!!§!! Вспомогательная страница к разделу
☞
((:algebra2:funmatrix#матричная_экспонента ФУНКЦИЯ ОТ МАТРИЦЫ))
----
!!Т!! **Теорема.** //Если матрицы// $ A $ //и// $ B $ //коммутируют, то коммутируют и// $ e^{A} $ //и// $ e^{ B} $:
$$
e^{A} e^{B} =e^{B} e^{A}= e^{A+B} \, .
$$
**Доказательство.** Если $ AB=BA $, то
$$Be^{A}=B\left( \sum_{j=0}^{\infty} \frac{A^j}{j!} \right)
=\sum_{j=0}^{\infty} \frac{BA^j}{j!}=
\sum_{j=0}^{\infty} \frac{A^jB}{j!}=
\left( \sum_{j=0}^{\infty} \frac{A^j}{j!} \right)B=e^{A}B$$
Аналогично доказывается, что $ B^Ne^{A}=e^{A}B^N $, и
$ p(B)e^{A}=e^{A}p(B) $ при любом полиноме $ p(x)\in \mathbb C[x] $.
Выбрав в последнем равенстве
$$ p(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\dots+\frac{x^N}{N!} $$
и переходя в нем к пределу при $ N\to +\infty $, получаем справедливость
первого из равенств (\ref{MATSeRe21}).
Для доказательства второго равенства воспользуемся возможностью почленного
перемножения двух абсолютно сходящихся рядов:
$$ e^{ A} e^{B}=\sum_{j=0}^{\infty} \frac{A^j}{j!}\sum_{k=0}^{\infty}
\frac{B^k}{k!}=
E+(A+B)+\left(\frac{A^2}{2}+AB+
\frac{B^2}{2}\right)+
$$
$$+\left(\frac{A^3}{3!}+\frac{A^2B}{2!}+
\frac{AB^2}{2!} +
\frac{B^3}{3!}\right)+
\left(\frac{A^4}{4!}+\frac{A^3B}{3!}+
\frac{A^2B^2}{2!2!} +\frac{AB^3}{3!} +
\frac{B^4}{4!}\right)+\dots+$$
$$+\left(\frac{A^N}{N!} +\frac{A^{N-1}B}{(N-1)!}
+\frac{A^{N-2}B^2}{(N-2)!2!}+\dots+
\frac{A^{N-K}B^K}{(N-K)!K!}+\dots+
\frac{AB^{N-1}}{(N-1)!}+\frac{B^N}{N!}
\right) +\dots=
$$
$$
=E+(A+B)+\frac{1}{2}\left(A^2+2AB+B^2\right)+\frac{1}{3!}
\left(A^3+3A^2B+3AB^2+B^3\right)+
$$
$$+\frac{1}{4!}
\left(A^4+4A^3B+\frac{4!}{2!2!}A^2B^2+4 A B^3+B^4\right)+\dots+
$$
$$+\frac{1}{N!} \Bigg(A^N +NA^{N-1}B+
\frac{N!}{2!(N-2)!}A^{N-2}B^2+ \dots +
\underbrace{\frac{N!}{K!(N-K)!}}_{=C_N^K} A^{N-K} B^K +\dots + B^N
\Bigg) + \dots =
$$
Ввиду коммутируемости матриц $ A $ и $ B $, каждую из скобок
можно свернуть по правилу бинома Ньютона:
$$=E+(A+B)+\frac{(A+B)^2}{2}+
\frac{(A+B)^3}{3!}+
\frac{(A+B)^4}{4!}+\dots +
\frac{(A+B)^N}{N!}+\dots=e^{A+B}\, .
$$
♦