!!§!! Вспомогательная страница к разделу ((:algebra2:linearsystems СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ))
----
==Формулы Крамера==
Решение системы уравнений
$$
\left\{
\begin{array}{ll}
a_{11}x_1 +a_{12}x_2&=b_1,\\
a_{21}x_1 +a_{22}x_2&=b_2.
\end{array} \right.
$$
можно записать в виде
$$
x_1 = \frac{\left|
\begin{array}{cc}
b_{1} & a_{12} \\
b_{2} & a_{22}
\end{array}
\right|}{\left|
\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}
\right|} ,\ x_2=
\frac{\left|
\begin{array}{cc}
a_{11} & b_{1} \\
a_{21} & b_{2}
\end{array}
\right|}{\left|
\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}
\right|} \ ;
$$
при условии отличия от нуля определителя, стоящего в знаменателе.
Аналогичные формулы (при аналогичном предположении) справедливы и для решения системы
$$
\left\{
\begin{array}{rrrl}
a_{11}x_1 +&a_{12}x_2+&a_{13}x_3=&b_1 \\
a_{21}x_1 +&a_{22}x_2+&a_{23}x_3=&b_2 \\
a_{31}x_1 +&a_{32}x_2+&a_{33}x_3=&b_3.
\end{array}
\right.
$$
Именно:
$$
x_1=\frac{\left|
\begin{array}{lll}
b_{1} & a_{12} & a_{13}\\
b_{2} & a_{22} & a_{23} \\
b_{3} & a_{32} & a_{33}
\end{array}
\right|}{\left|
\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}
\right|} \ , \
x_2=\frac{\left|
\begin{array}{lll}
a_{11} & b_{1} & a_{13}\\
a_{21} & b_{2} & a_{23} \\
a_{31} & b_{3} & a_{33}
\end{array}
\right|}{\left|
\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}
\right|} \ , \
x_3=\frac{\left|
\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & b_{1} \\
a_{21} & a_{22} & b_{2} \\
a_{31} & a_{32} & b_{3}
\end{array}
\right|}{\left|
\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}
\right|} \ .
$$
!!Т!! **Теорема.** //Cистема//
$$
\left\{\begin{array}{ccc}
a_{11}x_1 +a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n &=&b_1\\
a_{21}x_1 +a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n &=&b_2\\
\ldots& & \ldots \\
a_{n1}x_1 +a_{n2}x_2+\ldots+a_{nn}x_n &=&b_n
\end{array}\right. \ \iff \ AX= \mathcal B
$$
//имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы этой системы отличен от нуля://
$$
\left|
\begin{array}{rrrr}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
\dots &&& \dots \\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}
\end{array}
\right|
\ne 0 \ .
$$
//В этом случае решение можно вычислить по// **формулами Крамера**[[Крамер Габриель (Cramer Gabriel, 1704-1752) --- швейцарский математик.]]:
$$
x_k =\frac{\det \left[ A_{[1]}|\dots|A_{[k-1]}|{\mathcal B}|A_{[k+1]}|\dots|A_{[n]} \right]}{\det A} \quad npu
\quad k\in \{ 1,\dots,n \} \ .
$$
//Для получения значения// $ x_{k} $ в// числитель ставится определитель, получающийся из// $ \det A_{} $
//заменой его// $ k_{} $-//го столбца на столбец правых частей// ( здесь $ {} | $ //означает ((:algebra2#конкатенация конкатенацию ))//, $ A_{[j]} $ --- $j$//й столбец матрицы// $ A $).
**Доказательство.** Пусть решение системы существует. Покажем, что
оно выражается по формулам Крамера. Домножим каждое уравнение системы на соответствующее ((:algebra2:dets#minory_i_algebraicheskie_dopolnenija алгебраическое дополнение)) к элементам первого столбца матрицы $ A $: первое уравнение ---
на $A_{11}$, второе --- на $A_{21}$, и т.д., $n$-е --- на $A_{n1}$.
