!!§!! Вспомогательная страница к пункту
☞
((algebra2:linearsystems:matrix_for#ldu-разложение_матрицы МАТРИЧНЫЙ ФОРМАЛИЗМ МЕТОДА ГАУССА))
----
!!Т!! **Теорема [LDU-разложение матрицы].** //Для того, чтобы неособенная матрица// $ A_{} $ //могла быть представлена в виде произведения//
$$ A= L \cdot D \cdot U $$
//диагональной матрицы// $ D_{} $, //а также нижней// $ L_{} $ //и верхней// $ U_{} $ //треугольных матриц с единицами на их главных диагоналях[[Такие матрицы называются **унитреугольными**.]]
необходимо и достаточно, чтобы все ((:algebra2:dets#миноры_и_алгебраические_дополнения главные миноры))// $ \det A_1,\dots,\det A_n=\det A $ //были ненулевыми. В этом случае представление матрицы в виде такого произведения единственно, при этом
матрица// $ D_{} $ //имеет следующую структуру//:
$$
D=\left(
\begin{array}{ccccc}
\det A_1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\
0 & \det A_2/ \det A_1 & 0 & \dots & 0 \\
0 & 0 & \det A_3/ \det A_2 & \dots & 0 \\
\vdots & & & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \dots & \det A_n/ \det A_{n-1}
\end{array}
\right) \ .
$$
**Доказательство. Необходимость.** Обозначим через $ L_k,\, D_k,\, U_k $ главные подматрицы
матриц $ L,\, D,\, U $ соответственно:
$$
L_k=\left(
\begin{array}{llll}
1& & & \\
\ell_{21} & 1& & \mathbb O \\
\vdots & & \ddots & \\
\ell_{k1} &\ell_{k2} & \dots & 1
\end{array}
\right) \ , \
D_k=
\left(
\begin{array}{llll}
d_{11}& & & \\
& d_{22}& & \mathbb O \\
\mathbb O & & \ddots & \\
& & & d_{kk}
\end{array}
\right) \ , \
U_k=
\left(
\begin{array}{llll}
1& u_{12}& \dots & u_{1k} \\
& 1& \dots & u_{2k} \\
\mathbb O & & \ddots & \vdots \\
& & & 1
\end{array}
\right) \, .
$$
Если справедливо представление $ A= L D U $, то справедливо и аналогичное матричное равенство для блоков участвующих матриц:
$$
A_k=L_k\, D_k\, U_k \quad npu \quad \forall k \, .
$$
Переходя к определителям, получим
$$
\det A_k=\det D_k =d_{11}d_{22} \times \dots \times d_{kk} \, .
$$
Последнее равенство при $ k=n $ дает:
$$\det A= \det A_n=d_{11}d_{22} \times \dots \times d_{nn} \ne 0
\, , $$
поскольку, по предположению, $ \det A \ne 0 $. Следовательно, все числа
$ d_{11},\dots,d_{nn} $ отличны от нуля, но тогда и все главные миноры $ \{ \det A_k \}_{k=1}^n $ отличны от нуля.
**Достаточность.** Предположим теперь, что выполнены условия $ \{ \det A_k\ne 0 \}_{k=1}^n $. Будем
строить матрицы из представления $ A= L \cdot D \cdot U $ построчно. Для
элемента $ a_{11} $ это представление влечет за собой равенство
$$a_{11}=1 \cdot d_{11} \cdot 1 \ \Rightarrow \ d_{11} = a_{11} \, , $$
т.е. $ d_{11} $ определяется однозначно. Предположим, что нам удалось построить $ k-1 $
первых строк и столбцов матриц $ L,\, D,\, U $. Построим $ k $-ые:
$$
L_k =\left(
\begin{array}{ll}
L_{k-1} & \mathbb O \\
Y & 1
\end{array}
\right) \ , \
D_k=\left(
\begin{array}{ll}
D_{k-1} & \mathbb O \\
\mathbb O & d_{kk}
\end{array}
\right) \ , \
R_k =\left(
\begin{array}{ll}
R_{k-1} & X \\
\mathbb O & 1
\end{array}
\right) \, ;
$$
здесь элементы столбца $ X_{(k-1)\times 1} $, строки $ Y_{1 \times (k-1)} $ и $ d_{kk} $
пока не определены. Для их определения обратимся к равенству
$$
A_k=L_k\, D_k\, U_k \, ,
$$
выделив для удобства
в матрице $ A_k $ элементы последней строки и последнего столбца:
$$
A_k =\left(
\begin{array}{ll}
A_{k-1} & W \\
V & a_{kk}
\end{array}
\right) \quad , \quad \mbox{ где } \quad
W= \left(
\begin{array}{ll}
a_{1k} \\ \vdots \\ a_{k-1,k}
\end{array}
\right)
\ , \ V = \left(a_{k1},\dots,a_{k,k-1} \right) \, .
$$
В этих обозначениях равенство $ A_k=L_k\, D_k\, U_k $ переписывается в виде системы матричных уравнений
$$
\left\{
\begin{array}{ll}
L_{k-1} D_{k-1} U_{k-1}=A_{k-1} \ , & L_{k-1} {\bf D}_{k-1} X=W, \\
Y D_{k-1} U_{k-1} =V \ , & Y D_{k-1}X+d_{kk}=a_{kk}\, .
\end{array}
\right.
$$
Поскольку, по индукционному предположению, матрицы $ L_{k-1},\, D_{k-1} $ и
$ U_{k-1} $ определяются однозначно и при этом $ \det D_{k-1} =\det A_{k-1} \ne 0 $,
то однозначно определяются и ряды $ X $ и $ Y $:
$$X=\left(L_{k-1} {\bf D}_{k-1} \right)^{-1} W,\quad
Y=V \left(D_{k-1} U_{k-1} \right)^{-1} \, ;
$$
тогда однозначно определится и элемент матрицы $ D_{k} $:
$$ d_{kk}=a_{kk} -YD_{k-1}X= a_{kk} -V A_{k-1}^{-1}W \ .$$
На основании равенства
$$
\det A_k=\det D_k =d_{11}d_{22} \times \dots \times d_{kk} \, .
$$
и предположения $ \det A_k \ne 0 $, элемент $ d_{kk} $ отличен от нуля.
Итак, элементы $ k $-х рядов матриц $ L,\, D,\, U $
определяются однозначно. На основании индукции, получаем справедливость утверждения для любых рядов искомых матриц.
♦
== Источники ==
[1]. **Фаддеев Д.К.** //Лекции по алгебре.// М.Наука. 1984