!!§!! Вспомогательная страница к пункту
☞
((:algebra2/dets/jacobian#uslovnyj_ehkstremum УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ))
!!П!! **Пример.** Найти $ \min $ и $ \max $ полинома
$$ g(x,y):=-\frac{1}{8}\,x^4+\frac{1}{6}\,y^4+2\,xy+x^2-y-4 $$
на кривой
$$ f(x,y):=-x^4-\frac{1}{2}y^4+4\,x^2+3\,xy+4\,y = 0 \, . $$
**Решение.** Уравнение $ f(x,y)=0 $ задает кривую, состоящую из одного замкнутого овала:
{{ :algebra2:dets:cond_min1.png?400 |}}
Полином $ g(x,y) $ достигает на этой кривой своего максимального и минимального значений. Построим топографическую систему для этого полинома, т.е. кривые $ g(x,y)=C $ при различных значениях константы $ C $:
{{ :algebra2:dets:cond_min2.png?400 |}}
Теперь наложим эту систему на кривую:
{{ :algebra2:dets:cond_min3.png?400 |}}
Наблюдаем, что при возрастании значения константы $ C $ точки пересечения кривой $ g(x,y)=C $ c $ f(x,y)=0 $ начинают стягиваться к двум предельным точкам --- одна из них лежит в первой четверти плоскости $ Oxy $, а другая --- в третьей.
{{ :algebra2:dets:cond_min4.png?400 |}}
{{ :algebra2:dets:cond_min5.png?400 |}}
Первая из точек --- точка глобального максимума, визуально $ C_{\ast}=\max > 10 $, вторая же задает максимум локальный с $ 5 < C_{\ast \ast} =\max < 10 $. В окрестности второй из этих точек кривые $ g(x,y)=C $ при $ C< C_{\ast \ast} $ имеют еще по две
точки пересечения с $ f(x,y)=0 $, но при $ C\to C_{\ast \ast} $ эти точки стремятся к слиянию. Иными словами, кривая
$ g(x,y)=C_{\ast \ast} $ должна __касаться__ кривой $ f(x,y)=0 $.
Условие соприкасания двух неявно заданных кривых $ f(x,y)=0 $ и $ g(x,y)=C_{\ast \ast} $ указано в пункте ((:algebra2/dets/jacobian#geometricheskie_prilozhenija ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ЯКОБИАНА)): в точке касания градиенты функций должны быть коллинеарными. Условие в детерминантной форме:
$$
\left|\begin{array}{cc}
\partial f / \partial x & \partial f / \partial y \\
\partial g / \partial x & \partial g / \partial y
\end{array}
\right|=0 \, .
$$
Вот здесь и появляется якобиан.
Теперь доведем решение примера до конца --- до установления величин $ \max $ и $ \min $ и координат точек кривой $ f(x,y)=0 $, в которых эти экстремумы достигаются. Система уравнений
$$
f(x,y)=0 , \ \frac{\partial g}{\partial x} \frac{\partial f}{\partial y} - \frac{\partial g}{\partial y} \frac{\partial f}{\partial x} = 0
$$
--- алгебраическая, и для ее решения можно применить методы ((:dets/resultant#iskljuchenie_peremennyx_v_sisteme_polinomialnyx_uravnenij теории исключения)). Результант этих полиномов по исключению переменной $ y $
$$
\mathcal X(x) =\frac{1}{20736}x \left(1874048\,x^{23}-41569792\,x^{21}+391784448\,x^{19} + \dots -19800339840\,x-8402724864 \right)
$$
имеет вещественные корни
$$
x_1 \approx-1.831906,\ x_2 \approx -1.580103,\ x_3=0 ,\ x_4 \approx 2.039002 \, .
$$
Им можно поставить в соответствие $ y $-компоненты решений, например, по алгоритму изложенному
☞
((:dets/resultant#iskljuchenie_peremennyx_v_sisteme_polinomialnyx_uravnenij ЗДЕСЬ)).
$$
(x_1,y_1)\approx (-1.831906,-1.7596266), \ (x_2,y_2) \approx (2.039002,2.703033),\ (x_3,y_3)=(0,0),\ (x_4,y_4)\approx (-1.580103,1.514696) \, .
$$
Очевидно, что на кривой $ f(x,y)=0 $ локальные минимумы и максимумы полинома $ g(x,y) $ должны чередоваться
{{ :algebra2:dets:jacobian:cond_min7.png?400 |}}
Окончательно:
$$
\max_{f=0} g(x,y) = g(x_2,y_2) \approx 15.214072 , \quad \min _{f=0} g(x,y) = g(x_4,y_4) \approx -7.706623 \, .
$$