!!§!! Вспомогательная страница к разделу ((algebra2:dets ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ))
==Элементарные свойства определителя==
Формальное определение определителя:
$$\left| \begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
\dots & & & \dots \\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}
\end{array}\right|=\sum (-1)^{\operatorname{inv}(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)}a_{1\alpha_1}a_{2\alpha_2} \times \dots \times a_{n\alpha_n},$$
где сумма распространяется на всевозможные ((:basics:combinatorics#перестановки перестановки)) $ (\alpha_{1},\alpha_2,\dots,\alpha_n) $ элементов $ \{ 1,2,\dots,n\} $, а $ \operatorname{inv} $ означает ((:algebra2:dets#определение число инверсий)) в перестановке.
Из этого определения выведем несколько свойств определителя как функции его столбцов или строк.
!!Т!! **Теорема 1.** //Если// $ (\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n) $ и $ (\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n) $ --- произвольные перестановки чисел $ \{ 1,2,\dots,n\} $, то в разложение определителя обязательно встретится слагаемое
$$ (-1)^{\operatorname{inv}(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)+\operatorname{inv}(\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n)}
a_{\alpha_1 \beta_1}a_{\alpha_2 \beta_2} \times \dots \times a_{\alpha_n \beta_n} \, . $$
**Доказательство.** Для последовательности пар индексов
$$
\Theta= \left( {\alpha_1 \choose \beta_1},{\alpha_2 \choose \beta_2},\dots,
{\alpha_k \choose \beta_k},\dots,{\alpha_{\ell} \choose \beta_{\ell}},
\dots, {\alpha_n \choose \beta_n}
\right)
$$
где $ (\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n) $ и $ (\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n) $
--- произвольные перестановки элементов $ \{1,2,\dots,n\} $,
рассмотрим обобщение понятия ((:basics:combinatorics#перестановки_чисел_1_2_..._n числа инверсий)):
$$
\mathfrak{Inv} \, (\Theta) =
\operatorname{inv} (\alpha_1,\alpha_2,\dots, \alpha_n)
+\operatorname{inv} (\beta_1,\beta_2,\dots, \beta_n) \, .
$$
Покажем, что при произвольной перестановке __любого числа__
пар в последовательности величина $ \mathfrak{Inv} \, (\Theta) $ меняется на четное число.
Справедливость утверждения для перестановки __двух__ пар
следует из теоремы $ 2 $ ((:basics:combinatorics#перестановки_чисел_1_2_..._n ЗДЕСЬ)):
$$ \mathfrak{Inv} \,
\left( {\alpha_1 \choose \beta_1},{\alpha_2 \choose \beta_2},\dots,
{\alpha_{\ell} \choose \beta_{\ell}},\dots,{\alpha_k \choose \beta_k},
\dots, {\alpha_n \choose \beta_n}
\right)=
$$
$$=\operatorname{inv} (\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_{\ell},\dots,\alpha_k,\dots, \alpha_n)
+\operatorname{inv} (\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_{\ell},\dots,\beta_k,\dots,\beta_n)=
$$
$$=\operatorname{inv} (\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_k,\dots,\alpha_{\ell},\dots, \alpha_n)+
\Omega_1+
\operatorname{inv} (\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_k,\dots,\beta_{\ell},\dots,
\beta_n)+\Omega_2=
$$
$$= \mathfrak{Inv} \, (\Theta)+\Omega_1+\Omega_2.$$
Поскольку $ \Omega_1 $ и $ \Omega_2 $ --- нечетные, то $ \Omega_1+\Omega_2 $
--- четное.
Доказательство для произвольного числа перестановок пар проводится индукцией по числу пар.
♦
!!=>!! Определение определителя можно переписать, распространив
суммирование на первые индексы его элементов:
$$
\det A =
\sum (-1)^{\operatorname{inv} (\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)} a_{\alpha_1 1}
a_{\alpha_2 2} \times \dots \times a_{\alpha_n n}
$$
!!Т!! **Теорема 2.** //Определитель матрицы не меняется при транспонировании//:
$$
\det A = \det A^{\top} \, .
$$
**Доказательство.** Обозначим $ B = A^{\top} $, таким образом $ B=\left[b_{jk} \right]_{j,k=1,\dots,n} $
при $ b_{jk}=a_{kj} $. На основании определения определителя:
$$
\det B = \sum (-1)^{\operatorname{inv} (\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)}
b_{1\alpha_1} b_{2\alpha_2}\times \dots \times b_{n\alpha_n}=
$$
$$
= \sum (-1)^{\operatorname{inv} (\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)}
a_{\alpha_11} a_{\alpha_22}\times \dots \times a_{\alpha_nn} \, .
$$
Однако последняя сумма совпадает с правой частью формулы из последнего следствия и,
следовательно, $ \det B = \det A $.
