!!⊗!! Страница --- в разработке. Начало работ --- 06.05.2016, окончание --- ??.??.???? ==Ганкелевы матрицы, определители и полиномы== ~~TOC~~ ===Определения== {{ :hankel.gif|}} **Ганкелева матрица** порядка $ k_{} $ --- это квадратная матрица вида $$ \left(\begin{array}{llllll} \color{Brown}c_0 & \color{Blue}c_1 & \color{Green}c_2 & \color{Violet}c_3 & \dots & c_{k-1} \\ \color{Blue}c_1 & \color{Green}c_2 & \color{Violet}c_3 & c_4 & \dots & c_k \\ \color{Green}c_2 & \color{Violet}c_3 & c_4 & &\dots & c_{k+1} \\ \color{Violet}c_3 & c_4 & & & & \\ \vdots & & & \ddots & \vdots \\ c_{k-1} & c_{k} & c_{k+1} & &\dots & c_{2k-2} \end{array} \right)_{k\times k}= \left[ c_{j+k}\right]_{j,k=0}^{k-1} \ . $$ Это ((#симметричная симметричная)) матрица, на каждой диагонали которой, перпендикулярной главной, стоят одинаковые элементы. Таким образом, ганкелева[[Ганкель Герман (Hankel Hermann, 1839-1873) --- немецкий математик. Биография ((http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Biographies/Hankel.html ЗДЕСЬ))]] матрица полностью определяется заданием своих крайних элементов --- $$ c_0,c_1,\dots, c_{2k-2} $$ --- они называются **образующими ганкелевой матрицы**. !!П!! **Пример.** Матрица $$\left( \begin{array}{lllll} 1 & 1/2 & 1/3 & \dots & 1/n \\ 1/2 & 1/3 & 1/4 & \dots & 1/(n+1) \\ 1/3 & 1/4 & 1/5 & \dots & 1/(n+2) \\ \vdots & & & & \vdots \\ 1/n & 1/(n+1) & 1/(n+2) & \dots & 1/(2n-1) \end{array} \right) =\left[ \frac{1}{j+k+1} \right]_{j,k=0}^{n-1} $$ относится к типу ганкелевых. Она называется **матрицей Гильберта**. Наряду с конечными ганкелевыми матрицами, рассматривают также и бесконечные, задаваемые бесконечной последовательностью образующих элементов. Определитель ганкелевой матрицы порядка $ k $ будем обозначать $ H_{k}(\{c\}) $ или просто $ H_{k} $. Если в ганкелевой матрице порядка $ k+1 $ заменить последнюю строку на $ \left[ 1,x,x^2,\dots,x^{k} \right] $, то определитель полученной матрицы $$ \mathcal H_k(x; \{c\}) = \left| \begin{array}{lllll} c_0 & c_1 & c_2 & \ldots & c_{k} \\ c_1 & c_2 & c_3 &\ldots & c_{k+1} \\ \vdots & & & \ddots& \vdots \\ c_{k-1} & c_{k} & c_{k+1} & \ldots & c_{2k-1} \\ 1 & x & x^2 & \ldots & x^{k} \end{array} \right|_{(k+1) \times (k+1)} $$ будет полиномом по $ x_{} $; он называется **ганкелевым полиномом k-го порядка** (**порожденным последовательностью** $ \{c\} $). Его каноническое представление имеет коэффициентами числовые определители $ k_{} $-го порядка: $$ \mathcal H_k(x; \{c\})\equiv x^{k} \left| \begin{array}{lllll} c_0 & c_1 & \ldots & c_{k-2} & c_{k-1} \\ c_1 & c_2 & \ldots & c_{k-1} & c_{k} \\ \vdots & & \ddots& & \vdots \\ c_{k-1} & c_{k} & \ldots & c_{2k-3} & c_{2k-2} \end{array} \right|- x^{k-1} \left| \begin{array}{lllll} c_0 & c_1 & \ldots & c_{k-2} & c_{k} \\ c_1 & c_2 & \ldots & c_{k-1} & c_{k+1} \\ \vdots & & \ddots& & \vdots \\ c_{k-1} & c_{k} & \ldots & c_{2k-3} & c_{2k-1} \end{array} \right|+ $$ $$ + \dots +(-1)^k \left| \begin{array}{lllll} c_1 & c_2 & \ldots & c_{k-1} & c_{k} \\ c_2 & c_3 & \ldots & c_{k} & c_{k+1} \\ \vdots & & \ddots& & \vdots \\ c_{k} & c_{k+1} & \ldots & c_{2k-2} & c_{2k-1} \end{array} \right| \ . $$ Коэффициенты будем обозначать $ h_{kj} $; таким образом $$ \mathcal H_k(x; \{c\})\equiv h_{k0} x^k +h_{k1} x^{k-1} +\dots + h_{kk} \quad \mbox{ при } \quad h_{k0}= H_k \ ; $$ Коэффициент $ h_{k0} $ может обращаться в нуль, так что степень ганкелевого полинома $ k_{} $-го порядка может оказаться меньшей $ k_{} $. !!