!!§!! Вспомогательная страница к разделам ((:algebra2:dets ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ)) и
((:mapping#pochemu_rassmatrivajutsja_tolko_linejnye_otobrazhenija ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ))
==Матрица Якоби и якобиан==
В настоящем разделе аргументы и значения рассматриваемых функций предполагаются вещественными. Для упрощения формулировок
будем считать рассматриваемые функции полиномами (т.е. все рассматриваемые производные существуют, и извращения типа
$ \partial^2 f(x,y) / (\partial x \partial y) \ne \partial^2 f(x,y) / (\partial y \partial x) $ невозможны).
=== Определение и основные свойства ==
**Матрицей Якоби** системы из $ m_{} $ функций
$ \{f_1(x_1,\dots,x_n),\dots,f_m(x_{1},\dots,x_n)\} $ по переменным $ x_{1},\dots,x_n $ называется матрица,
составленная из всевозможных частных производных:
$$
\mathbf J = \left[ \frac{\partial f_j}{\partial x_k} \right]_{j=1,\dots,m, \atop k=1,\dots,n} =
\left(
\begin{array}{cccc}
{\partial f_1}/{\partial x_1} & {\partial f_1}/{\partial x_2} & \dots & {\partial f_1}/{\partial x_n} \\
{\partial f_2}/{\partial x_1} & {\partial f_2}/{\partial x_2} & \dots & {\partial f_2}/{\partial x_n} \\
\dots & && \dots \\
{\partial f_m}/{\partial x_1} & {\partial f_m}/{\partial x_2} & \dots & {\partial f_m}/{\partial x_n}
\end{array}
\right) \, .
$$
В частном случае $ m_{}=1 $ матрица Якоби состоит из одной строки:
этот вектор в $ \mathbb R_{}^{n} $ или $ \mathbb C^{n} $ называется **градиентом** функции $ f_{} $ (в точке $ (x_1,\dots,x_{n}) $):
$$
\operatorname{grad} (f) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1},\dots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right) \ .
$$
Можно сказать, что в общем случае системы функций их матрица Якоби состоит из строк, являющихся градиентами этих функций.
Иногда улобнее определять градиент как вектор-столбец из частных производных. В настоящем разделе будем рассматривать его как строку.
!!П!! **Пример.** Для системы линейных функций
$$f_1=a_{11}x_1+\dots+a_{1n}x_n - b_1,\dots, f_m=a_{m1}x_1+\dots+a_{mn}x_n - b_m $$
матрица Якоби будет матрицей коэффициентов при переменных:
$$
\mathbf J =
\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
\dots & && \dots \\
a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn}
\end{array}
\right) .
$$
Откуда возникает матрица Якоби? -- Фактически оттуда же, откуда возникает обычная производная: из
необходимости исследовать поведение произвольной __нелинейной__ функции. Что делают при исследовании
функции одной переменной $ y=f_{}(x) $? --- Для нее выписывают формулу Тейлора и в этой формуле
$$ f(x) = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\dots $$
оставляют только два первых слагаемых, чтобы нелинейную функцию подменить __линейной__. Геометрически:
график произвольной функции заменяют на график его касательной, и считают, что эти два графика ведут себя
почти одинаково --- по крайней мере, локально --- в окрестности точки $ x_{0} $. То же самое делается
и при исследовании функций нескольких переменных. Пусть, например, задано отображение
$$ x=f_1(u,v),\ y=f_2(u,v), z=f_3(u,v) $$
некоторой области пространства $ \mathbb{R}^{2} $ в пространство $ \mathbb{R}^{3} $. Это отображение можно
геометрически интерпретировать, как задание некоторой поверхности в $ \mathbb{R}^{3} $ параметрически
(задание параметров $ u_{} $ и $ v_{} $ однозначно определяет точку $ (x_{},y,z) $ поверхности). Если функции
$ f_{j} $ нелинейные, то исследовать поведение такого отображения начинают с его линейного приближения:
выписывают для этих функций формулы Тейлора
$$
f_j(u,v)=f_j(u_0,v_0) + \frac{\partial f}{\partial u} (u-u_0) + \frac{\partial f}{\partial v} (v-v_0)+\dots
$$
(частные производные вычисляются в точке $ (u_{0},v_0) $) и отбрасывают нелинейные по $ u-u_0 $ и $ v-v_0 $ слагаемые.
