Материал настоящего раздела тесно связан с разделом ((algebra2/symmetric СИММЕТРИЧНАЯ МАТРИЦА)). ==Эрмитовы матрицы== Обобщение понятия симметричной матрицы на матрицы с комплексными элементами можно было бы формально произвести по той же определяющей формуле $ A=A^{\top} $. Однако такое обобщение практически не используется ввиду потери ряда полезных свойств вещественных симметричных матриц. Вместо этого используют матрицы вида $$ A=P+ \mathbf i Q \quad \mbox{при} \ \{P,Q\} \in \mathbb R^{n\times n}, \ P=P^{\top}, \ Q=-Q^{\top} \ , $$ т.е. матрица $ P $ --- симметричная, а $ Q $ --- ((:algebra2:skewsym#kososimmetrichnaja_matrica кососимметричная)). Такие матрицы удовлетворяют равенству $$ \overline{A}^{\top}= A \, $$ где $ \overline{A} $ означает ((:complex_num#trigonometricheskaja_forma_kompleksnogo_chisla комплексное сопряжение)) всех элементов матрицы $ A $. Матрицы такого вида называются **эрмитовыми**[[(//англ.//) Hermitian matrix. **Эрмит Шарль** (Hermite Charles, 1822--1901, французский математик. Биография ☞ ((https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Hermite/ ЗДЕСЬ))]]. Саму операцию нахождения $ \overline{A}^{\top} $ для произвольной матрицы $ A $ называют **эрмитовым сопряжением** и обозначают $ A^{\mathsf H} $. !!П!! **Пример.** $$ \left( \begin{array}{cc} 1+ \mathbf i & \sqrt{3} \\ -2- \mathbf i & 5 \mathbf i \\ -4 \mathbf i & 2 \end{array} \right)^{\mathsf H} = \left( \begin{array}{ccc} 1 - \mathbf i & -2+ \mathbf i & 4 \mathbf i \\ \sqrt{3} & - 5 \mathbf i & 2 \end{array} \right) $$ С использованием такого обозначения, эрмитова матрица --- это матрица, удовлетворяющая равенству $$ A^{\mathsf H}= A \, . $$ !!П!! **Пример.** Общий вид эрмитовой матрицы четвертого порядка: $$ \left( \begin{array}{сссc} u_{11} & u_{12}+ \mathbf i v_{12} & u_{13}+ \mathbf i v_{13} & u_{14}+ \mathbf i v_{14} \\ u_{12}- \mathbf i v_{12} & u_{22} & u_{23}+ \mathbf i v_{23} & u_{24}+ \mathbf i v_{24} \\ u_{13}- \mathbf i v_{13} & u_{13}- \mathbf i v_{13} & u_{33}& u_{34}+ \mathbf i v_{34} \\ u_{14}- \mathbf i v_{14} & u_{24}- \mathbf i v_{24} & u_{34}- \mathbf i v_{34} & u_{44} \end{array} \right) \quad \mbox{при} \ \{u_{jk},v_{jk}\}_{j,k=1}^4 \subset \mathbb R \, . $$ ==Свойства== !!Т!! **Теорема 1.** //Собственные числа эрмитовой матрицы все вещественны.// В отличие от симметричных матриц, собственные векторы эрмитовых матриц, вообще говоря, комплексны. Собственные векторы транспонированной эрмитовой матрицы получаются комплексным сопряжением собственных векторов самой матрицы. !!Т!! **Теорема 2.** //Если// $ \lambda_1 \ne \lambda_2 $ --- // cобственные числа эрмитовой матрицы, и// $ \mathfrak X_1 $ и $ \mathfrak X_2 $ ---// соответствующие им собственные векторы, то// $$ \mathfrak X_1^{\mathsf H} \mathfrak X_2=0 \, . $$ Обобщением понятия ((:algebra2/ort_matrix ортогональной матрицы)) является **унитарная матрица**, т.е. квадратная матрица $ U $, удовлетворяющая равенству $$ U^{\mathsf H} U = E \, ,$$ где $ E $ --- единичная матрица. !!Т!! **Теорема 3.** //Для любой эрмитовой матрицы// $ A $ //существует унитарная матрица// $ U $ //такая, что// $$ U^{\mathsf H} A U = \left(\begin{array}{cccc} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \mathbb O \\ \mathbb O & & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{array} \right) \, , $$ //где// $ \{\lambda_1,\dots, \lambda_n \} $ --- //спектр матрицы// $ A $.