==Матрицант==
Для скалярного дифференциального уравнения
$$
\frac{d\, x}{d\, t}=a(t) x
$$
решение задачи Коши, т.е. нахождение функции $ x(t) $, удовлетворяющей условию $ x(t_0)=x_0 $, возможно посредством интегрирование в квадратурах:
$$
x(t)=e^{\displaystyle \int_{t_0}^t a(\tau) d\, \tau} x_0 \, ,
$$
при условии, что функция $ a(t) $ интегрируема на интервале $ [t_0,t] $.
Приведем вывод этой формулы косвенным способом. Перепишем дифференциальное уравнение в виде интегрального:
$$
x(t)=x_0 + \int_{t_0}^t a(\tau_1) x(\tau_1) d\, \tau_1 \, .
$$
Если функция $ x(t) $, удовлетворяющая этому уравнению, существует, то в правую часть можно подставить вместо $ x(\tau_1) $ выражение из того же равенства:
$$
x(t)=x_0 + \int_{t_0}^t a(\tau_1) \left(x_0 + \int_{t_0}^{\tau_1} a(\tau_2) x(\tau_2) d\, \tau_2 \right) d\, \tau_1 =
$$
$$
=x_0 + \left(\int_{t_0}^t a(\tau_1) d\, \tau_1 \right) x_0 + \int_{t_0}^t a(\tau_1) \int_{t_0}^{\tau_1} a(\tau_2) x(\tau_2) d\, \tau_2 d\, \tau_1
\, .
$$
Продолжим процесс подстановки в правой части равенства:
$$
= x_0 + \left(\int_{t_0}^t a(\tau_1) d\, \tau_1 \right) x_0 + \int_{t_0}^t a(\tau_1) \int_{t_0}^{\tau_1} a(\tau_2)
\left( x_0 + \int_{t_0}^{\tau_2} a(\tau_3) x(\tau_3) d\, \tau_3 \right) d\, \tau_2 d\, \tau_1 =
$$
$$
=
x_0 + \left(\int_{t_0}^t a(\tau_1) d\, \tau_1 \right) x_0 + \left(\int_{t_0}^t a(\tau_1) \int_{t_0}^{\tau_1} a(\tau_2)
d\, \tau_2 d\, \tau_1 \right)x_0 +
$$
$$
+\int_{t_0}^t a(\tau_1) \int_{t_0}^{\tau_1} a(\tau_2) \int_{t_0}^{\tau_2} a(\tau_3) x(\tau_3) d\, \tau_3 d\, \tau_2 d\, \tau_1 \, .
$$
Далее:
$$
=
x_0 + \left(\int_{t_0}^t a(\tau_1) d\, \tau_1 \right) x_0 + \left(\int_{t_0}^t a(\tau_1) \int_{t_0}^{\tau_1} a(\tau_2)
d\, \tau_2 d\, \tau_1 \right)x_0 +
$$
$$
+ \left(\int_{t_0}^t a(\tau_1) \int_{t_0}^{\tau_1} a(\tau_2) \int_{t_0}^{\tau_2} a(\tau_3) d\, \tau_3 d\, \tau_2 d\, \tau_1 \right) x_0 +
$$
$$
+ \int_{t_0}^t a(\tau_1) \int_{t_0}^{\tau_1} a(\tau_2) \int_{t_0}^{\tau_2} a(\tau_3) x(\tau_3) d\, \tau_3 d\, \tau_2 d\, \tau_1 \, .