Просуммируем полученное:
$$x_1\sum_{j=1}^n a_{j1} A_{j1}+ x_2\sum_{j=1}^n a_{j2} A_{j1}+
\dots+x_n\sum_{j=1}^n a_{jn} A_{j1}=\sum_{j=1}^n b_{j} A_{j1} \, .$$
На основании
☞
((:algebra2:dets:minors теоремы 2)): в левой части
коэффициенты при $x_2,\dots,x_n$ пропадают, а коэффициент при $x_1$
равен $\det A$.
$$x_1 \det A = b_1A_{11}+b_2A_{21}+\dots+b_nA_{n1}=
\left|\begin{array}{cccc}
b_{1} &a_{12}&\ldots&a_{1n}\\
b_{2} &a_{22}&\ldots&a_{2n}\\
& \ldots&& \ldots\\
b_{n} &a_{n2}&\ldots&a_{nn}
\end{array}\right| \quad
\Rightarrow $$
$$ \Rightarrow
x_1 =\frac{\det \left[{\cal B},A_{[2]},\dots,A_{[n]} \right]}{\det A} \, .$$
Аналогично (т.е. домножением уравнений на $A_{jk}$) показывается
справедливось и общей формулы Крамера.
Покажем теперь, что формулы Крамера действительно дают решение системы уравнений. Подставим их в левую часть
первого уравнения:
$$a_{11}x_1 +a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n =
$$
$$
=a_{11}\frac{\displaystyle \sum_{\ell =1}^nb_{\ell}A_{\ell 1}}{\det A}
+ a_{12}\frac{\displaystyle \sum_{\ell =1}^nb_{\ell} A_{\ell 2}}{\det A}
+\dots+a_{1n}\frac{\displaystyle \sum_{\ell =1}^nb_{\ell}A_{\ell n}}{\det A}=$$
перегруппируем слагаемые:
$$
=b_1\frac{\displaystyle \sum_{s=1}^na_{1s}A_{1s}}{\det A}
+b_2\frac{\displaystyle \sum_{s=1}^na_{1s}A_{2s}}{\det A}+
\dots+b_n\frac{\displaystyle \sum_{s=1}^na_{1s}A_{ns}}{\det A}.
$$
на основании второго равенства из
☞
((:algebra2:dets:minors теоремы 2)) все слагаемые кроме
первого пропадут, а первое превратится в
$b_1\det A \big/ \det A =b_1$.
Аналогично проверяется истинность всех остальных равенств системы.
♦
!!П!! **Пример.** Решить систему уравнений
$$
\left\{\begin{array}{rrrrrr}
2x_1& +3x_2&+11x_3&+5x_4 &=& \color{Red}2,\\
x_1& +x_2&+5x_3&+2x_4 &=& \color{Red}1 ,\\
2x_1& +x_2&+3x_3&+2x_4 &=&\color{Red}{-3},\\
x_1& +x_2&+3x_3&+4x_4 &=&\color{Red}{-3}.
\end{array}\right.
$$
**Решение.**
$$
x_1=\frac{\left|\begin{array}{rrrr}
\color{Red}2 & 3&11&5 \\
\color{Red}1 & 1&5&2 \\
\color{Red}{-3}& 1&3&2 \\
\color{Red}{-3} & 1&3&4
\end{array}\right|}
{\left|\begin{array}{rrrr}
2& 3&11&5 \\
1& 1&5&2 \\
2& 1&3&2 \\
1& 1&3&4
\end{array}\right|}=\frac{-28}{14}=-2,
x_2=\frac{\left|\begin{array}{rrrr}
2& \color{Red}2&11&5 \\
1& \color{Red}1&5&2 \\
2& \color{Red}{-3}&3&2 \\
1& \color{Red}{-3}&3&4
\end{array}\right|}
{\left|\begin{array}{rrrr}
2& 3&11&5 \\
1& 1&5&2 \\
2& 1&3&2 \\
1& 1&3&4
\end{array}\right|}=\frac{0}{14}=0, \dots $$
Найдите оставшиеся компоненты решения.
