==Число обусловленности матрицы== Дается очень интуитивное представление о важной характеристике квадратной матрицы, существенной для решения систем линейных уравнений с этой матрицей. !!П!! **Пример.** Система линейных уравнений $ AX =\mathcal B $ при $$ A=\left(\begin{array}{rr} -2 & 2 \\ 19 & -18 \end{array} \right), \ B= \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right),\ X= \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right), $$ имеет решение $ X_0= [11.0, 11.5]^{\top} $. При небольшом возмущении столбца правых частей $ \mathcal B= [1.0,2.1]^{\top} $ решение меняется в пределах того же возмущения: $ X= [11.1, 11.6]^{\top} $. Но вот при $ \mathcal B= [1.1,2.0]^{\top} $ решение изменится более существенно: $ X= [11.9, 12.45]^{\top} $. Обнаруженный эффект принципиально важен для численных методов решения систем линейных уравнений: с какой точностью следует производить вычисления? Для выяснения причины этого эффекта будем искать геометрическое место точек плоскости $ \mathbb R^2 $, удовлетворяющих неравенству $$ (-2 x_1 +2x_2-1)^2+(19x_1 -18 x_2-2)^2 \le \varepsilon^2 \iff $$ $$ \iff (AX-\mathcal B)^{\top}(AX-\mathcal B) \le \varepsilon^2 $$ при различных значениях $ \varepsilon $, в частности, при $ \varepsilon = 0.1 $. Очевидным решением является внутренность эллипса с центром в точке $ X_0 $. Этот эллипс оказывается очень "сплюснутым": так, при $ \varepsilon = 0.1 $, его полуоси равны $ \approx 1.31624 $ и $ \approx 0.00380 $. {{ algebra2:ellipse1.png|}} При любом выборе $ X $ внутри эллипса погрешность столбца $ \widetilde{\mathcal B}= AX $ относительно столбца $ \mathcal B $ не превосходит $ \varepsilon $. Однако при одной и той же величине погрешности в столбце $ \mathcal B $ соответствующие решения системы могут меняться как очень немного, так и значительным образом. Известно, что форма эллипса, заданного неявным алгебраическим уравнением второго порядка, определяется только мономами второго порядка. В разбираемом примере --- элементами матрицы $$ A^{\top} A = \left(\begin{array}{rr} 365 & -346 \\ -346 & 328 \end{array} \right) \, . $$ Полуоси определяются через посредство собственных чисел этой матрицы. Именно, $$ \lambda_1\approx 0.00577, \lambda_2 \approx 692.99422 $$ и длины полуосей равны $ 1/ \sqrt{\lambda_1} $ и $ 1/ \sqrt{\lambda_2} $. В геометрии величина отношения длин малой полуоси к большой называется **коэффициентом сжатия эллипса** или эллиптичностью. А в алгебре обратная величина, т.е. $$ \sqrt{\lambda_2/\lambda_1} \approx 346.49711 $$ носит другое название. ♦ Для матрицв $ A \in \mathbb R^{n\times n} $ обозначим $ \sigma_{max} $ ее максимальное ((:algebra2:svd#сингулярное_разложение сингулярное число)), а $ \sigma_{min} $ --- минимальное. При $ \sigma_{min} \ne 0 $ величина $$ \operatorname{cond} (A)= \sigma_{max}/\sigma_{min} $$ называется **числом обусловленности матрицы**[[(//англ.//) condition number]]$ A $. Очевидно, $ \operatorname{cond} (A) \ge 1 $. При $ \operatorname{cond} (A) $ близком к $ 1 $ матрица называется **хорошо обусловленной**, при $ \operatorname{cond} (A) \gg 1 $ матрица $ A $ называется **плохо обусловленной**[[(//англ.//) well- and ill- conditioned]]. Только что введенное определение завязано на метрику пространства $ \mathbb R^n $, которая выше предполагалась евклидовой. В пространствах векторов и матриц близость можно определять различными способами, и этот формализм вводится посредством понятия ((:norm_space нормы)). Соответственно, и число обусловленности вводится в зависимости от формул, задающих нормы[[Причем нормы в пространстве векторов и в пространстве матриц должны быть аккуратно между собой согласованы --- см. понятие ((:norm_space#норма_матрицы индуцированной нормы))]]. В интернете можно найти доказательство следующего универсального результата $$ \operatorname{cond} (A)=\|A\| \cdot \|A^{-1}\| \ , $$ который, с практической точки зрения, абсолютно бесполезен. (Если воможно __точно__ вычислить матрицу $ A^{-1} $, зачем вычислять число обусловленности?) Еще одно замечание касается числовых эквивалентов выражений "близко к 1" и "значительно превышает 1". Понятно, что эти выражения субъективны и зависят от требований к точности представлений исходных данных и вычислений в конкретно решаемой задаче. Принято считать $ \operatorname{cond} (A)\le 10 $ //хорошим// числом, а $ \operatorname{cond} (A)\ge 1000 $ --- //плохим// числом. Но это всё --- условности. !!П!! **Пример.** Матрица Вандермонда $$ V= \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2^2 & 2^3 & 2^4 \\ 1 & 3 & 3^2 & 3^3 & 3^4\\ 1 & 4 & 4^2 & 4^3 & 4^4\\ 1 & 5 & 5^2 & 5^3 &5^4 \end{array} \right) $$ может считаться плохо обусловленной: $ \operatorname{cond} (V) \approx 26169 $. !!П!! **Пример.** Матрица Гильберта $$ \mathfrak H_4= \left[\frac{1}{j+k-1} \right]_{j,k=1}^4 = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1/2 & 1/3 & 1/4 \\ 1/2 & 1/3 & 1/4 & 1/5 \\ 1/3 & 1/4 & 1/5 & 1/6 \\ 1/4 & 1/5 & 1/6 & 1/7 \end{array} \right) $$ плохо обусловлена: $ \operatorname{cond} (\mathfrak H_4) \approx 15513 $. Если матрица $ A $ близка к вырожденной, то ее минимальное сингулярное число ((:algebra2:svd#приложения близко к нулю)). Как правило (т.е. для случайно выбранных матриц) максимальное сингулярное число будет существенно отличаться от $ 0_{} $. Поэтому утверждение "матрица, близкая к вырожденной, будет и плохо обусловленной" имеет вероятностную справедливость. Но контрпримеры типа $$ A= \left(\begin{array}{cc} 0.0001 & 0 \\ 0 & 0.0001 \end{array} \right) $$ следует "держать в уме".