$$
И продолжая процесс сколь угодно далеко, получаем представление решения в виде ряда
$$
x(t)=
x_0 + \left(\int_{t_0}^t a(\tau_1) d\, \tau_1 \right) x_0 + \left(\int_{t_0}^t a(\tau_1) \int_{t_0}^{\tau_1} a(\tau_2)
d\, \tau_2 d\, \tau_1 \right)x_0 +
$$
$$
+ \dots + \left(\int_{t_0}^t a(\tau_1) \int_{t_0}^{\tau_1} a(\tau_2) \int_{t_0}^{\tau_2} \dots \int_{t_0}^{\tau_{k-1}}a(\tau_k) d\, \tau_k \dots d\, \tau_2 d\, \tau_1 \right)x_0 + \dots
$$
Довольно удивительным кажется факт, что повторные интегралы сводятся к однократному:
$$
\int_{t_0}^t a(\tau_1) \int_{t_0}^{\tau_1} a(\tau_2)
d\, \tau_2 d\, \tau_1 = \frac{1}{2} \left(\int_{t_0}^t a(\tau_1) d\, \tau_1 \right)^2 ,
$$
$$
\int_{t_0}^t a(\tau_1) \int_{t_0}^{\tau_1} a(\tau_2) \int_{t_0}^{\tau_2} a(\tau_3) d\, \tau_3 d\, \tau_2 d\, \tau_1
= \frac{1}{3!} \left(\int_{t_0}^t a(\tau_1) d\, \tau_1 \right)^3 , \dots ,
$$
$$
\int_{t_0}^t a(\tau_1) \int_{t_0}^{\tau_1} a(\tau_2) \int_{t_0}^{\tau_2} \dots \int_{t_0}^{\tau_{k-1}}a(\tau_k) d\, \tau_k \dots d\, \tau_2 d\, \tau_1
= \frac{1}{k!} \left(\int_{t_0}^t a(\tau_1) d\, \tau_1 \right)^k \, .
$$
Справедливость этих равенств подтверждается последовательным дифференцированием обеих частей по $ t $. Таким образом, снова приходим к приведенной выше формуле решения.
А теперь попробуем применить те же рассуждения к системе однородных дифференциальных уравнений, представленной в матричной форме
$$
\frac{ d\, X}{ d\, t}= A(t) X \ ;
$$
здесь $ A(t) $ --- квадратная матрица порядка $ n >1 $ с элементами интегрируемыми на интервале $[t_0,t] $. Вектор неизвестных переменных --- столбец $ X(t)=(x_1(t),\dots, x_n (t))^{\top} $ --- отыскивается как решение этой системы, удовлетворяющее условию $ X(t_0)=X_0=(x_{1,0},\dots,x_{n,0})^{\top} $.
Применяя к поставленной задаче абсолютно те же рассуждения, что использовались для решения скалярного уравнения, получим представление решения в виде ряда
$$
X_0 + \left(\int_{t_0}^t A(\tau_1) d\, \tau_1 \right) X_0 + \left(\int_{t_0}^t A(\tau_1) \int_{t_0}^{\tau_1} A(\tau_2)
d\, \tau_2 d\, \tau_1 \right)X_0 +
$$
$$
+ \left(\int_{t_0}^t A(\tau_1) \int_{t_0}^{\tau_1} A(\tau_2) \int_{t_0}^{\tau_2} A(\tau_3) d\, \tau_3 d\, \tau_2 d\, \tau_1 \right) X_0 +
$$
$$
+ \dots + \left(\int_{t_0}^t A(\tau_1) \int_{t_0}^{\tau_1} A(\tau_2) \int_{t_0}^{\tau_2} \dots \int_{t_0}^{\tau_{k-1}}A(\tau_k) d\, \tau_k \dots d\, \tau_2 d\, \tau_1 \right)X_0 + \dots
$$
К сожалению, получившийся ряд, как правило, нельзя свести к
$$
e^{\displaystyle \int_{t_0}^t A(\tau) d\, \tau} X_0 \, .
$$
Это обстоятельство связано с тем, что, в отличие от скалярного случая, матричное равенство
$$
\int_{t_0}^t A(\tau_1) \int_{t_0}^{\tau_1} A(\tau_2)
d\, \tau_2 d\, \tau_1 = \frac{1}{2} \left(\int_{t_0}^t A(\tau_1) d\, \tau_1 \right)^2 ,
$$
как правило, т.е. для случайно выбранной матрицы $ A(t) $, не выполняется. В самом деле, попробуем продифференцировать правую часть по $ t $. В скалярном случае, совершенно не существен порядок умножения:
$$
A(t) \int_{t_0}^t A(\tau_1) d\, \tau_1 \quad \mbox{или} \quad \int_{t_0}^t A(\tau_1) d\, \tau_1 A(t) \, .
$$
Но в случае матриц порядка $ \ge 2 $ коммутативность умножения, как правило, ((:algebra2#umnozhenie_matric не имеет места)).
