==Числа Бернулли==

определяются как коэффициенты разложения функции
$$
u(x)=\frac{x}{e^x-1}
$$
в ряд Тейлора при $ x=0 $. Поскольку
$$
\lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x}=1 
$$ 
то $ u(0)=1 $.

Дифференцируем тождество
$$ x\equiv ue^x-u  $$
по $ x_{} $:
$$ 1\equiv e^x \frac{d\, u}{d\, x} + u(x) e^x - \frac{d\, u}{d\, x} \, . $$
Дифференцируем еще раз:
$$
0\equiv e^{x}  \frac{d^2 u}{d\, x^2}+2\, e^x \frac{d\, u}{d\, x} +u(x) e^x - \frac{d^2 u}{d\, x^2} \, .
$$
Подставляем $ x=0_{} $:
$$ 0 = 2\, u^{\prime} (0) + u(0) \quad \Rightarrow \quad u^{\prime} (0)=-\frac{1}{2} \, . $$
Дифференцируя $ n>2 $ раз, получим с помощью **формулы Лейбница** дифференцирования произведения функций
$$\left(F_1 F_2 \right)^{(k)}=\sum_{j=0}^k C_k^j F_1^{(k-j)}F_2^{(j)}
=F_1^{(k)}F_2+ C_k^1F_1^{(k-1)}F_2^{\prime}
+ C_k^2F_1^{(k-2)}F_2^{\prime \prime }+ \dots +F_1F_2^{(k)} 
$$
следующее тождество
$$
0\equiv e^x \frac{d^n u}{d\, x^n}+ne^x \frac{d^{n-1} u}{d\, x^{n-1}}+ C_{n}^2 e^x \frac{d^{n-2} u}{d\, x^{n-2}}+C_{n}^3 e^x \frac{d^{n-3} u}{d\, x^{n-3}}+\dots+ue^x - \frac{d^{n} u}{d\, x^{n}} \, ,
$$
в котором $ \displaystyle  C_n^k $ означает ((:algebra2:notations#биномиальный_коэффициент биномиальный коэффициент)).
При $ x_{}=0 $ имеем из него соотношение
$$
0=n u^{(n-1)}(0)+ C_{n}^2 u^{(n-2)}(0)+\dots+ n u^{\prime} (0) + u(0) \ npu \ u(0)=1 \ ,
$$
позволяющее вычислить значение любой производной, если все предыдущие уже вычислены. 

<note>
Можно было бы отнести это соотношение к типу ((:recurr линейных разностных уравнений)), но это будет не совсем корректно (нет возможности определить порядок этого уравнения).
</note>

Приведем значения первых производных:
$$
u(0)=1,\ u^{\prime} (0)=-\frac{1}{2},\ u^{\prime \prime} (0)=\frac{1}{6},\  u^{\prime \prime \prime} (0)=0,\ u^{(4)} (0)=-\frac{1}{30},\ u^{(5)} (0)=0, 
$$
$$
u^{(6)} (0)=\frac{1}{42},\ u^{(7)} (0)=0,\ u^{(8)} (0)=-\frac{1}{30},\  u^{(9)} (0)=0,\  u^{(10)} (0)=\frac{5}{66},\dots  
$$
Все производные нечетного порядка, за исключением первой, равны нулю. Это можно установить непосредственно: функция 
$$
\frac{x}{e^x-1}+\frac{x}{2} 
$$
является четной функцией по $ x_{} $. Величина $ u^{(n)} (0) $ называется **n-м числом Бернулли**[[В старых источниках, например в ((#источники [1])), числом Бернулли называется $ |u^{(n)} (0)| $.]] и обозначается $ B_n $:
$$B_0= 1, B_1 = -\frac{1}{2}, B_2 = \frac{1}{6},\ B_3 = 0,\ B_4 = -\frac{1}{30}, B_5 = 0, B_6 = \frac{1}{42},\
$$
$$
 B_7 = 0,\ B_8 = -\frac{1}{30}, B_9=0,\ B_{10}=\frac{5}{66},\ B_{11}=0,\ B_{12}=-\frac{691}{2730}, \dots 
$$
Таким образом, получаем:
$$
\frac{x}{e^x-1}=\sum_{j=0}^{\infty} \frac{B_j}{j!} x^{j}=1-\frac{1}{2}x+\frac{1}{12}x^2-\frac{1}{720}x^4+\frac{1}{30240}x^6+\dots 
$$





==Полиномы Бернулли==

Полином Бернулли $ \mathbf B_n(x) $ при $ n\in \{0,1,2,\dots \} $ --- это единственный полином степени $ n $, удовлетворяющий тождеству
$$ \int_{x}^{x+1} \mathbf B_n(t) \, d\, t \equiv x^n \, . $$
Связь с числами Бернулли: $ \mathbf B_n(0)= B_n $. 