♦
Формулы Крамера не представляют практического значения в случае систем с __числовыми__ коэффициентами: вычислять по ним решения конкретных систем линейных уравнений неэффективно, поскольку они требуют вычисления $ (n+1)_{} $-го определителя порядка $ n_{} $, в то время как ((:algebra2:linearsystems#iskljuchenie_peremennyx_metod_gaussa метод Гаусса)) фактически эквивалентен вычислению одного определителя порядка $ n_{} $. Тем не менее, теоретическое значение формул Крамера заключается в том, что они дают **явное** представление решения системы через ее коэффициенты. Например, с их помощью легко может быть доказан результат
!!=>!! Решение системы линейных уравнений с квадратной матрицей $ A_{} $ является непрерывной функцией коэффициентов этой системы при условии, что $ \det A_{} \ne 0 $.
При фиксированной матрице $ A $ и вариации столбца $ \mathcal B $ решение системы может меняться с разной скоростью в зависмости от "направления изменения" столбца $ \mathcal B $. Отношение наибыстрейшей скорости изменения к самой медленной является характеристикой матрицы $ A $ известной под названием ((:algebra2:condnumber числа обусловленности матрицы)).
Кроме того, формулы Крамера начинают конкурировать по вычислительной эффективности с методом Гаусса в случае систем, зависящих от параметра. Дело в том, что ((:algebra2:linearsystems#iskljuchenie_peremennyx_metod_gaussa прямой ход метода Гаусса)) использует деление на элементы матрицы. В случае, когда эти элементы зависят от параметра, возникает проблема анализа условий обращения делителей в нуль.
!!П!! **Пример.** Для системы
$$
\left\{\begin{array}{rrrrrr}
2x_1& -x_2&+3x_3&+4x_4 &=&5\\
4x_1& -2x_2&+5x_3&+6x_4 &=&7\\
6x_1& -3x_2&+7x_3&+ {\color{Red} \alpha} x_4 &=&6\\
{\color{Red} \alpha} x_1& -4x_2&+9x_3&+10x_4 &=&11,
\end{array}\right.
$$
зависящей от параметра $ {\color{Red} \alpha} \in \mathbb R $, определить предел отношения компонент решения:
$$
\lim_{{\color{Red} \alpha} \to 8} \frac{x_3}{x_2} \ .
$$
**Решение.** В этом примере определитель матрицы системы равен $ -({\color{Red} \alpha}-8)^2 $. По теореме Крамера система совместна при $ {\color{Red} \alpha} \ne 8 $. Для случая $ {\color{Red} \alpha}=8 $ применением метода Гаусса убеждаемся, что система несовместна. Тем не менее, указанный предел существует. Формулы Крамера дают значения компонент решения в виде
$$
x_2=\frac{2(2{\color{Red} \alpha}-13)}{{\color{Red} \alpha}-8} ,\ x_3=\frac{3({\color{Red} \alpha}-6)}{{\color{Red} \alpha}-8}
$$
и, хотя при $ {\color{Red} \alpha} \to 8 $ каждая из них имеет бесконечный предел, тем не менее, их отношение стремится к пределу конечному.
**Ответ.** $ 1_{} $.
Приведенный пример поясняет также каким образом система линейных уравнений, непрерывно зависящая от параметра, становится несовместной: при стремлении параметра к какому-то критическому значению (обращающему в нуль определитель матрицы системы) хотя бы одна из компонент решения "уходит на бесконечность".
Предыдущее замечание приводит к еще одному следствию из формул Крамера. Случайным образом составленная система линейных уравнений с числом уравнений, совпадающем с числом неизвестных будет, __как правило__, совместной и иметь единственное решение. В самом деле, по теореме Крамера, несовместность такой системы возможна только при обращении определителя матрицы системы в $ 0_{} $ --- но ведь это исключительное событие: определитель --- это ((:algebra2:dets#определение полином от элементов матрицы)), и он принимает любое значение из $ \mathbb A_{} $ с одинаковой вероятностью! Аналог этого утверждения для систем общего вида см. в следующем пункте.
!!?!! По какому сценарию у системы, зависящей от параметра, образуется бесконечное множество решений?
Проверьте на примере системы:
$$
\left\{\begin{array}{rrrcc}
-2x_1& -2x_2&+x_3&=&-3\\
5 x_1& +x_2&-2x_3 &=&2\\
{\color{Red} \alpha} x_1& +x_2&+x_3&=&{\color{Red} \alpha}^2+3\,{\color{Red} \alpha}+1.
\end{array}\right.
$$