☞ ((algebra2:course:prog_eng English version)) ==Высшая алгебра== Программа разработана ((users:au:index А.Ю.Утешевым)) на основе опыта чтения курса на ((http://www.apmath.spbu.ru факультете ПМ-ПУ)) СПбГУ. ~~TOC~~ ===Раздел I. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ== ====ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ== ((:basics:induction Метод математической индукции)) ((:basics:combinatorics Элементы комбинаторики)) ==== Глава 1. НАЧАЛА ТЕОРИИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ== ((:binomial Бином Ньютона. Треугольник Паскаля)) ((:numtheory#алгоритм_евклида Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида.)) ((:numtheory#линейное_представление_нод Линейное представление НОД, континуанта.)) ((:numtheory#делимость_чисел Делимость чисел. Взаимно простые числа.)) ((:numtheory#простые_числа Простые числа)). ((:numtheory#каноническое_разложение_числа Каноническое разложение числа)). ((:numtheory#признаки_делимости Признаки делимости.)) ((:numtheory#факторизация Факторизация)). ((:numtheory#функция_эйлера Функция Эйлера.)) ((:modular#сравнения Сравнения.)) ((:numtheory#функция_эйлера Алгоритм "квадрирования-умножения".)) ((:modular#классы_вычетов Классы вычетов.)) ((:modular#теоремы_ферма_и_эйлера Теоремы Ферма и Эйлера)) ((:modular#решение_линейных_сравнений Решение линейных сравнений с одним неизвестным. Нахождение обратного по модулю.)) ((:modular:wilson Теорема Вильсона)). ((:modular:crt Китайская теорема об остатках)). ====Глава 2. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА == ((:complex_num#определение Определение)) (равенство, алгебраические действия, запись, комплексное сопряжение) ((:complex_num#тригонометрическая_форма_комплексного_числа Тригонометрическая форма комплексного числа)) (действия с к.ч., представленными в тригонометрической форме, ((:complex_num#формула_муавра формула Муавра)), ((:complex_num#неравенства_для_модуля неравенства для модуля)), ((:complex_num#выведение_тригонометрических_формул выведение тригонометрических формул)) ). ((:complex_num#извлечение_корня_из_комплексного_числа Извлечение корня из комплексного числа)) (cведéние к решению системы нелинейных уравнений, ((:complex_num#квадратный_корень решение квадратных уравнений)); ((:complex_num#общий_случай тригонометрическая форма)), ((:complex_num#корни_из_единицы корни из единицы, первообразные корни)) ) ====Глава 3. ПОЛИНОМЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ== ((:polynomial#общая_информация Определения.)) Форма записи, моном, степень, равенство, приведение подобных, сложение, умножение. Схема Хорнера ((:polynomial#основная_теорема_высшей_алгебры Основная теорема высшей алгебры)) (формулировка). ((:polynomial:vietep Формулы Виета.)) Разложение на линейные множители. Кратность корня ((:polynomial:radical Решение уравнений в радикалах)) (уравнения третьей и четвертой степени; неразрешимость уравнений высших степеней). Делимость полиномов. ((:polynomial#наибольший_общий_делитель Наибольший общий делитель, алгоритм Евклида.)) ((:polynomial:relat_prime Взаимно простые полиномы. Тождество Безу.)) ((:polynomial:taylor Формула Тейлора)) ((:polynomial#производные_от_полинома Выделение кратных корней.)) ((:polynomial#формула_тейлора Установление кратности корня.)) Решение уравнений, имеющих кратные корни ((:polynomial#полиномы_с_вещественными_коэффициентами Корни полинома с вещественными коэффициентами)). Приводимость; границы расположения корней: ((:polynomial#границы_расположения_корней оценки Маклорена, Лагранжа)), Ньютона; ((:polynomial:geometry геометрия вещественных корней)),((:polynomial:descartes правило знаков Декарта)). ((:polynomial#приводимость Приводимость полиномов)) в $ \mathbb{Q}_{} $ (условия существования рациональных корней, ((:polynomial:irreduc критерий неприводимости Эйзенштейна)) ). Численные методы нахождения корней полинома (Руффини-Хорнера[[Факультативно]], Лагранжа[[Факультативно]], ((:polynomial:newton