Дифференцирование определяющего уравнения по $ x $ дает
$$ \mathbf B_n(x+1) - \mathbf B_n(x) \equiv n x^{n-1} $$
откуда получаем тождество
$$\
\int_{x}^{x+1} \frac{d\,  \mathbf B_n(t)}{d\, t} d\, t  \equiv n \int_{x}^{x+1} \mathbf B_{n-1}(t) \, d\, t \, .
$$
А отсюда вытекает  формула
$$\mathbf B_n^{\prime}(x) \equiv n \mathbf B_{n-1}(x) \, , $$
позволяющая рекурсивно вычислять эти полиномы.
$$ \mathbf B_n(x) =\sum_{k=0}^n C_n^k B_k x^{n-k} \, . $$




==Суммы степеней целых чисел==

Числа Бернулли появляются в вычислении суммы одинаковых степеней целых чисел:
$$ \displaystyle S_k(n)= 1^k+2^k+\dots+n^k= \sum_{j=1}^n j^k $$ 
при $ n \in \mathbb N $ и $ k\in \{0,1,2,\dots \} $.

Полагаем 
$$
\phi(x)=1+e^x+e^{2x}+\dots+e^{nx}
$$
дифференцируем это уравнение  $ k_{} $ раз:
$$
\phi^{(k)}(x)=e^x+2^ke^{2x}+\dots+n^ke^{nx}
$$
При $ x=0 $ имеем
$$
\phi^{(p)}(0)=S_k(n)
$$
С другой стороны
$$
\phi(x)=\frac{e^{(n+1)x}-1}{e^x-1}
$$
Если правую часть развернуть в ряд по степеням $ x_{} $, то $ \phi^{(k)}(0) $  будет произведением коэффициента при $ x^k $ на $ k! $. А так как
$$
\frac{e^{(n+1)x}-1}{x}=(n+1)+\frac{(n+1)^2x}{2!}+\frac{(n+1)^3x^2}{3!}+ \dots ,
$$
$$
\frac{x}{e^x-1}=1-\frac{1}{2}x+\frac{B_1}{2!}x^2-\frac{B_2}{4!}x^4+ \frac{B_6}{6!}x^6- \dots ,
$$
то перемножив эти два уравнения, получим коэффициент при
$ x^{k} $ равным  
$$
\frac{n+1}{1} \cdot \frac{B_k}{k!}+\frac{(n+1)^2}{2!} \cdot \frac{B_{k-1}}{(k-1)!}+\frac{(n+1)^3}{3!} \cdot \frac{B_{k-2}}{(k-2)!}+\dots+
\frac{(n+1)^{k+1}}{(k+1)!} \cdot \frac{B_{0}}{1!} \, .
$$ 
Таким образом:
$$
S_k(n)=\frac{1}{k+1} \sum_{j=0}^k C_{k+1}^{k+1-j} B_j (n+1)^{k+1-j} =
$$
$$
=\frac{1}{k+1} \Bigg[ (n+1)^{k+1} - \frac{k+1}{2} (n+1)^{k} + \frac{(k+1)k}{12} (n+1)^{k-1} - 
$$
$$
-\frac{(k+1)k(k-1)(k-2)}{720} (n+1)^{k-3} + \dots   \Bigg] \, .
$$


==Первый компьютерный алгоритм==

Алгоритм вычисления чисел Бернулли, составленный Адой Лавлейс в 1843 г. для машины Чарльза Беббиджа, считается первой в истории компьютерной программой. См.   <html>
  <font face="Times">
        <font color="#ff00ff" size="+2"> ☞

</font>
  </font>
</html>  ((https://en.wikipedia.org/wiki/Ada_Lovelace#/media/File:Diagram_for_the_computation_of_Bernoulli_numbers.jpg ЗДЕСЬ)).


==Источники==

[1]. **Бертранъ Ж.** //Дифференцiальное исчисленiе.// СПб. Изд-во "Наука и жизнь", 1911