==Определитель==
~~TOC~~
Понятие определителя вводится только для **квадратных** ((:algebra2 матриц)).
===Определение==
**Определитель** (или **детерминант**[[determinator (//лат.//) --- определяющий.]]) определяется для произвольной __квадратной__ матрицы $ A^{} $, и представляет из себя ((:polynomialm#полиномы_нескольких_переменных полином)) от всех ее элементов. Обозначается --- либо $ \det (A)_{} $, либо $ \det A_{} $, либо --- в развернутом виде[[И для матриц порядка выше первого!]] ---
$$
\left|
\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\
\dots & & & \dots \\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}
\end{array}
\right|
$$
(матрица ограничивается вертикальными чертами[[Специфическое обозначение определителя матрицы с помощью вертикальных черт, ее ограничивающих, предложено ((:biogr#кэли Артуром Кэли)).]]). Имея в виду порядок матрицы $ A_{} $, о ее определителе говорят как об **определителе порядка** $ n_{} $.
Для $ n=1_{} $:
$$
\det (A) = a_{11} \ ;
$$
для $ n=2_{} $:
$$
\det (A) = \left|
\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}
\right|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \ ;
$$
для $ n=3_{} $:
$$
\det (A) =
\left|
\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}
\right| =
$$
$$
=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23} a_{31} +
a_{21}a_{32} a_{13} - a_{31} a_{22} a_{13} - a_{21}a_{12}a_{33} -
a_{11} a_{32} a_{23} \ ;
$$
для $ n=4_{} $ формула ((algebra2:det4x4 становится громоздкой)).
!!!!! Области использования понятия определителя:
1.
(исторически первоначальная) с помощью этой функции устанавливаются условия ((:algebra2:linearsystems#матричный_формализм_метода_гаусса существования и единственности решения системы линейных уравнений)) от нескольких переменных; более того, эта функция позволяет компактно записать решение;
2.
эта функция позволяет анализировать свойства отображений (функций) одного многомерного множества в другое, см.
☞
((:mapping ЗДЕСЬ));
3.
определитель имеет также ряд ((#геометрические_приложения_определителя геометрических приложений)).
Введем теперь определитель произвольного порядка $ n_{} $.
Упорядоченная пара различных натуральных чисел $ (a,b)_{} $ образует **инверсию** (или нарушение порядка), если $ a>b_{} $. Будем обозначать число инверсий в паре $ (a,b)_{} $ через $ \operatorname{inv}(a,b)_{} $. Таким образом
$$\operatorname{inv}(a,b)=\left\{ \begin{array}{l}
1 \ npu \ a>b \\
0 \ npu \ a
☞