ \mathbb B $ называется подмножество всех элементов ммножества $ \mathbb A $, не принадлежащих $ \mathbb B $:
$$ \mathbb A \setminus \mathbb B=\{ x \mid x\in \mathbb A, x\not\in \mathbb B \} \, . $$
==== Числовые множества ==
$ \mathbb N $ --- натуральных чисел;
$ \mathbb Z_{} $ --- целых чисел;
$ \mathbb Q_{} $ --- рациональных чисел;
$ \mathbb R_{} $ --- вещественных чисел;
$ \mathbb C_{} $ --- ((:complex_num комплексных чисел)).
===Целые числа==
$ \operatorname{HOD} $ --- ((:numtheory#алгоритм_евклида наибольший общий делитель));
$ \operatorname{HOK} $ --- ((:numtheory#алгоритм_евклида наименьшее общее кратное));
$ \underline{{\mathfrak a}_1{\mathfrak a}_2 \dots {\mathfrak a}_s {\mathfrak a}_{s+1}} $ --- представление числа в десятичной системе счисления:
$$ \underline{{\mathfrak a}_1{\mathfrak a}_2 \dots {\mathfrak a}_s {\mathfrak a}_{s+1}} =
{\mathfrak a}_1\times 10^s+{\mathfrak a}_2 \times 10^{s-1} + \dots +{\mathfrak a}_s \times
10 + {\mathfrak a}_{s+1} ; $$
$ A \equiv B \pmod{M} $ (или $ A \equiv_{_M} B $) обозначает факт ((:modular#сравнения сравнимости)) $ A_{} $ с $ B_{} $ по модулю
$ M_{} $, т.е. что числа $ A_{} $ и $ B_{} $ имеют одинаковые остатки при делении на $ M_{} $ ;
$ x= A \pmod{M} $ понимается в смысле, что переменной $ x_{} $ присваивается значение остатка от деления числа $ A_{} $ на $ M_{} $;
$ \operatorname{ind}_{_{\Lambda}} A $ --- ((:modular:index#индекс индекс)) числа $ A_{} $ по модулю $ p_{} $ и основанию $ \Lambda $.
$ \mathbb Z_M $ --- ((:modular#классы_вычетов множество классов вычетов)) по модулю $ M $.
====Биномиальный коэффициент===
$$ C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n(n-1) \times \dots \times (n-k+1)}{1\cdot 2 \times \dots \times k}$$
В англоязычной литературе обозначается $ {n \choose k} $.
!!П!! **Пример.**
$$ C_n^1=n, C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}, C_{17}^5=\frac{17\cdot 16\cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{2\cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} =6188 \ . $$
Используется в формуле ((:binomial бинома Ньютона)) и в комбинаторике.
**Свойства.**
1.
Биномиальный коэффициент --- целое число.
2.
При $ p_{} $ --- простом все коэффициенты $ C_p^1, C_p^2,\dots,C_p^{p-1} $ делятся на $ p_{} $. Доказательство
☞
((:modular:vspom5 ЗДЕСЬ)).
3.
$ C_n^{k}=C_n^{n-k} $ при любом $ k\in \{0,\dots,n \} $.
4.
$ C_n^k + C_n^{k+1}= C_{n+1}^{k+1} $ при любом $ k\in \{0,\dots,n-1 \} $.
5.
Число ((:basics:combinatorics#сочетания сочетаний)) из $ n_{} $ элементов по $ k_{} $ элементов равно $ C_n^{k} $.
==== Функция Эйлера==
или **тотиент** натурального числа $ A_{} $ обозначается $ \phi (A) $ и представляет собой количество чисел ряда
$$
0,1, \dots, A-1 \ ,
$$
взаимно простых c $ A_{} $.
!!П!!** Пример.**
$ \phi (1)=1, \, \phi (2)=1, \, \phi (3)=2, \,
\phi (4)=2, \, \phi (5)=4, \, \phi (6)=2, \phi (7)=6 ,\, \phi (8)=4 , \,
\phi (12)=4 $.
Подробнее
☞
((:numtheory#функция_эйлера ЗДЕСЬ)).
====Символ Кронекера==
$$
\delta_{jk}= \left\{
\begin{array}{rcc}
1 & npu & j=k; \\
0 & npu & j\ne k_{}. \\
\end{array} \right.
$$
===Вещественные числа==
====Знак числа==
$ \operatorname{sign} $ --- знак числа[[signum (//лат.//) --- знак]]; определяется для вещественного числа $ x_{} $ по правилу
$$
\operatorname{sign}\, (x) = \left\{
\begin{array}{rcc}
+1 & npu & x>0; \\
0 & npu & x=0 ; \\
-1 & npu & x<0.