Полученное отображение пространства $ \mathbb{R}^{2} $ в пространство $ \mathbb{R}^{3} $, по его виду, можно было бы назвать //линейным//, но в алгебре выражение //линейное отображение// закреплено за ((:mapping#линейное_отображение более узким классом отображений)), а настоящее относится к классу ((:mapping#аффинное_отображение аффинных)):
$$ \left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) =
\left(\begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{array} \right) +
\left( \begin{array}{cc}
\partial f_1/ \partial u & \partial f_1/ \partial v \\
\partial f_2/ \partial u & \partial f_2/ \partial v \\
\partial f_3/ \partial u & \partial f_3/ \partial v
\end{array} \right)
\left(\begin{array}{c} u-u_0 \\ v-v_0 \end{array} \right)
$$
при
$$
\left(\begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{array} \right)=
\left(\begin{array}{c} f_1(u_0,v_0) \\ f_2(u_0,v_0) \\ f_3(u_0,v_0) \end{array} \right) \ .
$$
Геометрически: график параметрически заданной поверхности заменяют на график ее касательной плоскости и считают, что эти два
графика ведут себя почти одинаково --- по крайней мере, локально,--- в окрестности точки $ (x_0,y_0,z_0) $.
В частном случае $ m=n_{} $ матрица Якоби становится квадратной и тогда ее определитель называется **якобианом**
или **определителем Якоби** или **функциональным определителем** системы из $ n_{} $ функций
$ \{f_1(x_1,\dots,x_n),\dots,f_{n}(x_1,\dots,x_n)\} $ по переменным $ x_{1},\dots,x_n $:
$$
{\mathfrak J}(x_1,\dots,x_n)=\frac{D(f_1,f_2,\dots,f_n)}{D(x_1,x_2,\dots,x_n)}=
$$
$$
=\left|
\begin{array}{cccc}
{\partial f_1}/{\partial x_1} & {\partial f_1}/{\partial x_2} & \dots & {\partial f_1}/{\partial x_n} \\
{\partial f_2}/{\partial x_1} & {\partial f_2}/{\partial x_2} & \dots & {\partial f_2}/{\partial x_n} \\
\dots & && \dots \\
{\partial f_n}/{\partial x_1} & {\partial f_n}/{\partial x_2} & \dots & {\partial f_n}/{\partial x_n}
\end{array}
\right|= \det \left[ \frac{\partial f_j}{\partial x_k} \right]_{j,k=1}^n \ .
$$
В этом же случае ((:algebra2#след след)) матрицы Якоби называется **дивергенцией вектора** $ (f_1,f_2,\dots,f_n) $:
$$ \operatorname{div} (f_1,f_2,\dots,f_n)= {\partial f_1}/{\partial x_1}+ {\partial f_2}/{\partial x_2}+\dots+ {\partial f_n}/{\partial x_n} \ .
$$
В англоязычной литературе термин **Jacobian** часто относится и к матрице Якоби.
!!П!! **Пример.** Якобиан системы двух функций $ \{f_1(x,y), f_2(x,y) \} $ равен
$$
\mathfrak J(x,y)=\frac{\partial f_1}{ \partial x} \frac{\partial f_2}{ \partial y} -
\frac{\partial f_1}{ \partial y} \frac{\partial f_2}{\partial x} \ .
$$
Для функции $ f(x_1,x_2,\dots, x_n) $ матрица Якоби системы $ \left\{ \partial f / \partial x_1,\dots, \partial f / \partial x_n \right\} $, т.е. матрица
$$
\mathbf H = \left[ \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_k } \right]_{j,k=1}^n=
\left(
\begin{array}{cccc}
\partial^2 f / \partial x_1^2 & \partial^2 f / (\partial x_2 \partial x_1) & \dots & \partial^2 f / (\partial x_n \partial x_1)\\
\partial^2 f / (\partial x_1 \partial x_2) & \partial^2 f / \partial x_2^2 & \dots & \partial^2 f / (\partial x_n \partial x_2) \\
\dots & & & \dots \\
\partial^2 f / (\partial x_1 \partial x_n) & \partial^2 f / (\partial x_2 \partial x_n) & \dots & \partial^2 f / \partial^2 x_n
\end{array}
\right)
$$
называется **матрицей Гессе** функции $ f $, а определитель этой матрицы --- **гессианом** функции $ f $. Матрица Гессе, очевидно, симметрична.