Т!! **Теорема.** //Ганкелев полином// $ k $//-го порядка можно представить в виде ганкелевого определителя// $ k $//-го порядка//: $$ \mathcal H_k(x; \{c\}) = \left| \begin{array}{lllll} c_0x-c_1 & c_1x-c_2 & \ldots & c_{k-1}x - c_k \\ c_1x-c_2 & c_2x-c_3 &\ldots & c_kx -c_{k+1} \\ \vdots & & \ddots& \vdots \\ c_{k-1}x-c_k & c_kx -c_{k+1} & \ldots & c_{2k-2}x -c_{2k-1} \end{array} \right|_{k \times k}=H_k (\{c_jx-c_{j+1}\}_{j=0}^{2\, k-1}) \ . $$ **Доказательство.** Для простоты рассмотрим случай $ k=4 $: $$ \left| \begin{array}{lllll} c_0 & c_1 & c_2 & c_3 & c_{4} \\ c_1 & c_2 & c_3 & c_4 & c_{5} \\ c_2 & c_3 & c_4 & c_5 & c_{6} \\ c_{3} & c_{4} & c_{5} & c_6 & c_{7} \\ 1 & x & x^2 & x^3 & x^{4} \end{array} \right|= $$ С помощью элементарных преобразований столбцов исключим $ x_{} $ из последней строки. С этой целью вычтем из $ 5_{} $-го столбца $ 4 $-й, домноженный на $ x_{} $, потом из $ 4_{} $-го столбца $ 3_{} $-й, домноженный на $ x_{} $, и т.д. В результате получим $$ = \left| \begin{array}{ccccc} c_0 & c_1 -c_0x & c_2-c_1x & c_3-c_2x & c_{4}-c_{3}x \\ c_1 & c_2-c_1x & c_3-c_2x & c_4-c_3x & c_{5}-c_4x \\ c_2 & c_3-c_2x & c_4-c_3x & c_5-c_4x & c_{6}-c_5x \\ c_3 & c_4-c_3x & c_5-c_4x & c_6-c_5x & c_{7}-c_6x \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right|= + \left| \begin{array}{llll} c_1 -c_0x & c_2-c_1x & c_3-c_2x & c_{4}-c_{3}x \\ c_2-c_1x & c_3-c_2x & c_4-c_3x & c_{5}-c_4x \\ c_3-c_2x & c_4-c_3x & c_5-c_4x & c_{6}-c_5x \\ c_4-c_3x & c_5-c_4x & c_6-c_5x & c_{7}-c_6x \end{array} \right|\ . $$ Ну и осталось поменять знаки элементов. ===Тождество Якоби== !!Т!! **Теорема.** //Справедливо следующее// **равенство (тождество) Якоби**: $$ H_k \left| \begin{array}{llll} c_2 & c_3 & \ldots & c_{k-1} \\ c_3 & c_4 & \ldots & c_{k} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ c_{k-1} & c_{k} & \ldots & c_{2k-4} \end{array} \right|_{(k-2)\times (k-2)} = $$ $$ =H_{k-1} \left|\begin{array}{llll} c_2 & c_3 & \dots & c_{k} \\ c_3 & c_4 & \dots & c_{k+1} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ c_{k} & c_{k+1} & \dots & c_{2k-2} \end{array} \right|_{(k-1)\times (k-1)} - \left|\begin{array}{llll} c_1 & c_2 & \dots & c_{k-1} \\ c_2 & c_3 & \dots & c_{k} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ c_{k-1} & c_{k} & \dots & c_{2k-3} \end{array} \right|_{(k-1)\times (k-1)}^2 \ . $$ Это равенство связывает ганкелев определитель $ k_{} $-го порядка с тремя ганкелевыми определителями порядка $ k-1 $ и одним ганкелевым определителем порядка $ k-2 $. Оно является частным случаем ((:dets:sylvester тождества Сильвестра)). ===Обращение ганкелевой матрицы== ===Рекурсивная формула для ганкелевых полиномов== Рассмотрим последовательность ганкелевых полиномов $ \mathcal H_1(x), \mathcal H_2(x) ,\dots, $, порожденных последовательностью $ \{ \mathbf c \} $. Коэффициенты канонического разложения полинома $ \mathcal H_k(x) $ будем обозначать $ \{h_{kj}\} $: $$ \mathcal H_k(x)\equiv h_{k0} x^k +h_{k1} x^{k-1} +\dots + h_{kk} \quad npu \quad h_{k0}= H_k \ . $$ !!П!! **Пример.