Матричный ряд
$$ \mathbf{M}(t,t_0)=
E + \int_{t_0}^t A(\tau_1) d\, \tau_1 + \int_{t_0}^t A(\tau_1) \int_{t_0}^{\tau_1} A(\tau_2)
d\, \tau_2 d\, \tau_1 +
$$
$$
+ \int_{t_0}^t A(\tau_1) \int_{t_0}^{\tau_1} A(\tau_2) \int_{t_0}^{\tau_2} A(\tau_3) d\, \tau_3 d\, \tau_2 d\, \tau_1 +
$$
$$
+ \dots + \int_{t_0}^t A(\tau_1) \int_{t_0}^{\tau_1} A(\tau_2) \int_{t_0}^{\tau_2} \dots \int_{t_0}^{\tau_{k-1}}A(\tau_k) d\, \tau_k \dots d\, \tau_2 d\, \tau_1 + \dots ,
$$
где $ E $ --- ((:algebra2#edinichnaja единичная матрца)) порядка $ n $, называется **матрицантом** для системы дифференциальных уравнений
$$
\frac{ d\, X}{ d\, t}= A(t) X \ .
$$
(Фактически, матрицант является решением этого матричного дифференциального уравнения если в качестве переменного рассматривать не вектор $ X $, а квадратную матрицу порядка $ n $.)
Столбцы матрицанта образуют фундаментальную систему решений этой системы дифференциальных уравнений: любое решение последней может быть получено в виде линейной комбинации столбцов матрицы $ \mathbf{M}(t,t_0) $.-
Условие коммутирования матрицы $ A(t) $ со своим интегралом, т.е.
$$
A(t) \int_{t_0}^t A(\tau_1) d\, \tau_1 = \int_{t_0}^t A(\tau_1) d\, \tau_1 A(t) \ ,
$$
называется **условием Лаппо-Данилевского**.
При выполнении этого условия матрицант совпадает с
$$
e^{\displaystyle \int_{t_0}^t A(\tau) d\, \tau} \, .
$$
Условие Лаппо-Данилевского выполняется для стационарных матриц, т.е. не зависящих от переменной: $ A(t)\equiv A $. В этом случае матрицант равен
$$
e^{\displaystyle A(t-t_0)} \, .
$$
!!П!! **Пример.** Матрица
$$
\left(\begin{array}{cc}
t^2+t+1 & -2t+1 \\
2t-1 & t^2-t+2
\end{array}
\right)
$$
удовлетворяет условию Лаппо-Данилевского.
♦
Если матрицант $ \mathbf{M}(t,t_0) $ системы однородных уравнений
$$
\frac{ d\, X}{ d\, t}= A(t) X
$$
удается вычислить, то его можно использовать для решения системы неоднородных дифференциальных уравнений
$$
\frac{ d\, X}{ d\, t}= A(t) X + B(t) \ ;
$$
при произвольном векторе $ B(t)=\left[b_1(t),\dots,b_n(t) \right]^{\top} $, состоящим из интегрируемых функций.
Это решение выписывается в виде
$$
X(t)= \mathbf{M}(t,t_0)\left(X_0 + \int_{t_0}^t \mathbf{M}^{-1}(s,t_0) B(s) d\, s\right) =
$$
$$
=
\mathbf{M}(t,t_0)X_0 + \int_{t_0}^t C(t,s) B(s) d\, s \ ,
$$
где матрица
$$
C(t,s)= \mathbf{M}(t,t_0) \mathbf{M}^{-1}(s,t_0)
$$
называется **матрицей Коши**.
Эквивалентно ли условие Лаппо-Данилевского следующему
$$
A(t_1)A(t_2)=A(t_2)A(t_1) \quad \mbox{при} \quad \forall \{t_1,t_2\} ?
$$
!!Т!! **Теорема.** //Для матрицанта// $ \mathbf{M}(t,t_0) $ //выполняется// тождество **Абеля-Якоби-Лиувилля**:
$$
\det \mathbf{M}(t,t_0) = e^{\displaystyle \int_{t_0}^t \operatorname{Sp} (A(\tau)) d\, \tau} \, .
$$
//Здесь// $ \operatorname{Sp}_{} $ --- ((:algebra2#sled след)).
== Источники==
[1]. **Демидович Б.П.** Лекции по математической теории устойчивости. М.Наука. 1967
[2]. **Лаппо-Данилевский И.А.** Теория функций от матриц и системы линейных дифференциальных уравнений. М.-Л. ОНТИ. 1934