\end{array} \right.
$$
====Целая часть числа==
определяется для любого вещественного числа $ x_{} $ как наименьшее целое число, не превосходящее $ x_{} $. Обозначается $ \lfloor x \rfloor $.
!!П!! **Пример.**
$$ \lfloor 5.37 \rfloor = 5, \ \lfloor \pi \rfloor = 3,\ \lfloor -34.4 \rfloor =-35,\ \lfloor -0.(123) \rfloor = -1 \ . $$
Обозначение $ \lfloor \ \ \ \rfloor $ по-английски называется floor (пол); оно получило распространение в последние десятилетия. В литературе
встречаются также обозначения $ [x] $ или[[Entier (//фр.//) --- целый.]]
$ E (x) $.
Справедливо следующее свойство функции $ \lfloor x \rfloor $:
$$ \lfloor x \rfloor + \left \lfloor x+\frac{1}{n} \right \rfloor + \left \lfloor x+\frac{2}{n} \right \rfloor + \dots + \left \lfloor x+\frac{n-1}{n} \right \rfloor = \lfloor nx \rfloor $$
для любого натурального $ n_{} $.
==== Число знакопостоянств (знакоперемен) ==
определяется для конечной последовательности __вещественных__ чисел $ A_{1},\dots, A_n, (n\ge 2) $. Если числа $ A_{1} $ и $ A_{2} $ --- одного знака, то говорят, что имеет место **знакопостоянство** (или **постоянство знака**) , если разного --- то **знакоперемена** (или **перемена знака**). Вводят счетчики[[Permanences (//англ.//) --- постоянства, variations (//англ.//) --- перемены.]] $ {\mathcal P}_{} $ знакопостоянств и знакоперемен $ {\mathcal V}_{} $, полагая
$$
{\mathcal P} (A_1,A_2) = \left\{ \begin{array}{ccc} 1 & npu & A_1A_2 > 0 \\
0 & npu & A_1A_2 < 0
\end{array} \right. \ ; \ {\mathcal V} (A_1,A_2) = \left\{ \begin{array}{ccc} 1 & npu & A_1A_2 < 0 \\
0 & npu & A_1A_2 > 0
\end{array} \right. \ .
$$
**Число знакопостоянств** (-**перемен**) в последовательности $ A_{1},\dots, A_n $ определяется как сумма этих величин, вычисленных для соседних членов:
$$
{\mathcal P} (A_1,\dots, A_n)={\mathcal P} (A_1,A_2) + {\mathcal P} (A_2,A_3)+ \dots + {\mathcal P} (A_j,A_{j+1})+ \dots +{\mathcal P} (A_{n-1},A_n),\
$$
$${\mathcal V} (A_1,\dots, A_n)={\mathcal V} (A_1,A_2) + {\mathcal V} (A_2,A_3)+ \dots + {\mathcal V} (A_j,A_{j+1})+ \dots +{\mathcal V} (A_{n-1},A_n) \ .
$$
!!П!! **Пример.**
$$
{\mathcal P} (-2, \sqrt{5.3}, 2.818, 123, -0.5, -33)=
$$
$$
={\mathcal P} (-2, \sqrt{5.3})+ {\mathcal P} (\sqrt{5.3}, 2.818) + {\mathcal P} ( 2.818,123)+{\mathcal P} (123,-0.5)+
$$
$$
+{\mathcal P} (-0.5, -33)=0+1+1+0+1=3 \ ,
$$
$$
{\mathcal V} (-2, \sqrt{5.3}, 2.818, 123, -0.5, -33)=2 \ .
$$
При наличии нулей среди чисел $ A_{1},\dots, A_n $ __иногда__ устанавливается дополнительное правило, что при подсчете знакопостоянств (-перемен) нулевые значения пропускаются (не учитываются). В случае когда все $ A_{1},\dots, A_n $ ненулевые, имеет место равенство:
$$
{\mathcal P} (A_1,\dots, A_n)+{\mathcal V} (A_1,\dots, A_n)=n-1 \ .