** Вычислить ганкелевы полиномы $ \{\mathcal H_k(x)\}_{k=1}^5 $, порожденные последовательностью $$ \{1,1,2,-1,-9,-142,-2051,-29709,-430018,-6224467,\dots \} \, . $$ **Решение.** Имеем: $$ \mathcal H_1(x)=x-1,\ \mathcal H_2(x)=x^2+3\,x-5,\ \mathcal H_3(x)=-22\,x^3+164\,x^2+316\,x-666,\ $$ $$ \mathcal H_4(x)=19656\,x^4-278356\,x^3-97864\,x^2+93808\,x+468, $$ $$ \mathcal H_5(x)=4638712(x^5-14\,x^4-7\,x^3+2\,x^2-3\,x+8) \ . $$ Легко проверить, что вычисленные полиномы удовлетворяют тождествам: $$ -22\, \mathcal H_1(x)+\left(\frac{115}{11}-x\right)\mathcal H_2(x) -\frac{1}{22} \mathcal H_3(x) \equiv 0, $$ $$ -\frac{9828}{11}\, \mathcal H_2(x) +\left( \frac{27887}{4158}-x \right) \mathcal H_3(x)-\frac{11}{9828} \mathcal H_4(x) \equiv 0, $$ $$ \frac{44603}{189} \mathcal H_3(x)+ \left( -\frac{61}{378}-x \right) \mathcal H_4(x)+\frac{189}{44603} \mathcal H_5(x) \equiv 0 \ . $$ !!Т!! **Теорема [Якоби, Йоахимшталь].**[[Йоахимшталь Фердинанд (Joachimsthal Ferdinand, 1818-1861) --- немецкий математик, ученик Якоби. Биография ((http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Biographies/Joachimsthal.html ЗДЕСЬ)).]] //Любые три ганкелевых полинома// $ \mathcal H_{k-2}(x), \mathcal H_{k-1}(x), \mathcal H_{k}(x) $ //связаны тождеством// $$ H_k^2\mathcal H_{k-2}(x) + \left(H_kh_{k-1,1}-H_{k-1}h_{k1}-H_kH_{k-1}x\right)\mathcal H_{k-1}(x) + H_{k-1}^2 \mathcal H_{k}(x) \equiv 0 \, . $$ **Доказательство** ((:algebra2/hankel/jjidentity ЗДЕСЬ)) В литературе после 1910 г. упоминаний этого тождества (и ссылок на него) не нашел. В настоящем ресурсе называется **JJ**-**тождеством**. !!=>!! Если $ H_{k} \ne 0, H_{k-1} \ne 0 $ то **JJ**-тождество может быть переписано в "более симметричном" виде: $$ \frac{H_k}{H_{k-1}}\mathcal H_{k-2}(x)- \left(x-\frac{h_{k-1,1}}{H_{k-1}}+\frac{h_{k1}}{H_{k}} \right)\mathcal H_{k-1}(x)+\frac{H_{k-1}}{H_{k}}\mathcal H_{k}(x) \equiv 0 \, . $$ **JJ**-тождество позволяет организовать рекурсивную процедуру вычисления ганкелевых полиномов. Предположим, что канонические представления полиномов $ \mathcal H_{k-2}(x) $ и $ \mathcal H_{k-1}(x) $ уже известны: $$ \mathcal H_{k-1}(x) \equiv h_{k-1,0} x^{k-1}+h_{k-1,1}x^{k-2}+\dots+ h_{k-1,k-1} \quad npu \ h_{k-1,0}=H_{k-1} \, . $$ Тогда в **JJ**-тождестве известны значения всех констант, за исключением $ H_k $ и $ h_{k1} $. Для последних имеются лишь детерминантные представления: $$ H_k = \left| \begin{array}{lllll} c_0 & c_1 & \dots & c_{k-2} & c_{k-1} \\ c_1 & c_2 & \dots & c_{k-1} & c_{k} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ c_{k-2} & c_{k-1} & \dots & c_{2k-4} & c_{2k-3} \\ c_{k-1} & c_{k} & \dots & c_{2k-3} & c_{2k-2} \end{array} \right| \ , \ h_{k1} = - \left| \begin{array}{lllll} c_0 & c_1 & \dots & c_{k-2} & c_{k} \\ c_1 & c_2 & \dots & c_{k-1} & c_{k+1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ c_{k-2} & c_{k-1} & \dots & c_{2k-4} & c_{2k-2} \\ c_{k-1} & c_{k} & \dots & c_{2k-3} & c_{2k-1} \end{array} \right| \, . $$ Эти определители отличаются от детерминантного представления $ \mathcal H_{k-1}(x) $ (транспонированного) $$ \left[\mathcal H_{k-1}(x) \right]^{\top} = \left| \begin{array}{llllll} c_0 & c_1 & c_2 & \ldots & c_{k-2} & 1 \\ c_1 & c_2 & c_3 &\ldots & c_{k-1} & x \\ \vdots & & & \ddots & \vdots & \vdots \\ c_{k-1} & c_{k} & c_{k+1} & \ldots & c_{2k-3} & x^{k-1} \end{array} \right| $$ только своими последними