♦
!!П!! **Пример.** Доказать, что при $ \{u_{jk},v_{jk} \}_{j,k=1}^n \subset \mathbb R $ определитель
$$
\det A=\left|
\begin{array}{сссcс}
u_{11} & u_{12}+ \mathbf i v_{12} & u_{13}+ \mathbf i v_{13} & \dots & u_{1n}+ \mathbf i v_{1n} \\
u_{12}- \mathbf i v_{12} & u_{22} & u_{23}+ \mathbf i v_{23} & \dots & u_{2n}+ \mathbf i v_{2n} \\
u_{13}- \mathbf i v_{13} & u_{13}- \mathbf i v_{13} & u_{33}& \dots & u_{3n}+ \mathbf i v_{3n} \\
\quad \dots & & & & \quad \dots \\
u_{1n}- \mathbf i v_{1n}& u_{2n}- \mathbf i v_{2n} & u_{3n}- \mathbf i v_{3n} & \dots & u_{nn}
\end{array}
\right|
$$
является числом вещественным.
**Решение.** Пусть $ \det A=a + \mathbf i b $, где $ \{a,b\}\subset \mathbb R $. Тогда
по теореме **2** имеем:
$$ a + \mathbf i b=\det A = \det A^{\top} = $$
$$
=\left|\begin{array}{ccccc}
u_{11} & u_{12}- \mathbf i v_{12} & u_{13}- \mathbf i v_{13} & \dots & u_{1n}- \mathbf i v_{1n} \\
u_{12}+ \mathbf i v_{12} & u_{22} & u_{23}- \mathbf i v_{23} & \dots & u_{2n}- \mathbf i v_{2n} \\
u_{13}+ \mathbf i v_{13} & u_{13}+ \mathbf i v_{13} & u_{33}& \dots & u_{3n}- \mathbf i v_{3n} \\
\quad \dots & & & & \quad \dots \\
u_{1n}+ \mathbf i v_{1n}& u_{2n}+ \mathbf i v_{2n} & u_{3n}+ \mathbf i v_{3n} & \dots & u_{nn}
\end{array}
\right| = a - \mathbf i b \, .
$$
Например, для $ n=3 $:
$$
\left|\begin{array}{lll}
u_{11} & u_{12}- \mathbf i v_{12} & u_{13}- \mathbf i v_{13} \\
u_{12}+ \mathbf i v_{12} & u_{22} & u_{23}- \mathbf i v_{23} \\
u_{13}+ \mathbf i v_{13} & u_{23}+ \mathbf i v_{23} & u_{33}
\end{array}
\right|=
$$
$$
=
u_{11}u_{22}u_{33}-u_{11}\left(u_{23}^2+ v_{23}^2 \right)
-u_{22}\left(u_{13}^2+ v_{13}^2 \right)
-u_{33}\left(u_{12}^2+ v_{12}^2 \right) +
$$
$$
+2 \left(u_{12}u_{13}u_{23} + u_{12}v_{13}v_{23}+v_{12}u_{13}v_{23}
+v_{12}v_{13}u_{23} \right) \in \mathbb R \, .
$$
♦
Из теоремы **2** следует, что любое свойство, которое мы сможем доказать относительно строк определителя, будет иметь место и относительно его столбцов, и наоборот. Для удобства рассуждений объединим понятия строки и столбца под одним определением.
----
Будем называть строку или столбец матрицы (или определителя) ее **рядом** --- соответственно горизонтальным или вертикальным.
----
!!Т!! **Теорема 3.** //Общий множитель элементов любого ряда определителя можно вынести за знак определителя//:
$$
\det \left[ A_{[1]},\dots, c\cdot A_{[j]},\dots, A_{[n]} \right]=c \cdot
\det \left[ A_{[1]},\dots, A_{[j]},\dots, A_{[n]} \right] \, ,
$$
$$
\det
\left[
\begin{array}{r}
A^{[1]} \\ \vdots \quad \\ c\cdot A^{[k]} \\ \vdots \quad \\ A^{[n]}
\end{array}
\right] =
c\cdot
\det
\left[
\begin{array}{l}
A^{[1]} \\ \ \vdots \\ A^{[k]} \\ \ \vdots \\ A^{[n]}
\end{array}
\right]
\, .
