!!§!! Вспомогательная страница к разделу
☞
((algebra2:inverse#обращение_блочных_матриц ОБРАТНАЯ МАТРИЦА))
----
!!?!! Найти обратную матрицу для **матрицы Фробениуса**
$$
{\mathfrak F}=
\left( \begin{array}{lllllll}
0 & 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\
\dots& &&&\ddots & & \dots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\
a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & & \dots & a_2 & a_1
\end{array} \right)_{n \times n}
$$
**Ответ.**
$$
{\mathfrak F}^{-1}=
\left( \begin{array}{ccccccc}
-a_{n-1}/a_n & -a_{n-2}/a_n & \dots & -a_2/a_n & -a_1/a_n & 1/a_n \\
1 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & \dots & 0 & 0 & 0 \\
\vdots& &\ddots & & & \vdots \\
0 & 0 & \dots & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \dots & 0 & 1 & 0
\end{array} \right)
$$
при условии $ a_n \ne 0 $.
**Решение** возможно разными способами.
Можно воспользоваться ((algebra2:inverse#обращение_блочных_матриц следствием к теореме Фробениуса)), слегка модифицировав его. Дело в том, что матрица $ {\mathfrak F} $ имеет блочную структуру вида
$$
{\mathfrak F}=
\left( \begin{array}{cc}
\mathbb O_{(n-1)\times 1} & E_{(n-1)\times (n-1)} \\
a_n & V_{1\times (n-1)}
\end{array}
\right) \quad npu \quad V=(a_{n-1}, a_{n-2}, \dots, a_2, a_1)\ .
$$
Можно идти строго по ((algebra2:inverse#способы_построения первому методу)) нахождения обратной матрицы --- вычисляя алгебраические дополнения элементов.
И, наконец, можно обратиться к интерпретации обратной матрицы как матрицы замены переменных.