столбцами. Разложения определителей по элементам этих последних столбцов имеют одинаковые значения для соответствующих алгебраических дополнений, и поэтому следующие формулы $$ \left\{\begin{array}{rcl} h_{k0}=H_k&=&c_{k-1}h_{k-1,k-1}+c_{k}h_{k-1,k-2}+\dots+c_{2k-2}h_{k-1,0}, \\ h_{k1}&=&-(c_{k}h_{k-1,k-1}+c_{k+1}h_{k-1,k-2}+\dots+c_{2k-1}h_{k-1,0}) \end{array} \right. $$ позволяют вычислить $ h_{k0} $ и $ h_{k1} $ посредством уже известных коэффициентов полинома $ \mathcal H_{k-1}(x) $. Частный случай тождества известен для ортогональных полиномов. Предложенный алгоритм сведения вычисления $ \mathcal H_{k}(x) $ к вычислению двух ганкелевых полиномов меньших порядков не будет работать в случае $ H_{k-1}=0 $. Существует модификация алгоритма и для этого случая. См. ((:algebra2/hankel/jjidentity#iskljuchitelnye_sluchai ЗДЕСЬ)). ==Применения== ===Линейные рекуррентные последовательности== !!Т!! **Теорема.** //Бесконечная ганкелева матрица// $ H=\left[h_{j+k}\right]_{j,k=0}^{\infty} $// имеет конечный ранг// $ \mathfrak r $ //тогда и только тогда, когда последовательность// $ \{h_{j}\}_{j=0}^{\infty} $ //является линейной рекуррентной порядка// $ \mathfrak r $, //т.е. существует// $ \mathfrak r $ //чисел// $ a_1,a_2,\dots,a_{\mathfrak r} $ //таких, что// $$ h_{\ell}=a_1 h_{\ell-1}+a_2 h_{\ell-2}+\dots+a_{\mathfrak r} h_{\ell-\mathfrak r} \quad npu \quad \ell\in\{\mathfrak r,\mathfrak r+1,\dots\} \, $$ //и// $ \mathfrak r $ //есть наименьшее число, обладающее этим свойством.// !!Т!! **Теорема.** //Бесконечная ганкелева матрица// $ H=\left[h_{j+k}\right]_{j,k=0}^{\infty} $// имеет конечный ранг тогда и только тогда, когда сумма ряда Лорана// $$ R(x)=\frac{h_0}{x}+\frac{h_1}{x^2}+\frac{h_2}{x^3}+\dots $$ //является ((:fraction#лорана рациональной функцией)) от переменной// $ x $. //В этом случае// $ \operatorname{rank} (H) $ //совпадает с числом полюсов функции// $ R(x) $, //с учетом кратности каждого полюса.// ===Аппроксимация: метод наименьших квадратов== !!§!! Раздел ((:interpolation:mnk МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ)) Пусть в заданной таблице экспериментальных значений $$ \begin{array}{c|ccccc} x & x_1 & x_2 & \dots & x_m \\ \hline y & y_1 & y_2 &\dots & y_m \end{array} \quad \{ x_j,y_j\}_{j=1}^m \subset \mathbb R $$ величины $ x_{} $ нам известны без искажений, а вот измерения величины $ y_{} $ подвержены случайным погрешностям. **Задача.** Построить полином $ f_{}(x) $ такой, чтобы величина $$ \sum_{j=1}^m (f(x_j)-y_j)^2 $$ стала минимальной. В случае $ \deg f_{} =m-1 $ получаем классическую задачу ((:interpolation#polinomialnaja_interpoljacija полиномиальной интерполяции)). Практический интерес, однако, представляет случай $ \deg f_{} < m-1 $: экспериментальных данных больше (обычно --- много больше) чем значений параметров (коэффициентов полинома $ f_{} $), которые требуется определить. !!Т!! **Теорема.