==Материалы к курсу высшей алгебры==
~~TOC~~
===Цели и задачи курса==
Курс состоит из двух разделов:
1.
Решение уравнений и систем уравнений.
2.
Линейные пространства и отображения ((:algebra:course:konsp2sem .))
Традиционная методология преподавания математических дисциплин: разделы в учебном курсе ставятся примерно в том же порядке, в котором они возникали в историческом развитии этой науки. В XX веке эту методологию попытались изменить: считалось правильным сначала сформулировать максимально строгие, абстрактные и общие определения, из которых потом выводить конкретные частные результаты.
Не считая необходимым дискутировать о **правильности** первого или второго подхода (заметив только, что имеется принципиальная разница в восприятии математических понятий у людей с абстрактным и конкретным типами мышления; см.
☞
((:applied_vs_pure "О математике прикладной и чистой")) и
☞
((references:newton#крылов_а.н Крылов А.Н.)) ), я уведомляю, что являюсь убежденным сторонником первого.
Итак, прежде всего,
алгебра - это наука о решении уравнений и систем уравнений.
В первом разделе мы ограничимся именно этим определением, характерным
для университетских курсов высшей алгебры, сформировавшихся к началу XX века.
Основная задача раздела: выяснить какие именно уравнения изучаются в алгебре и какой смысл придается в этой науке слову "решение"[[В современной литературе по методологии науки это называется **парадигмой**.]].
!!И!! Происхождение слова "алгебра"
☞
((:biogr#алгебра ЗДЕСЬ)). Почему, собственно, именно эта задача стала основной
☞
((:algebra2:course:cartesij ЗДЕСЬ))
К началу XX века в алгебре начало формироваться и другое направление исследований: классификация (установление свойств) многомерных отображений различной природы. Именно,
выявление свойств линейных отображений
составляет основную задачу второго раздела.
Общим у двух разделов алгебры является математический аппарат: теория матриц (ими линейные отображения описываются) и теория алгебраических уравнений от одной переменной (с их помощью эти отображения анализируются).
Кроме того, во втором разделе на первый план выдвигаются и прикладные
аспекты алгебры: разработанные в ней алгоритмы используются в теории дифференциальных уравнений (в том числе, в механике) и в теории вероятностей.
===Литература==
С моей точки зрения, идеальным учебником является такой, по которому желающий может самостоятельно обучиться предмету. Исходя из этого критерия, учебники по алгебре я ранжирую так:
1.
Немецкие, французские и ангийские учебники конца XIX -- начала XX вв.
* ((:references#netto == Netto E. Vorlesungen über Algebra.))
* ((:references#weber == Weber H. Lehrbuch der Algebra.))
* ((:references#серре == Serret J.-A. Cours d'Algèbre Supérieur.))
* ((:references#бохер == Bôcher М. Introduction to Higher Algebra.))
* ((:references#чезаро == Cesàro E. Algebraic Analysis and Infinitesimal Calculus.))
2.
Русские учебники 30-х -- 50-х годов XX века
* **Окунев Л.Я.** //Высшая алгебра//. М. Учпедгиз. 1958
* **Сушкевич А.К.** //Основы высшей алгебры//. М.-Л. ОНТИ. 1937
Однако, лучшими учебниками по алгебре я считаю книги нашего соотечественника -- ((http://www.apmath.spbu.ru/ru/misc/uspenskii.html Якова Викторовича Успенского)) -- до 1923 года профессора С.-Петербургского (Петроградского) университета. К сожалению, его книги
* **Uspensky J.V.** //Theory of Equations.// New York. McGraw-Hill. 1948 \\
* **Uspensky J.V.**, **Heaslet M.A.** //Elementary Number Theory.// New York. McGraw-Hill. 1941
написаны по-английски...
3.
Кроме указанных учебников при подготовке курса использовались следующие
* **Гантмахер Ф.Р.** //Теория матриц.// М.Наука. 1966
* **Гроссман И., Магнус В.** //Группы и их графы.// М.Мир. 1971
* **Стренг Г.** //Линейная алгебра и ее применения//. М.Мир.1980
* **Хорн Р.**, **Джонсон Ч.** //Матричный анализ//. М.Мир.1989
* **Фаддеев Д.К.** //Лекции по алгебре.// М.Наука.1984
* **Уилкинсон Дж. Х.** //Алгебраическая проблема собственных значений.// М.Наука.1970
* **Шилов Г.Е.** //Математический анализ. Конечномерные линейные пространства.// М.Наука.1969
!!§!! Более подробная библиография с краткими характеристиками и сопутствующей информацией
☞
((:references ЗДЕСЬ)).
===Методология==
Принципы преподавания математической дисциплины для __прикладных__ математиков, которым я стараюсь следовать:
* //((references:shedrin Просвещение внедрять с умеренностью, по возможности избегая кровопролития))//.
