==Некоторые целочисленные определители==


===Определитель Смита==

$$ \det [\operatorname{HOD} (j,k)]_{j,k=1}^n = \prod_{\ell=1}^n \phi(\ell) = 
n! \left( \frac{1}{2}  \right)^{\lfloor n/2 \rfloor} \left( \frac{2}{3}  \right)^{\lfloor n/3 \rfloor}\left( \frac{4}{5}  \right)^{\lfloor n/5 \rfloor}\left( \frac{6}{7}  \right)^{\lfloor n/7 \rfloor}\left( \frac{10}{11}  \right)^{\lfloor n/11 \rfloor} \times \dots \ . $$
Здесь $ \operatorname{HOD} $ --- ((:numtheory#алгоритм_евклида наибольший общий делитель)), $ \phi $ --- ((:numtheory#функция_эйлера функция Эйлера)), $ \lfloor \mbox{ } \rfloor $ --- ((:algebra2:notations#целая_часть_числа целая часть числа)), а знаменатели дробей $ 2,3,5,7,11,\dots $ представляют собою последовательные ((:numtheory#простые_числа простые)) числа. 

!!П!! **Пример.**
$$
\left|
\begin{array}{cccccccc}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 & 4 & 1 & 2 & 1 & 4 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 5 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 3 & 2 & 1 & 6 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 7 & 1 \\
1 & 2 & 1 & 4 & 1 & 2 & 1 & 8
\end{array}
\right|=768= 1\cdot 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 4 \ .
$$

> **Источники.** \\

> **Smith S.** //On the value of a certain arithmetic determinant.// Proc. London Math. Soc. 7, 208-212, 1876 \\

> **Чезаро Э.** //Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления
бесконечно малых. Часть I.// М.-Л., ОНТИ, 1936, сс.34-35