!!§!! Вспомогательная страница к разделу ((:algebra2:inverse ОБРАТНАЯ МАТРИЦА))
----
==Задачи==
Вычислить обратные матрицы
1.
$$
\left(
\begin{array}{ccccccc}
1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 & 1 \\
\vdots & & & \ddots & & & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \dots & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 & 1
\end{array}
\right)_{n \times n} \ .
$$
2.
$$
\left(
\begin{array}{ccccccc}
a & a & a & \dots & a & a & a \\
b & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & a \\
0 & b & 0 & \dots & 0 & 0 & a \\
\vdots & & & \ddots & & & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \dots & b & 0 & a \\
0 & 0 & 0 & \dots & 0 & b & a
\end{array}
\right)_{n \times n} \ .
$$
3.
$$
\left( \begin{array}{ccccccc}
2 & 2 & 2 & 2 & \dots & 2 & 2 \\
2 & 3 & 3 & 3 & \dots & 3 & 3 \\
2 & 3 & 4 & 4 & \dots & 4 & 4 \\
2 & 3 & 4 & 5 & \dots & 5 & 5 \\
\vdots & & & & \ddots & & \vdots \\
2 & 3 & 4 & 5 & \dots & n & n \\
2 & 3 & 4 & 5 & \dots & n & n+1 \\
\end{array}
\right) \ .
$$
4.
$$
\left( \begin{array}{ccccccc}
1 & 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 3 & \dots & C_{n-2}^1 & C_{n-1}^1 \\
0 & 0 & 1 & 3 & \dots & C_{n-2}^2 & C_{n-1}^2 \\
0 & 0 & 0 & 1 & \dots & C_{n-2}^3 & C_{n-1}^3 \\
\vdots & & & & \ddots & & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & C_{n-1}^{n-2} \\
0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\
\end{array}
\right) \ ;
$$
здесь $ C_k^j $ означает ((:algebra2:notations#биномиальный_коэффициент биномиальный коэффициент)).
5.
$$
\left(
\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & a_1 \\
0 & 1 & a_1 & a_2 \\
1 & a_1 & a_2 & a_3
\end{array}
\right) \ .
$$
6
*
.
Задана матрица
$$ A=[a_{ij}]_{i,j=1}^n , \quad a_{ij}=
\left\{ \begin{array}{cl} \frac{1}{x_i+x_j} & npu \quad i\ne j, \\
-\sum_{i\ne j} a_{i,j} & npu \quad i=j
\end{array} \right.
$$
Так, при $ n=3 $:
$$
A=\left( \begin{array}{ccc}
-\frac{1}{x_1+x_2}-\frac{1}{x_1+x_3} & \frac{1}{x_1+x_2} & \frac{1}{x_1+x_3} \\
\frac{1}{x_1+x_2} & -\frac{1}{x_1+x_2}-\frac{1}{x_2+x_3} & \frac{1}{x_2+x_3} \\
\frac{1}{x_1+x_3} & \frac{1}{x_2+x_3} & -\frac{1}{x_1+x_3} -\frac{1}{x_2+x_3}
\end{array}
\right) \, .
$$
Доказать, что все элементы матрицы взаимной матрице $ A_{} $ одинаковы и найти их выражение.
7.
Пусть столбец $ X=\left[x_1,\dots,x_n \right]^{\top} $ удовлетворяет системе линейных уравнений
$$ AX+ \mathcal B = \mathbb O $$
при квадратной неособенной матрице $ A_{} $. Требуется вычислить величину
$$ y=c_1x_1+\dots+c_nx_n + c_0 \, . $$
Доказать, что
$$
y=\frac{\det \left(\begin{array}{cc}
A & \mathcal B \\
C & c_0
\end{array}
\right)}{\det A} \quad npu \quad C=[c_1,\dots,c_n] \, .
$$