$$
=== Комплексные числа==
$ \mathbf i $ --- мнимая единица;
$ \mathfrak{R}\mathbf{e} (z) $ и $ \mathfrak{I}\mathbf{m}(z) $ --- соответственно, ((:complex_num#opredelenie вещественная и мнимая части)) числа $ z_{} $:
$$ \mathfrak{R}\mathbf{e} (a+ \mathbf i \, b )= a,\ \mathfrak{I}\mathbf{m}(a+ \mathbf i \, b )= b \quad \mbox{при вещественных} \ a \ \mbox{ и } \ b ; $$
$ \overline{z} $ --- ((:complex_num#opredelenie комплексное сопряжение)) числа $ z_{} $:
$$ \overline{a+ \mathbf i \, b}= a- \mathbf i \, b \quad \mbox{при вещественных} \ a \ \mbox{ и } \ b ; $$
$ \operatorname{arg}(z) $ --- ((:complex_num#trigonometricheskaja_forma_kompleksnogo_chisla аргумент)) числа $ z_{} $;
$ \mathbb C_{} $ --- множество ((:complex_num комплексных чисел)).
===Матрицы и определители==
Для матрицы $ A_{} $ через $ A^{[j]} $ обозначаем ее $ j_{} $-ю строку, а через $ A_{[k]} $ --- ее $ k_{} $-й столбец;
$ {}^{\top} $ --- ((:algebra2#транспонирование транспонирование));
$ {}^{\mathsf H} $ --- ((:algebra2/hermite эрмитово сопряжение));
$ {}^{+} $ --- ((:algebra2/inverse/p_inverse псевдообращение));
$ \mid $ --- ((:algebra2#конкатенация конкатенация));
$ \det $ --- ((algebra2:dets определитель));
$ \operatorname{adj} (A) $ --- матрица, ((:algebra2:inverse#obratnaja_matrica взаимная)) квадратной матрице $ A $;
$ \operatorname{rank} $ --- ((:algebra2:rank#ранг_матрицы ранг));
$ \operatorname{Sp}_{} $ --- ((:algebra2#след след));
$ n_{+} $ и $ n_{-} $ --- ((:2form#закон_инерции_для_квадратичных_форм положительный и отрицательный индексы инерции симметричной матрицы)) (и соответствующей квадратичной формы).
$ A\doteq B $ --- означает, что квадратные матрицы $ A_{} $ и $ B_{} $ ((:mapping:operator#матрица_оператора подобны)), т.е. существует
неособенная матрица $ C_{} $ такая, что $ C^{-1}AC=B $.
Выделим в матрице $ A_{} $ строки с номерами $ \alpha_{1},\alpha_2, \dots,\alpha_k $ и столбцы с номерами $ \beta_{1},\beta_2,\dots ,\beta_{k} $.
Здесь $ \{\alpha_j, \beta_j \}_{j=1}^k \subset \{1,2,\dots, n\} $ и $ \alpha_{1}<\alpha_2< \dots <\alpha_k $, $ \beta_{1}<\beta_2<\dots<\beta_k $.
Элементы $ a_{\alpha_{_j} \beta_{_{\ell}}} $, стоящие в этих строках и столбцах, составляют определитель $ k_{} $-го порядка:
$$
A\left(
\begin{array}{lll}
\alpha_1 & \dots & \alpha_k \\
\beta_1 & \dots & \beta_k
\end{array}
\right) =
\left|
\begin{array}{lll}
a_{\alpha_1 \beta_1} & \dots & a_{\alpha_1 \beta_k} \\
\dots & & \dots \\
a_{\alpha_k \beta_1} & \dots & a_{\alpha_k \beta_k}
\end{array}
\right| \, .
$$
Он называется **минором** $ k_{} $**-го порядка** матрицы $ A_{} $ (или определителя $ \det A_{} $).
Для случая квадратных матриц, минор вида
$$
A\left(
\begin{array}{lll}
1 & \dots & k \\
1 & \dots & k
\end{array}
\right) =
\left|
\begin{array}{lll}
a_{11} & \dots & a_{1k} \\
\dots & & \dots \\
a_{k1} & \dots & a_{kk}
\end{array}
\right|,
$$
т.е. стоящий в левом верхнем углу матрицы, в настоящем ресурсе называется **главным минором** порядка $ k $.
См. замечание о неоднозначности этого определения в современной литературе
☞
((:algebra2:dets#миноры_и_алгебраические_дополнения ЗДЕСЬ)).
$ \mathbb R^{m\times n} $ (или $ {\mathbb C}^{m\times n} $) --- множество матриц порядка $ m\times n $ с вещественными (комплексными) элементами.
