!!§!! Вспомогательная страница к разделу ((:algebra2:dets ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ))

==Градиент определителя как функции элементов матрицы==


Определитель является полиномом относительно элементов матрицы. ((:algebra2:dets/jacobian Градиент)) этого полинома по элементам матрицы также естественно записать в матричном виде. 
$$
A:=\left(\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array} \right) \ \Rightarrow \ \frac{D\, \det(A)}{ D\, A} := 
\left(\begin{array}{rr} a_{22} & -a_{21} \\ -a_{12} & a_{11}\end{array} \right) \ .
$$
Воспользовавшись ((:algebra2/dets/minors формулой разложения определителя)) матрицы порядка $ n $ по строке
$$
\det A = a_{j1}A_{j1} + a_{j2}A_{j2}+ \dots + a_{jn}A_{jn} 
$$
получаем:
$$
\frac{ \partial \det(A)}{\partial a_{jk}}=A_{jk} \ ,
$$
где $ A_{jk} $ означает  ((:algebra2/dets#minory_i_algebraicheskie_dopolnenija алгебраическое дополнение)) элемента $ a_{jk}$. Таким образом,
$$
\frac{D\, \det(A)}{ D\, A} =\left[ A_{jk} \right]_{j,k=1}^n =\left[ \operatorname{adj} (A) \right]^{\top} \ ,
$$
где $ \operatorname{adj} (A) $  ((algebra2/inverse#obratnaja_matrica матрица, взаимная)) матрице $ A $.

Общая формула выводится и для градиента ((algebra2/charpoly#xarakteristicheskij_polinom характеристического полинома матрицы)).

==Формула Тeрнбулла ==
$$
\det (\lambda E-A)=\lambda^n +a_{n-1}\lambda^{n-1}+\dots+a_1\lambda + a_0
$$

$$
\frac{\partial a_j}{\partial A^{\top}}=-\sum_{k=j+1}^n a_k A^{k-1-j} \quad \mbox{ при } \ a_n:=1
$$

В частности,
$$
\frac{\partial a_{n-1}}{\partial A^{\top}}=-a_nA^0 = - E,
$$
и ((:algebra2/charpoly/ham-cayley#teorema_gamiltona-kehli теорема Гамильтона-Кэли)) подтверждает выведенное выше равенство
$$
\frac{\partial a_{0}}{\partial A^{\top}}=-(a_1E+a_2A+\dots+a_nA^{n-1}) =a_0 A^{-1} = \operatorname{adj} (A)
$$
где $ \operatorname{adj} (A) $  ((algebra2/inverse#obratnaja_matrica матрица, взаимная)) матрице $ A $.

----
В привычной нумерации коэффициентов
$$
f(\lambda):=\det (\lambda E-A)=\lambda^n +a_{1}\lambda^{n-1}+\dots+a_{n-1}\lambda + a_n
$$

$$
\frac{\partial a_j}{\partial A^{\top}}=-\sum_{k=n-j+1}^n a_{n-k} A^{k-n+j-1} = -\sum_{K=0}^{j-1} a_K A^{j-K-1} \quad \mbox{ при } \ a_0:=1
$$

Тогда
$$
\frac{\partial f(\lambda)}{\partial A^{\top}}=
$$
$$
=
- \left[a_0A^{n-1}+(a_0\lambda+a_1)A^{n-2}+(a_0\lambda^2+a_1\lambda+a_2)A^{n-3}+\dots+ (a_0\lambda^{n-1}+a_1\lambda^{n-2}+\dots+a_{n-1})E \right]=
$$
$$
=B(\lambda)
$$
где $ B(\lambda) $ ---  ((:algebra2/charpoly/ham-cayley матрица, взаимная)) матрице $ \lambda E - A $.


==Источники==

**Turnbull H.W.** //On differentiating a matrix//. Proc. Edinburg Math.Soc. second series. Vol II, p.111-128, 1927

**Turnbull H.W.** //Matrix differentiation of the characteristic function.// Proc. Edinburg Math.Soc. second series. Vol II, p.256-264, 1931