$$
**Доказательство** справедливости второй формулы:
$$
\sum (-1)^{\operatorname{inv} (\alpha_1,\dots,\alpha_n)} a_{1\alpha_1 }\times \dots
\times \left(c \cdot a_{k \alpha_k} \right)\times \dots \times a_{n\alpha_n}=
$$
$$
=
c \cdot \sum (-1)^{\operatorname{inv} (\alpha_1,\dots,\alpha_n)} a_{1\alpha_1 }\times \dots
\times a_{k \alpha_k} \times \dots \times a_{n\alpha_n} =c\, \det A
\, .
$$
♦
!!?!! Доказать, что **a)** $ \det (-A)= (-1)^n \det A $ ;
**б)** определитель ((:algebra2:skewsym кососимметричной матрицы)) нечетного порядка равен нулю;
**в)** $ \det \left[(-1)^{j+k}a_{jk} \right]_{j,k=1,\dots,n} =
\det \left[a_{jk} \right]_{j,k=1,\dots,n} $.
!!Т!! **Теорема 4.** //Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.//
**Доказательство.** Докажем утверждение теоремы для строк. Пусть $ j\ne k $.
В разложение
$$ \det A = \sum (-1)^{\operatorname{inv}(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)}a_{1\alpha_1}a_{2\alpha_2} \times \dots \times a_{n\alpha_n},
$$
обязательно войдут по одному
элементу $ j $-й и $ k $-й строк и это разложение можно разбить на пары слагаемых вида:
$$(-1)^{\operatorname{inv} (1,\dots, j, \dots , k, \dots , n) +
\operatorname{inv} (\alpha_1,\dots, \alpha_j, \dots , \alpha_k, \dots , \alpha_n)}
a_{1\alpha_1}\times \dots \times a_{j\alpha_j} \times \dots \times
a_{k\alpha_k}\times \dots \times a_{n\alpha_n}
$$
и
$$(-1)^{\operatorname{inv} (1,\dots, k, \dots , j, \dots , n) +
\operatorname{inv} (\alpha_1,\dots, \alpha_j, \dots , \alpha_k, \dots , \alpha_n)}
a_{1\alpha_1}\times \dots \times a_{k\alpha_j} \times \dots \times
a_{j\alpha_k}\times \dots \times a_{n\alpha_n} \, ,
$$
различающихся лишь двумя сомножителями и знаками.
По теореме $ 2 $
☞
((:basics:combinatorics#перестановки_чисел_1_2_..._n ЗДЕСЬ)) четность перестановки $ (1,\dots,j, \dots, k, \dots , n) $
противоположна четности перестановки $ (1,\dots,k, \dots, j, \dots , n) $,
следовательно знаки противоположны.
Если $ j $-я и $ k $-я строки матрицы $ A $ одинаковы:
$$
\begin{array}{lllllll}
a_{j1} & \dots & a_{jj} & \dots & a_{jk} & \dots & a_{jn} \\
\Vert & \dots & \Vert & \dots & \Vert & \dots & \Vert \\
a_{k1} & \dots & a_{kj} & \dots & a_{kk} & \dots & a_{kn}
\end{array}
$$
то указанные слагаемые дают в сумме нуль.
♦
!!?!! Показать, что уравнение прямой, проходящей через точки плоскости с координатами $ (x_{1},y_1) $ и $ (x_{2},y_2) $, имеет вид:
$$
\left|
\begin{array}{lll}
1& x & y \\
1& x_1 & y_1 \\
1 & x_2 & y_2
\end{array}
\right|=0 \, .
$$
!!Т!! **Теорема 5.** //Пусть имеются три определителя//:
$ \det A_1,\, \det A_2 $ и $ \det A $,
имеющие все ряды, кроме одного, одинаковыми. Исключительный ряд содержит:
* в $ \det A_1 $ --- элементы $ {\mathfrak u}_1,\dots,{\mathfrak u}_n $;
* в $ \det A_2 $ --- элементы $ {\mathfrak v}_1,\dots,{\mathfrak v}_n $;
* в $ \det A $ --- элементы $ {\mathfrak u}_1+{\mathfrak v}_1,\dots,{\mathfrak u}_n +{\mathfrak v}_n $.