Ньютона)) ). ((:fraction Рациональные дроби.)) Разложение на простейшие над $ \mathbb{C}_{} $ и $ \mathbb{R}_{} $. Формула Лагранжа ((:polynomialm Полиномы нескольких переменных)) (способы их представления, формула Тейлора, ((:polynomialm#экстремумы_полинома условия экстремума)), алгебраические уравнения) ====Глава 4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ == Решение системы линейных уравнений:((algebra2:linearsystems#исключение_переменных_метод_гаусса == метод Гаусса)) ((:algebra2 Матрицы.)) Действия над ними: линейные, ((:algebra2/assoc#umnozhenie_matric умножение)),транспонирование, матричный полином, ((:algebra2#обращение_матрицы обращение)) ((algebra2:dets Определение определителя)) ((:algebra2:dets:prop Элементарные свойства определителя)) ((algebra2:dets#миноры_и_алгебраические_дополнения Миноры и алгебраические дополнения.)) ((:algebra2:dets:minors Разложение определителя по строке (столбцу) )). ((algebra2:dets#метод_приведения_к_треугольному_виду_метод_гаусса Метод Гаусса)) ((:algebra2/linearsystems/cramert Формулы Крамера)) ((algebra2:dets#теорема_лапласа Теорема Лапласа)) ((:algebra/dets/binet_cauchy Теорема Бине-Коши. Неравенство Коши)) Определители специального вида: ((:algebra2:vander Вандермонда)), ганкелев, ((:algebra2:dets:special_cases#метод_рекуррентных_соотношений трехдиагональный)), ((:modular:crt#целочисленный_определитель целочисленный)), характеристический полином ((algebra2:inverse Обратная матрица)) ((algebra2:rank Ранг)) Условие совместности линейной системы ( ((algebra2:linearsystems#теорема_кронекера-капелли теорема Кронекера-Капелли)), ((algebra2:linearsystems#общее_решение общее решение)), ((:algebra2:linearsystems#система_однородных_уравнений система однородных уравнений, фундаментальная система решений)) ). ==== Глава 5. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ== ((:interpolation Интерполяционный полином; формы Лагранжа и Ньютона.)) ((:interpolation#интерполяционный_полином_эрмита Обобщенная задача интерполяции))[[Факультативно.]]. Приближенная интерполяция: ((:interpolation:mnk метод наименьших квадратов)). ((algebra2:linearsystems#псевдорешение_системы_линейных_уравнений Псевдорешения системы линейных уравнений.)) ====Глава 6. ТЕОРИЯ ИСКЛЮЧЕНИЯ== ((:dets:resultant Результант.)) Его линейное представление, связь с алгоритмом Евклида ((:dets:discrim Дискриминант)) Субрезультанты. Линейное представление НОД Приложения: ((:polynomial:relat_prime#уничтожение_иррациональности_в_знаменателе уничтожение иррациональности в знаменателе)), ((dets:resultant#преобразование_чирнгауза преобразование Чирнгауза))[[Факультативно.]]. ((dets:resultant#исключение_переменных_в_системе_полиномиальных_уравнений Исключение переменных в системе уравнений)) Число решений системы уравнений: ((dets:resultant#теорема_безу теорема Безу)), исключительные случаи теории исключения[[Факультативно.]]. Основная теорема высшей алгебры (доказательство)[[Факультативно.]].. ====Глава 7. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ== ((:2form#метод_лагранжа_приведения_квадратичной_формы_к_каноническому_виду Приведение квадратичной формы к каноническому виду по методу Лагранжа)) ((:2form#формула_якоби Формула Якоби)). ((algebra2:linearsystems:matrix_for#ldu-разложение_матрицы Матричный формализм метода Гаусса: LDU-разложение матрицы)) ((:2form#zakon_inercii_dlja_kvadratichnyx_form Закон инерции.)) Ранг, сигнатура, конгруэнтность квадратичных форм ((algebra2:optimiz#знакоопределенность_квадратичной_формыкритерий_сильвестра Положительная определенность)) ====Глава 8. ЛОКАЛИЗАЦИЯ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА== ((:polynomial#интервал_вещественной_оси Теорема Штурма. Построение системы полиномов Штурма по алгоритму Евклида.))[[Факультативно]] Ганкелевы матрицы в задаче локализации корней. ((dets:discrim:waring Суммы Ньютона)). ((polynomial:zero_local#ганкелевы_матрицы_в_теории_локализации_корней Теоремы Якоби и Йоахимшталя.))