Цель обучения заключается не в том, чтобы завалить студента монбланом фактов, а в том, чтобы пробудить в нем интерес к самому процессу познания, -- как отражением внутренней красоты науки, так и показом ее практических приложений.
* //((references:newton#ньютон Exempla docent non minus quam præcepta))[[//(лат.)// Примеры учат не менее, чем предписания.]] //
Объяснения вести "от простого --- к сложному" и "от частного --- к общему". Наглядность идеи важнее строгости доказательства. Постановку задач сначала пояснять на примерах. Вообще, чем больше примеров --- тем лучше.
* Лучший пример --- из реальной жизни. "Прикладники" имеют право на вопросы: //"Зачем данная конкретная задача нужна?"// и //"Почему она ставится именно так?"//
* //Pluralitas non est ponenda sine necessitate//[[//(лат.)// Без необходимости не следует утверждать многое.]]
Принцип ((http://ru.wikipedia.org/wiki/Бритва_Оккама бритвы Оккама)): не вводить излишних сущностей (в том числе и обобщений), если они нигде в дальнейшем не применяются.
* Впрочем, ради эстетического изящества отдельного результата, можно иногда и отступать от предыдущего принципа ;-)
* Выделять //магистральную//, //сквозную// задачу для всего курса --- например, для раздела I таковой является задача решения алгебраического уравнения (и систем таких уравнений). По ходу изложения курса все промежуточные задачи, ставящиеся в отдельных главах, увязывать с этой главной.
* Не маскировать "психологических" и "идеологических" трудностей в историческом становлении науки: если к ((:complex_num комплексным числам)) математики привыкали 300 лет, то зачем скрывать этот факт от студентов, ограничиваясь лишь формальным определением?
* Самодостаточность. Что можно доказать --- доказывать, что сложно (или не имеет смысла) доказывать --- пояснить на примере. Это относится и к используемым результатам из смежных разделов --- математического анализа, дифференциальных уравнений, теории вероятностей.
* //Хотите получить классическое образование? -- (По)читайте классиков!//[[Авторство афоризма скромно приписываю себе.]]
В современном научном мире распространено опасное заблуждение, что мы умнее наших предшественников. Только этим я могу объяснить то неуважение, которые проявляют авторы многих современных учебников (и научных публикаций) к наследию, оставленному нам предыдущими поколениями -- тем же XIX веком. Предисловие к учебнику
**Бертран Ж.** ((:references#бертран Дифференцiальное исчисленiе.)) "Наука и жизнь" С.Петербург. 1911
заканчивается следующими словами автора (подчеркнуто мною)
Таково краткое содержание двадцати шести глав, составляющих этот первый том; в нем есть важные пробелы и многочисленные недостатки, которые я не скрываю от себя. Сравнивая то, что я смог сделать, с предначертанным себе планом, я знаю лучше всякого другого, как далеко не достиг я желаемой цели. Я хотел бы устранить для молодых геометров при изучении ими трудов вождей науки все препятствия, проистекающие от незнания принципов, на которых эти труды покоятся; но такая программа почти беспредельна, и я должен был ограничиться, по мере своих сил и знаний, облегчением для них первых шагов. Можно, без сомнения, все это сделать гораздо лучше, но нельзя, я в том убежден, преодолеть всех трудностей. Может быть, даже было бы несправедливо сожалеть об этом; __ничто не может заменить непосредственного изучения великих учителей, и помогая молодым людям слишком долго держаться от них вдали__ и тем облегчая их занятия, __мы__, пожалуй, __задержали бы__, и на очень, может быть, долгое время, __развитие у них духа творчества__.
Ни убавить, ни прибавить -- жаль, что сформулировано не мною :-(. В свой курс я включил ((:biogr исторические очерки)) о математиках, стараясь при этом выделять не столько их научные достижения, сколько их мировоззрение -- то, что, по моему мнению, влияло на упомянутый Бертраном "дух творчества". В подборе исторических комментариев я руководствовался исключительно личными пристрастиями.
===Программа курса==
((:algebra2:course:prog_rus На русском))
((:algebra2:course:prog_eng In English))
((:algebra2:course:prog_viet Tiếng Việt))
===Конспект==
((:references#утешев_со_товарищи Утешев А.Ю., Калинина Е.А. Лекции по высшей алгебре.)) Части I и II . 2007. {{ :algebra2:alg2.pdf |}}
Утешев А.Ю. Высшая алгебра. Раздел II. СПб. "Золотое сечение". 2007. 162 c. ((:algebra/course/konsp2sem Конспект))
===Вопросы к коллоквиуму (2024 г.)==
☞
((:algebra2:course:col17 ЗДЕСЬ))
===Вопросы к экзамену==
((:algebra2:course:term1_2022 Первый семестр 2023 г.))
((:algebra2:course:term2 Второй семестр 202? г.))
===Обязательные к запоминанию понятия==
☞
((:algebra2:course:obligatory ЗДЕСЬ))