!!§!! Вспомогательная страница к разделу
☞
((:algebra2:funmatrix ФУНКЦИЯ ОТ МАТРИЦЫ))
----
==Задачи==
1.
Доказать, что корень из положительно определенной матрицы $ A_{} $ второго порядка может быть вычислен по формуле
$$
\sqrt{A}=\frac{1}{\sqrt{\operatorname{Sp} (A) + 2 \sqrt{\det A }}}\left(A+E \sqrt{\det A } \right) \, .
$$
2.
Вычислить
**a)**
$$ \sin \left(
\pi \left[\begin{array}{ccc}
1& 0& 0 \\
1& 1& 0 \\
0& 1& 1
\end{array}\right]
\right) \ ;
$$
**b)**
$$
\sin \left( \left[\begin{array}{ccc}
\pi& 0& 0 \\
1& \pi& 0 \\
0& 1& \pi
\end{array}\right]
\right) \quad .
$$
3.
Найти $ A^A_{} $ для
$$ A=\left(\begin{array}{ccc}
3&2&-3\\
4&10&-12\\
3&6&-7
\end{array}\right). $$
4.
*
Найти $ A^{B} $ для
$$ A=\left(\begin{array}{ccc}
24&-11&-22\\
20&-\ 8&-20\\
12&-\ 6&-10
\end{array}\right) \ ,
\qquad
B=\left(\begin{array}{ccc}
112& -55& -110 \\
100& -48& -100 \\
60& -30& -58
\end{array}\right)
$$
5.
Пусть все собственные числа матрицы $ A_{n \times n} $ различны. Доказать, что если матрица $ B $ коммутирует с матрицей $ A $, т.е. $ AB=BA $, то существует полином $ g(x) $ степени $ \le n-1 $ такой, что $ B=g(A) $. Доказать, что для того, чтобы матрица $ B $ была обратима, необходимо и достаточно, чтобы полиномы $ g(x) $ и $ f(x)=\det(A- xE) $ были ((:polynomial:relat_prime взаимно просты)) (или, что то же, ((:dets:resultant#результант_в_форме_сильвестра результант)) этих полиномов был отличен от нуля).
6.
Вычислить
$$
\left(
\begin{array}{rrrrrr}
\lambda & & & & & \\
1 & \lambda & &\mathbb O & & \\
0& 1 & \lambda & & & \\
\vdots & & \ddots & \ddots & & \\
0 & 0 & \dots & 1 & \lambda & \\
0 & 0 & \dots & 0 & 1 &\lambda
\end{array}
\right)_{k\times k}^{-1}
$$
при $ \lambda \ne 0 $.
7.
Доказать, что в обозначениях и условиях ((:algebra2/funmatrix#primenenie_teoremy_gamiltona-kehli теоремы 2)) выполняется:
(a) $ f_j(A)f_k(A) = \mathbb O_{n\times n} $ если $ j \ne k $;
(b) матрица $ f_k(A)/f_k(\lambda_k) $ идемпотентна, т.е. ее квадрат совпадает с ней самой;
( c) справедливы равенства
$$
\sum_{k=1}^n \frac{f_k(A)}{f_k(\lambda_k)}=E, \
\sum_{k=1}^n \frac{\lambda_k}{f_k(\lambda_k)}f_k(A) = A \, .
$$