===Полиномы ==
$ \deg $ --- ((:polynomial#общая_информация степень));
$ \operatorname{HOD} $ --- ((:polynomial#наибольший_общий_делитель наибольший общий делитель));
$ \operatorname{nrr} $ --- ((:polynomial#правило_знаков_декарта число вещественных корней));
$ \mathcal D $ --- ((:dets:discrim дискриминант));
$ \mathcal R $ --- ((:dets:resultant результант));
$ \mathbb Z[x], \mathbb Q[x], \mathbb R[x], \mathbb C[x] $ --- множества полиномов от переменной $ x_{} $ с коэффициентами целыми, рациональными, вещественными, комплексными соответственно (аналогично для случая полиномов от нескольких переменных).
$ \mathbb P_n^{} $ --- множество полиномов с вещественными коэффициентами степеней $ \le n_{} $;
кроме того, множество содержит тождественно нулевой полином.
=== Линейные пространства ==
$ \dim $ --- ((:linear_space#линейная_зависимость_базис_координаты размерность)) линейного пространства;
$ \mathcal L(X_1,\dots,X_k) $ --- ((:linear_space#линейная_зависимость_базис_координаты линейная оболочка)) векторов $ X_1,\dots,X_k $;
$ \oplus $ --- ((:linear_space#прямая_сумма_линейных_подпространств прямая сумма линейных подпространств)) (следует отличать от **XOR** --- ((:crypto#шифр_вернама_одноразового_блокнота операции сложения по модулю)) $ 2_{} $);
$ \mathbb V / \mathbb V_1 $ --- ((:linear_space:factorspace факторпространство)) пространства $ \mathbb V_{} $ над подпространством $ \mathbb V_1 $.
====Евклидовы пространства==
$ \mathbb E_{} $ --- обозначение евклидова пространства;
$ \langle X_{},Y \rangle $ --- ((:euclid_space#определения скалярное произведение));
$ \left[ X_{},Y \right] $ --- векторное произведение в $ \mathbb R^3 $;
$ G_{} (X_1,\dots,X_m) $ --- ((:euclid_space#определения матрица Грама)), $ \mathfrak{G}_{} (X_1,\dots,X_m) $ --- ((:euclid_space#определения определитель Грама)) системы векторов $ \{ X_1,\dots,X_{m} \} $;
$ |X| = \sqrt{ \langle X,X \rangle} $ --- ((:euclid_space#свойства длина вектора)) $ X_{} $;
$ X \bot Y $ означает, что векторы $ X_{} $ и $ Y_{} $ ортогональны;
$ X^{^{\parallel}} $ --- ((:euclid_space#вычисление_расстояния ортогональная проекция вектора)) $ X_{} $ на данное подпространство, $ X^{^{\bot}} $ --- ((:euclid_space#вычисление_расстояния ортогональная составляющая вектора)) $ X_{} $ относительно данного подпространства (или перпендикуляр, опущенный из конца вектора $ X_{} $ на подпространство);
$ \mathbb E_1^{^{\bot}} $ --- ортогональное дополнение подпространства $ \mathbb E_1 $.
====Линейные отображения==
$ \mathcal{K}er (\mathcal A) $ --- ((:mapping#ядро_и_образ_линейного_отображения ядро отображения)) $ \mathcal A $;
$ \operatorname{dfc}(\mathcal A ) $ --- дефект линейного отображения $ \mathcal A $, т.е.
$ \dim (\mathcal{K}er (\mathcal A )) $;
$ \mathcal{I}m(\mathcal A) $ --- ((:mapping#ядро_и_образ_линейного_отображения образ отображения)) $ \mathcal A $, (следует отличать от $ \mathfrak{I}\mathbf{m}(z) $ --- ((#комплексные_числа мнимой части комплексного числа)) $ z_{} $);
$ \operatorname{rank}(\mathcal A ) $ --- ранг линейного отображения $ \mathcal A $, т.е.
$ \dim (\mathcal{I}m (\mathcal A )) $.
===Группы, поля==
$ \mathbb G $ --- ((:gruppe#определение_группы группа));
$ \mathbb H $ --- ((:gruppe#подгруппа подгруппа));
$ \mathbb G / \mathbb H $ --- ((:gruppe:vspom2 факторгруппа)) группы $ \mathbb G_{} $ по (нормальной) подгруппе $ \mathbb H $;
$ \operatorname{Card} $ --- ((:gruppe#монотонные_функции порядок)) (число элементов) группы; в ресурсе используется также для обозначения ((#для_множеств количества элементов)) в конечном множестве;
$ \langle {\mathfrak a} \rangle $ --- ((:gruppe#образующие_элементы_группы циклическая группа)), порожденная элементом $ {\mathfrak a} $;
$ \mathbb F $ --- ((:gruppe#поле поле));
$ \mathbf{GF}(p^m) $ --- ((:gruppe:galois поле Галуа)).