[[Факультативно]] Устойчивость полинома, теоремы Рауса, ((dets:resultant#устойчивость_полинома Льенара-Шипара)). ((:polynomial#единичный_круг Теорема Шура-Кона.))[[Факультативно]] ====Глава 9. НЕКОТОРЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ== ((:gruppe#определение_группы Группа)). ((:gruppe#подгруппа Подгруппа)), ((:gruppe:vspom2 факторгруппа)). ((:gruppe#изоморфизм_групп Изоморфизм групп)). ((:gruppe#кольцо Кольцо)), ((:gruppe#поле поле)), ((:gruppe#алгебра алгебра)). Кватернионы ===Раздел II. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОТОБРАЖЕНИЯ== ====Глава 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И МНОГООБРАЗИЯ== ((:linear_space Основные определения)). Изоморфизм ((:linear_space#линейная_зависимость_базис_координаты Линейная зависимость, базис.)) ((:linear_space#относительный_базис Относительная линейная независимость.)) Система $ A_{}X=\mathbb{O} $ и ее фундаментальная система решений ((:linear_space#сумма_и_пересечение_линейных_подпространств Сумма и пересечение линейных подпространств.)) Система $ A_{}X= \mathcal B $. Линейные многообразия, их ((algebra2:linearsystems#геометрическая_интерпретация геометрическая интерпретация)) ((:linear_space#прямая_сумма_линейных_подпространств Прямая сумма линейных подпространств)) ((:linear_space#преобразование_координат_при_замене_базиса Преобразование координат при замене базиса)) ====Глава 2. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА== ((:euclid_space Определения)) ((:euclid_space#ортогонализация Ортогональный базис. Алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта)) ((algebra2:optimiz:distance Расстояние от точки до линейного многообразия)) ((dets:gram Свойства определителя Грама.)) Неотрицательность, использование для нахождения расстояния, неравенство Адамара, геометрическая интерпретация ====Глава 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ == ((:mapping#свойства_линейных_отображений Пространство линейных отображений)) ((:mapping#ядро_и_образ_линейного_отображения Ядро и образ линейного отображения)) ((:mapping#матрица_линейного_отображения Матрица линейного отображения)) ((:mapping:operator Линейный оператор)) ((:mapping:operator#инвариантное_подпространство Инвариантные подпространства оператора.)) Собственные векторы и собственные числа. Характеристический полином. Диагонализуемость матрицы оператора над $ \mathbb{C}_{} $ ((algebra2:charpoly Структура и свойства характеристического полинома.)) ((:algebra2/charpoly/ham-cayley Теорема Гамильтона-Кэли.)) ((:mapping:operator#диагонализуемость_матрицы_оператора_над_полем_вещественных_чисел Диагонализуемость матрицы лин.оператора над)) $ \mathbb{R}_{} $ ((:algebra2:symmetric#диагонализуемость Диагонализуемость симметричной матрицы над)) $ \mathbb{R}_{} $. Локализация ее собственных чисел и их экстремальное свойство ((:mapping:operator:jordan#жорданова_нормальная_форма_над_полем_комплексных_чисел Жорданова нормальная форма)) в $ \mathbb{C}_{} $. Аннулирующий полином. Корневое подпространство. Циклическое подпространство Жорданова нормальная форма в $ \mathbb{R}_{} $ ====Глава 4. ПРИМЕНЕНИЯ ЖОРДАНОВОЙ НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЫ== ((:algebra2:funmatrix Вычисление полинома от матрицы)) ((:algebra2:funmatrix#решение_линейного_разностного_уравнения Линейное разностное уравнение)) ((:recurr#задача_о_разорении_игрока Задача о разорении игрока)). ((:markov_chain Цепи Маркова.)) ((:algebra2/funmatrix#matrichnyj_stepennoj_rjad Матричный степенной ряд)). Норма матрицы. Аналитические функции матрицы. ((:algebra2:funmatrix#матричная_экспонента Устойчивость по Ляпунову.)) ====Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ== ((:algebra2:charpoly#методы_вычисления_характеристического_полинома Методы вычисления характеристического полинома (Леверье, Крылова).)) ((:algebra2:charpoly#частичная_проблема_собственных_чисел Частичная проблема собственных чисел))