** //Если// $ m\ge n_{} $ и $ x_{1},\dots,x_m $ //все различны, то существует единственный набор коэффициентов// $ a_{0},\dots,a_{n-1} $, //обеспечивающий минимальное значение для// $$ \sum_{j=1}^m (a_0+a_1x_j+\dots+a_{n-1}x_j^{n-1} -y_j)^2 \ . $$ //Этот набор определяется как решение// **системы нормальных уравнений** $$ \underbrace{ \left(\begin{array}{llllll} s_0 &s_1&s_2&\ldots&s_{n-2}& s_{n-1}\\ s_1 &s_2&s_3&\ldots&s_{n-1}& s_{n}\\ s_2 &s_3&s_4&\ldots&s_{n}& s_{n+1}\\ \vdots& & & && \vdots\\ s_{n-1} &s_n&s_{n+1}&\ldots &s_{2n-3}&s_{2n-2} \end{array}\right)}_{\displaystyle S_{n\times n}} \left(\begin{array}{l} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_{n-1} \end{array} \right)= \left(\begin{array}{l} t_0 \\ t_1 \\ t_2 \\ \vdots \\ t_{n-1} \end{array} \right) $$ //при// $ s_{k} = x_1^k+\dots+x_m^k, \ t_{k} = x_1^ky_1+\dots+x_m^k y_m $. ===Аппроксимация: функциональный метод наименьших квадратов== **Задача.** Для функции $ f(x_{}) $, непрерывной на $ [0_{},1] $, построить полином $ f_{n-1}(x_{})=a_0+a_1x+\dots+a_{n-1}x^{n-1} $ такой, чтобы величина $$ \int_0^1 \left[f_{n-1}(x)-f(x) \right]^2 d\, x $$ была наименьшей. !!Т!! **Теорема.** //Коэффициенты полинома// $ f_{n-1}(x_{}) $ //находятся из системы уравнений// $$ \left( \begin{array}{lllll} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \dots & \frac{1}{n} \\ &&&& \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \dots & \frac{1}{n+1} \\ &&&& \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \dots & \frac{1}{n+2} \\ &&&& \\ \dots & & & & \dots \\ &&&& \\ \frac{1}{n} & \frac{1}{n+1} & \frac{1}{n+2} & \dots & \frac{1}{2n-1} \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_{n-1} \end{array} \right)= \left( \begin{array}{l} b_0 \\ b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_{n-1} \end{array} \right) \ . $$ //Здесь// $$ b_{j}=\int_0^1 f(x) x^{j} d\, x \quad npu \quad j\in \{0,\dots,n-1 \} . $$ Матрица $ {\mathfrak H}_{n} $ системы называется **матрицей Гильберта**. Ее определитель ((:algebra2:dets:special_cases:vspom1 равен)) $$ \frac{[1!\,2!\, 3! \dots (n-1)!]^3} {n!\, (n+1)!\, (n+2)!\, \dots (2n-1)!} \ , $$ т.е. отличен от нуля, и, ((algebra2:linearsystems#Формулы_Крамера следовательно)), система имеет единственное решение. Матрица Гильберта ((:algebra2:condnumber плохо обусловлена)): $$ \det {\mathfrak H}_3=\frac{1}{2160},\ \det {\mathfrak H}_4=\frac{1}{6\,048\,000},\ \det {\mathfrak H}_6=\frac{1}{186313420339200000} $$ поэтому при решении линейной системы надо внимательно следить за ошибками округлений. ===Результант и наибольший общий делитель полиномов== !!§!! Раздел ((:dets:resultant Результант)). Для полиномов $$ f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_n\quad u \quad g(x)=b_0x^m+b_1x^{m-1}+\ldots+b_m $$ ($ a_{0}\ne 0 $) построим сначала формальное разложение дроби $ g_{}(x)/f(x) $ в ((:fraction#лорана ряд Лорана)) по отрицательным степеням $ x_{} $. Для случая $ \deg g < \deg f $ выписываем разложение $$ \frac{g(x)}{f(x)}=\frac{c_0}{x}+\frac{c_1}{x^2}+\dots+\frac{c_j}{x^{j+1}}+\dots \ , $$ домножаем обе части на $ f_{}(x) $ и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях $ x_{} $ в левой и правой частях получившегося равенства. В случае $ m=n-1 $ формулы, выражающие коэффициенты $ c_{j} $ через коэффициенты полиномов $ f_{}(x) $ и $ g_{}(x) $ следующие: $$ \begin{array}{ll} c_0&=b_{0}/a_0,\\ c_1& =(-c_{0}a_1+b_1)/a_0,\\ c_2& =(-c_{0}a_2-c_1a_1+b_2)/a_0, \\ \dots & \dots \\ c_{n-1}&=(-c_0a_{n-1}-c_1a_{n-2}-\dots-c_{n-2}a_1+b_{n-1})/a_0,\\ c_{K+n}&=(-c_{K}a_{n}-c_{K+1}a_{n-1}-\dots-c_{K+n-1}a_1)/a_0 \quad npu \quad \forall K \in \{0,1,2,\dots \} \ . \end{array} $$ В случае $ m0 $, //необходимо и достаточно, чтобы были выполнены условия// $$\underbrace{C_n=0,\ C_{n-1}= 0,\ \dots , C_{n-k+1}=0}_k, C_{n-k}\ne 0.