!!Т!! **Теорема [Якоби].** //Если// $ A_{j1},\dots,A_{jn} $ --- //((algebra2:dets#миноры_и_алгебраические_дополнения алгебраические дополнения)) элементов// $ j_{} $-//й строки якобиана, то//
$$
\frac{\partial A_{j1}}{\partial x_1}+\frac{\partial A_{j2}}{\partial x_2}+ \dots+\frac{\partial A_{jn}}{\partial x_n}
\equiv 0 \, .
$$
//Предполагается, что производные, входящие в левую часть тождества, существуют. //
===Функциональная зависимость==
Следующая теорема и ее следствия являются прямыми обобщениями соответствующих результатов из линейной алгебры.
!!Т!! **Теорема.** //Якобиан системы функций// $ \{ f_{1},f_2,\dots,f_n \} $ //тождественно равен нулю в некоторой области// $ \mathbb{S}_{} $:
$$
\frac{D(f_1,f_2,\dots,f_n)}{D(x_1,x_2,\dots,x_n)} \equiv 0 \mbox{ } \ \mbox{при} \mbox{ } X \in \mathbb{S}
$$
//тогда и только тогда, когда между этими функциями имеется функциональная зависимость
в// $ \mathbb{S} $, //т.е. существует функция// $ G(y_1,y_2,\dots,y_n) \not\equiv 0 $ //такая, что//
$$
G(f_1(X),f_2(X),\dots,f_n(X))\equiv 0 \mbox{ } \mbox{при} \mbox{ } X \in \mathbb{S} \ .
$$
В частном случае, когда в качестве $ G(y_1,y_2,\dots,y_n) $ можно выбрать линейный однородный полином $ G(y_1,y_2,\dots,y_n)=a_1y_1+a_2y_2+\dots+a_n y_n $, говорят о ((:linear_space#линейная_зависимость_базис_координаты линейной зависимости)).
Приведем соображения, показывающие необходимость обращения якобиана в нуль для существования функциональной зависимости в системе функций $ \{ f_j \} $. Дополнительно предположим, что у функции $ G $ существуют частные производные по ее аргументам. Продифференцируем тождество $ G(f_1(X),f_2(X),\dots,f_n(X))\equiv 0 $ по $ x_1,\dots,x_n $. Получим систему тождеств
$$
\left\{\begin{array}{cccc}
\frac{\partial G}{\partial y_1} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}+ & \frac{\partial G}{\partial y_2} \frac{\partial f_2}{\partial x_1}+ &\dots + \frac{\partial G}{\partial y_n} \frac{\partial f_n}{\partial x_1} & \equiv 0, \\
\dots & & & \dots \\
\frac{\partial G}{\partial y_1} \frac{\partial f_1}{\partial x_n}+ & \frac{\partial G}{\partial y_2} \frac{\partial f_2}{\partial x_n}+ &\dots + \frac{\partial G}{\partial y_n} \frac{\partial f_n}{\partial x_n} & \equiv 0;
\end{array}
\right.
$$
здесь после вычисления производных $ \{\partial G / \partial y_j \} $ следует произвести подстановку $ y_1=f_1(X),\dots,y_n=f_n(X) $. Получившуюся систему можно рассматривать как линейную однородную относительно этих последних выражений. Хотя бы одна из них не должна быть тождественно нулевой (в противном случае функция $ G $ не содержала бы ни одной функции $ f_j $). Но тогда для совместности системы ((:algebra2:linearsystems#sistema_odnorodnyx_uravnenij необходимо)), чтобы ее определитель был равен нулю. Этот определитель, с точностью до транспонирования, совпадает с якобианом.
!!П!! **Пример.** Являются ли полиномы
$$ f_1=x_1+x_2+x_3-1,\quad f_2=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3-2,\quad f_3=x_1^2+x_2^2+x_3^2+3 $$
функционально зависимыми?
