**((:subject_index Указатель))** --- **((:content Разделы))** --- **((:algebra2:notations Обозначения))** --- **((:users:au:index Автор))** --- **((:start:project_history О проекте))** ---- !!§!! Вспомогательная страница к разделу ☞ ((:algebra2:funmatrix#матричный_степенной_ряд ФУНКЦИЯ ОТ МАТРИЦЫ)) ---- !!Т!! **Теорема.** //Ряд// $ \sum_{j=0}^{\infty} b_j Z^j $ //сходится для любой матрицы// $ A $ //чей спектр лежит внутри круга сходимости:// $$ |\lambda_j|R \, . $$ **Доказательство.** Для матрицы $ A $ найдем ЖНФ: $$C^{-1} A C =A_{\mathfrak J}= \left( \begin{array}{cccc} \mathbf A_1 & \mathbb O & \dots & \mathbb O \\ \mathbb O & \mathbf A_2 & \dots & \mathbb O \\ & & \ddots & \\ \mathbb O & \mathbb O & \dots & \mathbf A_{{\mathfrak r}} \end{array} \right) $$ где каждая из составляющих матриц $ \mathbf A_j $ включает в себя некоторое количество клеток Жордана вида $$ {\mathfrak J}_k (\lambda_j) = \left( \begin{array}{cccccc} \lambda_j & & & & & \\ 1 & \lambda_j & & & \mathbb O & \\ 0 & 1 & \lambda_j & & & \\ \vdots & & \ddots & \ddots& & \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & \lambda_j \end{array} \right)_{k \times k} $$ Если мы докажем, что существует $ F\left( A_{\mathfrak J}\right) $, то утверждение теоремы будет следовать из теоремы \ref{MATSeRt6}. Чтобы избежать громоздкости будем опускать индекс у $ \lambda_j $. Вновь рассмотрим $ N $-ю частичную сумму ряда $ F_N(z)=\sum_{j=0}^{N} b_j z^j $. Вычисление матричного полинома $ F_N\left(A_{\mathfrak J}\right) $ сводится к вычислению его значения на клетке Жордана. На основании формулы (\ref{MATPoL_e3}) получаем: $$ F_N\left( {\mathfrak J}_k (\lambda) \right)= $$ $$ = \left[ \begin{array}{ccccc} F_N(\lambda) & & & & \\ F_N'(\lambda) & F_N(\lambda) & & \mathbb O & \\ \frac{F_N''(\lambda)}{2!}& F_N'(\lambda) & F_N(\lambda) & & \\ \vdots & & \ddots & \ddots & \\ \frac{F_N^{(k-1)}(\lambda)}{(k-1)!} & \frac{F_N^{(k-2)}(\lambda)}{(k-2)!} & \dots & F_N'(\lambda) & F_N(\lambda) \end{array} \right] {\operatorname{\longrightarrow} \atop {\scriptstyle N\to \infty}} \left[ \begin{array}{ccccc} F(\lambda) & & & & \\ F'(\lambda) & F(\lambda) & & \mathbb O & \\ \frac{F''(\lambda)}{2!}& F'(\lambda) & F(\lambda) & & \\ \vdots & & \ddots & \ddots & \\ \frac{F^{(k-1)}(\lambda)}{(k-1)!} & \frac{F^{(k-2)}(\lambda)}{(k-2)!} & \dots & F'(\lambda) & F(\lambda) \end{array} \right] $$ при $ |\lambda|