$$ ===Дискриминант и локализация корней полинома== !!§!! Раздел ((:dets:discrim Дискриминант)); раздел ((:polynomial:zero_local Локализация корней полинома)). **Дискриминант** полинома $ f(x)=a_{0}x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n, (n>1, a_0\ne 0) $ фактически совпадает с ((dets:resultant результантом)) этого полинома и его ((:polynomial#производные_от_полинома производной)): $$ {\mathcal D}(f)=\frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a_0}{\mathcal R}(f(x),f^{\prime}(x)) \ . $$ !!Т!! **Теорема.** $ {\mathcal D}(f_{}) = 0 $ //тогда и только тогда, когда// $ f_{}(x) $ //имеет ((:polynomial#основная_теорема_высшей_алгебры кратный корень))//. Существует несколько способов представления дискриминанта в виде определителя матрицы, зависящей от коэффициентов полинома $ f_{}(x) $. Один из них основан на ганкелевой матрице. Для полинома $ f_{}(x) $ его $ k_{} $-й **суммой Ньютона** называется сумма $ k_{} $-х степеней его корней $$ s_k=\sum_{j=1}^n\lambda_j^k \ . $$ Суммы Ньютона могут быть формально получены из разложения в ряд Лорана дроби $$ \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\frac{s_0}{x}+\frac{s_1}{x^2}+\dots+\frac{s_j}{x^{j+1}}+\dots \ , $$ и выражаются рационально через коэффициенты полинома $ f_{}(x) $ посредством следующих рекуррентных **формул Ньютона**: $$s_0=n,\ s_1=-a_1/a_0,\ $$ $$ s_k=\left\{\begin{array}{lr} -(a_1s_{k-1}+a_2s_{k-2}+\dots+a_{k-1}s_1+a_kk)/a_0, &npu \ k\le n ;\\ -(a_1s_{k-1}+a_2s_{k-2}+\dots+a_ns_{k-n})/a_0, &npu \ k > n \end{array} \right. $$ Явное выражение сумм Ньютона через $ a_{0}, \dots, a_n $ дается ((dets:discrim:waring#формула_варинга формулой Варинга)). Вычислим суммы Ньютона $ s_{0},s_1,\dots,s_{2n-2} $ полинома $ f_{}(x) $ и составим из них ганкелеву матрицу $$ S=\left[s_{j+k} \right]_{j,k=0}^{n-1} = \left[\begin{array}{llllll} s_0 &s_1&s_2&\dots&s_{n-2}& s_{n-1}\\ s_1 &s_2&s_3&\dots&s_{n-1}& s_{n}\\ s_2 &s_3&s_4&\dots&s_{n}& s_{n+1}\\ \dots& & &&& \dots\\ s_{n-1} &s_n&s_{n+1}&\dots &s_{2n-3}&s_{2n-2} \end{array}\right]_{n\times n} \ . $$ Обозначим $ S_{1},\dots, S_n $ ее ((:algebra2:dets#теорема_лапласа главные миноры)). !!Т!! **Теорема.** //Имеет место формула// $$ {\mathcal D}_{k}=n^{n-k-2}a_0^{2(n-k-1)}S_{n-k} \ , $$ //связывающая миноры матрицы// $ S_{} $ //с// ((:dets:discrim#субдискриминанты субдискриминантами)).// В частности,// $$ {\mathcal D}(f)=a_0^{2n-2}\det S \ . $$ **Доказательство** следует из ((#результант_и_наибольший_общий_делитель_полиномов теоремы Кронекера)). Матрицу $ S $ из предыдущей теоремы можно использовать и для локализации вещественных корней полинома $ f_{}(x) $, имеющего вещественные коэффициенты. !!Т!! **Теорема [Якоби].** //Число различных корней полинома// $ f_{}(x)\in \mathbb R[x] $ //равно ((algebra2:rank рангу)), а число различных вещественных корней// $ f_{}(x) $ //--- ((:2form#закон_инерции сигнатуре матрицы))// $ S_{} $. Конструктивное вычисление ранга и сигнатуры симметричной матрицы $ S_{} $ возможно посредством определения знаков ее главных миноров $ S_{1},\dots,S_n $. !!=>!! Пусть $$ S_n=0,\dots,S_{{\mathfrak r}+1}=0,S_{\mathfrak r}\ne 0, \dots, S_1 \ne 0 \ .