Тогда
$$
\det A = \det A_1 + \det A_2 \, .
$$
Например,
$$
\det
\big[ A_{[1]},\dots, \overbrace{{\mathfrak U}+ {\mathfrak V}}^{A_{[j]}},\dots, A_{[n]}\big]=
$$
$$
=\det \left[ A_{[1]},\dots, {\mathfrak U},\dots, A_{[n]} \right] +
\det \left[ A_{[1]},\dots, {\mathfrak V},\dots, A_{[n]} \right] \, ,
$$
где
$$ {\mathfrak U}=\left[\begin{array}{l} {\mathfrak u}_1 \\ {\mathfrak u}_2 \\ \vdots \\ {\mathfrak u}_n \end{array} \right],\ {\mathfrak V} =
\left[\begin{array}{l} {\mathfrak v}_1 \\ {\mathfrak v}_2 \\ \vdots \\ {\mathfrak v}_n \end{array} \right] \, . $$
**Доказательство.**
$$
\det A =
\sum (-1)^{\operatorname{inv} (\alpha_1,\dots,\alpha_n)} a_{1\alpha_1 }\times \dots \times
({\mathfrak u}_{\alpha_j}+{\mathfrak v}_{\alpha_j})\times \dots \times a_{n\alpha_n } =
$$
$$
=
\sum (-1)^{\operatorname{inv} (\alpha_1,\dots,\alpha_n)} a_{1\alpha_1 }\times \dots \times
{\mathfrak u}_{\alpha_j}\times \dots \times a_{n\alpha_n }
+
$$
$$
+
\sum (-1)^{\operatorname{inv} (\alpha_1,\dots,\alpha_n)} a_{1\alpha_1 }\times \dots \times
{\mathfrak v}_{\alpha_j}\times \dots \times a_{n\alpha_n} = \det A_1 + \det A_2 \, .
$$
!!=>!! Утверждение теоремы распространимо на любое количество слагаемых рядов.
!!=>!! Определитель не изменится, если к любому его ряду прибавить
любой другой ряд, умноженный на произвольное число из $ \mathbb A $.
**Доказательство.** Для конкретности рассмотрим столбцы определителя $ \det A $:
$$
\det \left[
\dots, A_{[j]}+c \cdot A_{[k]}, \dots , A_{[k]},\dots \right] =
$$
$$
=
\det \left[
\dots, A_{[j]}, \dots , A_{[k]},\dots \right] +
\det \left[
\dots, c \cdot A_{[k]}, \dots , A_{[k]},\dots \right]
$$
$$
=
\det \left[
\dots, A_{[j]}, \dots , A_{[k]},\dots \right] +
c \cdot \det \left[
\dots, A_{[k]}, \dots , A_{[k]},\dots \right]=
$$
по теореме $ 4 $
$$
=
\det \left[
\dots, A_{[j]}, \dots , A_{[k]},\dots \right] = \det A \, .
$$
♦
!!?!! Верно ли равенство $ \det (A+B) = \det A+ \det B $ для любых квадратных матриц $ A $ и $ B $?
!!Т!! **Теорема 6.** //При перестановке местами двух его рядов определитель меняет знак//.
**Доказательство.** Для конкретности рассмотрим столбцы определителя.
По теореме $ 4 $ следующий определитель с двумя одинаковыми $ j $-м и $ k $-м столбцами:
$$
\det \left[
\dots, A_{[j]}+A_{[k]}, \dots ,
A_{[j]}+A_{[k]},\dots \right] \, ,
$$
равен нулю. Далее имеем цепочку равенств:
$$
0=
\det \left[
\dots, A_{[j]}+A_{[k]}, \dots ,
A_{[j]}+A_{[k]},\dots \right] \ =
$$
$$
=
\det \left[
\dots, A_{[j]}+A_{[k]}, \dots , A_{[j]},\dots \right] +
\det \left[\dots, A_{[j]}+A_{[k]}, \dots ,A_{[k]},\dots \right]=
$$
$$
=
\det \left[\dots, A_{[j]}, \dots , A_{[j]},\dots \right] +
\det \left[\dots, A_{[k]}, \dots , A_{[j]},\dots \right] +
$$
$$
+
\det \left[\dots, A_{[j]}, \dots ,A_{[k]},\dots \right] +
\det \left[\dots, A_{[k]}, \dots ,A_{[k]},\dots \right] =
$$
по теореме $ 4 $:
$$
= \det
\left[\dots, A_{[k]}, \dots , A_{[j]},\dots \right] +
\det \left[\dots, A_{[j]}, \dots ,A_{[k]},\dots \right] \, .
$$
♦
----
Свойства определителя, выраженные теоремами $ 3 $ и $ 5 $, называются его **линейными**, а теоремой $ 6 $
--- **кососимметрическим** свойствами относительно рядов этого определителя.
Эти свойства, вместе с равенством $ \det E=1 $, называются **определяющими свойствами определителя**: можно доказать, что любая функция от набора рядов матрицы $ A $, обладающая этими свойствами, должна совпадать с
$ \det A $, вычисляемым по формуле
$$\left| \begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
\dots & & & \dots \\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}
\end{array}\right|=\sum (-1)^{\operatorname{inv}(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)}a_{1\alpha_1}a_{2\alpha_2} \times \dots \times a_{n\alpha_n} \, .$$