!!§!! Вспомогательная страница к разделу ((algebra2:dets#миноры_и_алгебраические_дополнения ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ))
----
==Миноры==
Основываясь на ((:algebra2:dets#определение определении определителя)) $ n $-го порядка
$$\det A=\left| \begin{array}{cccc}
a_{11}
& a_{12} & \dots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
\dots & & & \dots \\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}
\end{array}\right|=\sum (-1)^{\operatorname{inv}(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)}a_{1\alpha_1}a_{2\alpha_2} \times \dots \times a_{n\alpha_n},$$
выведем здесь правило сведéния его к вычислению определителей $ (n-1) $-го порядка.
!!Т!! **Теорема 1.** //Определитель матрицы равен сумме произведений элементов некоторого ряда (строки или столбца) определителя на их ((:algebra2/dets#minory_i_algebraicheskie_dopolnenija алгебраические дополнения)). Иначе говоря, справедливы следующие// **формулы разложения определителя по** $ \mathbf j $**-й строке** (//или// **по элементам** $ \mathbf j $**-й строки**):
$$
\det A = a_{j1}A_{j1} + a_{j2}A_{j2}+ \dots + a_{jn}A_{jn} =
\sum_{\ell=1}^n a_{j\ell} A_{j\ell}
$$
и **разложения определителя по** $ k_{} $**-му столбцу**:
$$
\det A = a_{1k}A_{1k} + a_{2k}A_{2k}+ \dots + a_{nk}A_{nk} = \sum_{\ell=1}^n a_{\ell k} A_{\ell k}
$$
//для любых// $ \{j,k \} \subset \{1,2,\dots,n \} $.
**Доказательство.**
1.
Докажем сначала справедливость первого разложения для случая
$ j=1 $, т.е. для первой строки. Эту строку можно представить в виде суммы
$ n $ строк:
$$(a_{11},a_{12},\dots,a_{1n})=(a_{11},0,\dots,0)+(0,a_{12},\dots,0)+ \dots +(0,0,\dots,a_{1n}) \, .$$
На основании ((:algebra2:dets:prop теоремы 5)), $ \det A $ можно представить в виде суммы
$$
\left|
\begin{array}{llll}
a_{11} & 0 & \dots & 0 \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
\dots & & & \dots \\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}
\end{array}
\right| +
\left|
\begin{array}{llll}
0 & a_{12} & \dots & 0 \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
\dots & & & \dots \\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}
\end{array}
\right| + \dots +
\left|
\begin{array}{llll}
0 & 0 & \dots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
\dots & & & \dots \\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}
\end{array}
\right| \, .
$$
Рассмотрим первый из этих определителей:
$$
\left|
\begin{array}{llll}
a_{11} & 0 & \dots & 0 \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
\dots & & & \dots \\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}
\end{array}
\right| \, .
$$
На основании ((:algebra2:dets:prop теоремы 3)), из первой строки можно вынести множитель:
$$
a_{11}
\left|
\begin{array}{llll}
1 & 0 & \dots & 0 \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
\dots & & & \dots \\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}
\end{array}
\right| \, .
$$
Обозначим получившийся определитель через $ B_1 $ и разложим его по формуле
определителя:
$$
B_1=\sum (-1)^{\operatorname{inv} (1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)} 1\cdot a_{2\alpha_2}\times \dots \times a_{n\alpha_n} \, .
$$
Здесь суммирование идет по всем перестановкам $ (\alpha_2,\dots,\alpha_n) $
чисел $ \{2,\dots,n\} $. Далее, на основании определения инверсии
$$ \operatorname{inv}(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)=\sum_{1\le j
2.