$$ Тогда $ \operatorname{rank} (S)={\mathfrak r} $ и число различных вещественных корней $ f(x) $ равно $${\mathcal P}(1,S_1,\dots,S_{\mathfrak r}) -{\mathcal V}(1,S_1,\dots,S_{\mathfrak r}) \ , $$ где $ {\mathcal P}_{} $ --- ((algebra2:notations#число_знакопостоянств_знакоперемен число знакопостоянств)) и $ {\mathcal V}_{} $ --- ((algebra2:notations#число_знакопостоянств_знакоперемен число знакоперемен)). Идею, использованную при доказательстве теоремы Якоби можно развить и для ((:polynomial:zero_local задачи отделения (локализации) корней полинома)) $ f_{}(x) $. Для этого вычислим дополнительно еще одну сумму Ньютона $ s_{2n-1} $ и составим следующую ганкелеву матрицу, зависящую от параметра $ t_{} $: $$ H(t)=\left[ s_{j+k}t-s_{j+k+1} \right]_{j,k=0}^{n-1} =\left[ \begin{array}{llll} s_0t-s_1&s_1t-s_2&\dots& s_{n-1}t-s_{n} \\ s_1t-s_2&s_2t-s_3&\dots& s_{n}t-s_{n+1} \\ \dots & & & \dots \\ s_{n-1}t-s_{n} & s_{n}t-s_{n+1} & \dots & s_{2n-2}t-s_{2n-1} \end{array} \right]_{n\times n} \ . $$ Очевидно, что матрица, составленная из коэффициентов при $ t_{} $ совпадает с матрицей $ S_{} $ из теоремы Якоби. Главный минор матрицы $ H(t) $ порядка $ \ell_{} $ является ганкелевым полиномом того же порядка $$ \mathcal H_{\ell}(t)=\det \left[s_{j+k}t-s_{j+k+1} \right]_{j,k=0}^{{\ell}-1} \equiv \left| \begin{array}{lllll} s_0&s_1&\dots&s_{{\ell}-1}& s_{\ell} \\ s_1&s_2&\dots&s_{\ell}& s_{\ell+1} \\ \vdots & && \vdots & \vdots \\ s_{\ell-1}&s_{\ell}&\dots&s_{2\ell-2}&s_{2\ell-1} \\ 1 & t & \dots & t^{\ell-1} & t^{\ell} \end{array} \right|_{(\ell+1)\times (\ell+1)} \ . $$ Заметим, что $$ \mathcal H_{n}(t)=\det H(t) \equiv S_n f(t)/a_0 \ .$$ !!Т!! **Теорема [Йоахимшталь].**[?] //Пусть// $ \operatorname{rank} (S)={\mathfrak r} $. //Тогда// $$ \operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \mid a В случае, когда в ряду встречаются несколько подряд идущих нулей (например, $ f(x)=x^4-1, a=0 $), то можно воспользоваться правилом Кронекера-Хатендорфа: $$ \operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \mid a Таким образом система ганкелевых полиномов $ \{\mathcal H_{\ell}(t)\}_{{\ell}=1}^{\mathfrak r} $, порожденная последовательностью сумм Ньютона полинома $ f(x) $, играет роль системы полиномов Штурма для этого полинома. В отличие от ((:polynomial:zero_local#система_полиномов_штурма традиционной системы полиномов Штурма)), построенной с помощью алгоритма Евклида, здесь степени полиномов $ \mathcal H_{\ell}(t) $ возрастают при возрастании $ \ell_{} $. !!П!! **Пример.** Локализовать вещественные корни полинома $$f(x)=x^4-x^3-9\,x^2+14\,x-4 \ .$$ **Решение.** Вычисляем суммы Ньютона: $$ \{s_k\}_{k=0}^{7}=\{4,\ 1,\ 19,\ -14,\ 159,\ -229,\ 1474,\ -2869\} $$ и строим последовательность ганкелевых полиномов из теоремы: $$ \mathcal H_1(t)=4\,t-1,\ \mathcal H_2(t)=75(t^2+t-5),\ \mathcal H_3(t)= 1250(3\,t^3-26\,t+17),\ \mathcal H_4(t)=62500\, f(t) \ . $$ Вычисляем числа знакоперемен в нескольких узлах: ^ $ t $ ^ $ 1 $ ^ $ \mathcal H_1(t) $ ^ $ \mathcal H_2(t) $ ^ $ \mathcal H_3(t) $ ^ $ \mathcal H_4(t) $ ^ $ {\mathcal V}_t $ ^ ^ $ -\infty $ | $ + $ | $ - $ | $ + $ | $ - $ | $ + $ | 4 | ^ $ +\infty $ | $ + $ | $ + $ | $ + $ | $ + $ | $ + $ | 0 | ^ 0 | $ + $ | $ - $ | $ - $ | $ + $ | $ - $ | 3 | ^ $ -4 $ | $ + $ | $ - $ | $ + $ | $ - $ | $ + $ | 4 | ^ $ -3 $ | $ + $ | $ - $ | $ + $ | $ + $ | $ - $ | 3 | ^ $ 1 $ | $ + $ | $ + $ | $ - $ | $ - $ | $ + $ | 2 | ^ $ 2 $ | $ + $ | $ + $ | $ + $ | $ - $ | $ - $ | 1 | ^ $ 3 $ | $ + $ | $ + $ | $ + $ | $ + $ | $ + $ | 0 | **Ответ.