==Уравнение Эйлера==

**Задача.** Рассматривается уравнение относительно $ x_{} $:
$$f(x)=x^5-3\,x^4+3\,x^3-m\,(1-x)^2=0 , $$
здесь $ m_{} \in \mathbb R $ --- параметр. Найти выражение для того вещественного корня $ x= \lambda(m) $ этого уравнения, для которого  $ \lambda(0)=0 $.

**Решение.** ((:dets:discrim#вещественность_корней Дискриминант)) 
$$
\mathcal D_x(f)=-m^2(108\,m^3-416\,m^2-2268\,m-6561)
$$
имеет $ 2_{} $ вещественных корня: $ m=0 $ и $ m=m_{\ast} \approx 7.640811 $. При $ m< m_{\ast} $ полином $ f_{}(x) $ имеет один вещественный корень (при $ m=0 $ он будет кратным $ 3_{} $-й кратности); при $ m> m_{\ast} $ полином имеет $ 3_{} $ вещественных корня.

Искомый корень представляется в виде ряда по дробным степеням степеням параметра $ m_{} $ (подробности построения этого ряда --- в разделе ☞ ((:polynomialm:puiseux РЯД ПЮИЗЁ)) ):
$$ \lambda(m) = \sqrt[3]{\frac{m}{3}}- \frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{m^2}{9}}- \frac{m}{27}+ 
\frac{4\,m}{81}\sqrt[3]{\frac{m}{3}}+ \frac{16\,m}{729}\sqrt[3]{\frac{m^2}{9}}-\frac{259\, m^2}{59049}\sqrt[3]{\frac{m}{3}}+ \dots
$$
Оценим точность для конкретных значений:
$$ \lambda(0.1)=0.28434_{\displaystyle 4254},\ \lambda(0.2)=0.3452_{\displaystyle 53494},\ \lambda(1)=0.51_{\displaystyle 4997863},\ \lambda(-0.1)=-0.35233_{\displaystyle 43435},\dots  
$$
Уравнение возникает в ограниченной задаче трех тел. В цитируемом источнике решение приведено с ошибкой уже в $ 4_{} $-м члене ряда. 

  


==Источник==

**Герасимов И.А.** //Задача двух неподвижных центров Леонарда Эйлера.// Фрязино. Век 2, 2007.