Сложный для понимания материал! == Кронекерово произведение матриц == Если $ A_{} $ --- $ m_{}\times n $-матрица, а $ B_{} $ --- $ p \times q $-матрица, то **кронекеровым** (или **прямым**) **произведением** матрицы $ A_{} $ на матрицу $ B_{} $ называют блочную матрицу порядка $ mp \times nq $: $$ A \otimes B = \left( \begin{array}{ccc} a_{11}B & \dots & a_{1n} B \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1}B & \dots & a_{mn}B \end{array} \right) \ . $$ Используется при решении **матричного уравнения Сильвестра** $$ AX+XB=C $$ при произвольных квадратных матрицах $ A,B,C $ одинакового порядка; неизвестной является матрица $ X_{} $ того же порядка. **Пример.** Решить матричное уравнение для матриц второго порядка: $$ A=\left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right) \ , \ B=\left( \begin{array}{cc} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{array} \right) \ , \ C=\left( \begin{array}{cc} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{array} \right) \ . $$ **Решение.** Подставляя в уравнение матрицу $$ X=\left( \begin{array}{cc} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{array} \right) \ , $$ с пока неопределенными элементами, получаем систему линейных уравнений, которую тоже запишем в матричном виде: $$ \left( \begin{array}{cccc} a_{11}+b_{11} & a_{12} & b_{21} & 0 \\ a_{21} & a_{22}+b_{11} & 0 & b_{21} \\ b_{12} & 0 & a_{11}+b_{22} & a_{12} \\ 0 & b_{12} & a_{21} & a_{22}+b_{22} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_{11} \\ x_{21} \\ x_{12} \\ x_{22} \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} c_{11} \\ c_{21} \\ c_{12} \\ c_{22} \end{array} \right) $$ (матрицы $ X_{} $ и $ C_{} $ ((:algebra2#vektorizacija векторизовали)), т.е. "вытянули" в столбцы). Матрица в левой части имеет порядок $ 4_{} $ и может быть представлена в виде суммы двух матриц: $$ \left( \begin{array}{cccc} a_{11}+b_{11} & a_{12} & b_{21} & 0 \\ a_{21} & a_{22}+b_{11} & 0 & b_{21} \\ b_{12} & 0 & a_{11}+b_{22} & a_{12} \\ 0 & b_{12} & a_{21} & a_{22}+b_{22} \end{array} \right)= \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{11} & a_{12} \\ 0 & 0 & a_{21} & a_{22} \end{array} \right) + \left( \begin{array}{cccc} b_{11} & 0 & b_{21} & 0 \\ 0 & b_{11} & 0 & b_{21} \\ b_{12} & 0 & b_{22} & 0 \\ 0 & b_{12} & 0 & b_{22} \end{array} \right) \ . $$ С помощью кронекерового произведения эту сумму можно представить в виде $$ E \otimes A + B^{\top} \otimes E $$ при $ E_{} $ --- единичной матрице второго порядка и $ {}^{\top} $ означающем ((:algebra2#транспонирование транспонирование)). ♦ !!Т!! **Теорема.** //Если// $ A_{} $ --- //квадратная матрица порядка// $ n_{} $ и $ \{ \lambda_1,\dots,\lambda_{n} \} $ //обозначает ее спектр (набор ((algebra2:charpoly#собственное_число собственных чисел)) с учетом их кратностей);// $ B_{} $ --- //квадратная матрица порядка// $ p_{} $ со спектром $ \{ \mu_1,\dots,\mu_p \} $, // то матрица // $ A \otimes B $ //имеет следующий спектр//: $$ \{ \lambda_j \mu_k \Big| \ j\in \{ 1,\dots,n\}, k\in \{1,\dots,p \} \} \ . $$ !!Т!! **Теорема [правило смешанного произведения].** //Если определены (обычные) ((:algebra2#umnozhenie_matric произведения)) матриц// $ AC $ //и// $ BD $, //то имеет место равенство:// $$ (A \otimes B)(C \otimes D) = AC \otimes BD \, . $$