** Полином $ f_{}(x) $ имеет $ 4_{} $ различных вещественных корня, лежащие на интервалах $ ]-4,-3[,\ ]0,1[,\ ]1,2[, \ ]2,3[ $. **Проверка.** $ \lambda_1 \approx -3.2360,\ \lambda_2 \approx 0.3819,\ \lambda_3 \approx 1.2360,\ \lambda_4 \approx 2.6180 $. !!$!! Как теоремы Йоахимшталя связаны с $ $ $ ? ;-) Фактическое построение ганкелевых полиномов из теоремы производится не непосредственным вычислением соответствующих определителей, зависящих от параметра (эта процедура ((algebra2:dets:special_cases весьма затратна))), а посредством применения рекурсивной формулы --- **JJ**-тождества, приведенного ((#рекурсивная_формула_для_ганкелевых_полиномов ВЫШЕ)). !!=>!! Матрицу из теоремы Йоахимшталя можно представить в виде комбинации двух ганкелевых матриц: $ H(t)=t\cdot S - \tilde S $, где матрица $ S_{} $ --- из теоремы Якоби, а $$ \tilde S = \left[s_{j+k+1} \right]_{j,k=0}^{n-1} = \left[\begin{array}{llllll} s_1 &s_2&s_3&\dots&s_{n-1}& s_{n}\\ s_2 &s_3&s_4&\dots&s_{n}& s_{n+1}\\ s_3 &s_4&s_5&\dots&s_{n+1}& s_{n+2}\\ \dots& & &&& \dots\\ s_{n} &s_{n+1}&s_{n}&\dots &s_{2n-2}&s_{2n-1} \end{array}\right]_{n\times n} \ . $$ Если обозначить главные миноры матрицы $ \tilde S $ через $ \tilde S_1, \tilde S_2,\dots, \tilde S_n $, то число различных положительных корней полинома $ f_{}(x) $ вычисляется по формуле $$ \operatorname{nrr} \{ f(x)=0 \mid x > 0 \} = {\mathcal P}(1,\tilde S_1,\dots, \tilde S_{\mathfrak r}) -{\mathcal V}(1,S_1,\dots,S_{\mathfrak r}) \ , $$ где $ {\mathfrak r}= \operatorname{rank} (S) $, и дополнительно предполагается, что все числа в рядах --- ненулевые. В частности, для того, чтобы все корни полинома $ f_{}(x) $ были различными и положительными необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матриц $ S_{} $ и $ \tilde S $ были положительными. ===Коды, исправляющие ошибки== ==Источники== [?]. **Гантмахер Ф.Р.** //Теория матриц.// 4-е изд. М.Наука. 1988. [?]. **Иохвидов И.С.** //Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы.// М. Наука. 1974. [?]. **Henrici P.** //Applied and Computational Complex Analysis.// V. 1. 1974. NY. Wiley [?]. **Hilbert D.** //Ein Beitrag zur Theorie des Legendreschen Polynoms.// Acta Math. Bd.18, 1894, S.155-160 [?]. **Форсайт Дж., Молер К.** //Численное решение систем линейных алгебраических уравнений.// М. Мир. 1969 [?]. **Kronecker L.** //Zur Theorie der Elimination einer Variabeln aus zwei algebraischen Gleichungen.// Werke. Bd. 2. 1897. 113-192, Teubner, Leipzig [?]. **Jacobi C.G.J.** //De eliminatione variabilis e duabus aequationibus algebraicis//. J.reine angew. Math. 1836. Vol. 15, P. 101-124 [?]. **Joachimsthal F.** //Bemerkungen über den Sturm'schen Satz.// J.reine angew. Math. 1854. Vol. 48, P. 386-416 [?]. **Утешев А.Ю., Боровой И.И.** //Решение задачи рациональной интерполяции с использованием ганкелевых полиномов.// Вестник СПбГУ. Серия 10. 2016. Вып. 4, С. 31-43. [?]. **Uteshev A., Baravy I., Kalinina E.** //Rational Interpolation: Jacobi's Approach Reminiscence.// Symmetry, 2021, **13** (8), 1401 Текст --- в открытом доступе {{:references:symmetry-13-01401.pdf}}