**Решение.**
$$
\frac{D(f_1,f_2,f_3)}{D(x_1,x_2,x_3)}=
$$
$$
=
\left|
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
x_2+x_3 & x_1+x_3 & x_1+x_2 \\
2x_1 & 2x_2 & 2x_3
\end{array}
\right| = 2 \left|
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
x_2+x_3 & x_1+x_3 & x_1+x_2 \\
x_1 & x_2 & x_3
\end{array}
\right|=
$$
$$
=
\left|
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
x_1+x_2+x_3 & x_1+x_2+x_3 & x_1+x_2+x_3 \\
x_1 & x_2 & x_3
\end{array}
\right|\equiv 0
$$
(мы воспользовались здесь свойствами
4
и
5
определителя, выписанными
☞
((:algebra2:dets#элементарные_свойства_определителя ЗДЕСЬ)) ). Ответ оказывается положительным: рассматриваемые полиномы являются функционально зависимыми. В данном примере эта зависимость сравнительно просто "отлавливается" наметанным взглядом:
$$(f_1+1)^2-2(f_2+2)-(f_3-3) \equiv 0 \ . $$
♦
В общем же случае установление __конкретной__ "обнуляющей" формулы
$$ G(f_1(X),f_2(X),\dots,f_n(X))\equiv 0 $$
представляет собой отдельную и, как правило, непростую задачу.
!!=>!! Если какие-то $ \mathfrak r $ функций системы $ \{ f_{1}, \dots, f_n \} $ связаны в $ \mathbb{S} $
функциональным соотношением
$$
H(f_{j_1}, \dots, f_{j_{\mathfrak r}}) \equiv 0 \ ,
$$
то любой минор порядка $ \mathfrak r $ якобиана, выбранный из соответствующих строк, будет тождественно равен нулю в
$ \mathbb{S}_{} $.
!!=>!! Пусть $ \mathfrak r_{} $ обозначает ((algebra2:rank ранг)) матрицы Якоби системы функций
$ \{f_1,\dots,f_{m} \} $ по переменным $ x_{1},\dots,x_n $. Если минор этой матрицы
$$
\frac{D(f_1,\dots,f_{\mathfrak r})}{D(x_1,\dots,x_\mathfrak r)}
$$
отличен от нуля в $ \mathbb{S}_{} $, то функции $ f_1,\dots,f_{\mathfrak r} $ функционально независимы в
$ \mathbb{S} $, а все оставшиеся функции системы (при условии $ \mathfrak r < m $) могут быть выражены в
виде (сложных) функций от этих независимых:
$$
f_{\mathfrak r+1}(x_1,\dots,x_n) \equiv G_{\mathfrak r+1}(f_1,\dots,f_{\mathfrak r}),\dots,
f_{m}(x_1,\dots,x_n) \equiv G_m(f_1,\dots,f_{\mathfrak r}) \ .
$$
===Сложная функция==
Якобиан обладает свойствами, аналогичными свойствам обычной производной для функции одной переменной.
Так, следующий результат является аналогом правила дифференцирования сложной функции[[(англ.) composite function]].
$$
\frac{d\, F(f(x))}{d\, x} \equiv \frac{d\, F(y)}{d\, y}\Bigg|_{y=f(x)} \frac{d\, f(x)}{d\, x} \, .
$$
!!Т!! **Теорема.** //Якобиан системы сложных функций//
$$ F_1(x_1,\dots,x_n)=f_1(y_1(x_1,\dots,x_n),\dots,y_n(x_1,\dots,x_n)),\dots,$$
$$ F_n(x_1,\dots,x_n)=f_n(y_1(x_1,\dots,x_n),\dots,y_n(x_1,\dots,x_n)) $$
//вычисляется по правилу умножения://
$$
\frac{D(F_1,\dots,F_n)}{D(x_1,\dots,x_n)}=
\frac{D(f_1,\dots,f_n)}{D(y_1,\dots,y_n)}\cdot \frac{D(y_1,\dots,y_n)}{D(x_1,\dots,x_n)} \ .
$$
//где производные вычислены в соответствующих точках.//
!!П!! **Пример** ((#источники [1])). Вычислить якобиан ((:polynomialm#однородный_полином элементарных симметрических полиномов)):
$$
f_1=\sum_{1 \le j\le n} x_j = x_1+ \dots+ x_n,
$$
$$
f_2=\sum_{1\le j_1
♦